Bac 2026, Asie : exercice 4

Question 1. a)

Les fonctions $x\mapsto x$, $\cos$ et $\sin$ sont dérivables sur $[0\,;2\pi]$, donc $g$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables.

Le terme $x\cos x$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x$, $v(x)=\cos x$, $u'(x)=1$, $v'(x)=-\sin x$. D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

Donc, pour tout $x\in[0\,;2\pi]$ :

Question 1. b)

Signe de $g'$. Pour $x\in[0\,;2\pi]$, on a $x\geqslant0$, donc le signe de $g'(x)=-x\sin x$ est celui de $-\sin x$ pour $x>0$.

• Sur $]0\,;\pi[$, $\sin x>0$, donc $g'(x)<0$.

• Sur $]\pi\,;2\pi[$, $\sin x<0$, donc $g'(x)>0$.

• $g'(0)=g'(\pi)=g'(2\pi)=0$ ($g'(0)=0$ car $x=0$   $g'(\pi)=g'(2\pi)=0$ car $\sin\pi=\sin2\pi=0$).

Variations. La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;\pi]$ et strictement croissante sur $[\pi\,;2\pi]$ (la dérivée ne s'annule qu'en des points isolés).

Valeurs aux bornes et à l'extremum.

Ces valeurs sont celles du tableau : $g$ part de $0$ en $0$, décroît jusqu'au minimum $-\pi$ atteint en $\pi$, puis croît jusqu'à $2\pi$ en $2\pi$.

Question 1. c)

Appliquons le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions strictement monotones) sur $[\pi\,;2\pi]$. Vérifions ses hypothèses :

• $g$ est dérivable, donc continue, sur $[\pi\,;2\pi]$

• $g$ est strictement croissante sur $[\pi\,;2\pi]$ (question 1. b)

• $g(\pi)=-\pi<0<2\pi=g(2\pi)$, donc $0$ est compris entre $g(\pi)$ et $g(2\pi)$.

Donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[\pi\,;2\pi]$.

Comme $g(\pi)\neq0$ et $g(2\pi)\neq0$, on a même $\alpha\in]\pi\,;2\pi[$.

Question 1. d)

Sur $[0\,;\pi]$. La fonction $g$ est strictement décroissante et $g(0)=0$, donc $g(x)<0$ pour $x\in]0\,;\pi]$.

Sur $[\pi\,;2\pi]$. La fonction $g$ est strictement croissante et $g(\alpha)=0$, donc $g(x)<0$ pour $x\in[\pi\,;\alpha[$ et $g(x)>0$ pour $x\in]\alpha\,;2\pi]$.

Donc le tableau de signes de $g$ sur $[0\,;2\pi]$ est :

• $g(x)=0$ pour $x=0$ et $x=\alpha$

• $g(x)<0$ pour $x\in]0\,;\alpha[$

• $g(x)>0$ pour $x\in]\alpha\,;2\pi]$.

Question 2. a)

Les fonctions $\sin$ et $x\mapsto x$ sont dérivables sur $]0\,;2\pi]$, et $x\neq0$ sur cet intervalle : $f$ est dérivable comme quotient.

On pose $u(x)=\sin x$ et $v(x)=x$, soit $u'(x)=\cos x$ et $v'(x)=1$.

D'après la formule $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ :

Donc, pour tout $x\in]0\,;2\pi]$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$.

Question 2. b)

Pour $x\in]0\,;2\pi]$, on a $x^{2}>0$. Donc $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$.

D'après la question 1. d) :

• $f'(x)<0$ pour $x\in]0\,;\alpha[$

• $f'(\alpha)=0$

• $f'(x)>0$ pour $x\in]\alpha\,;2\pi]$.

Question 2. c)

D'après le signe de $f'$ :

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;\alpha]$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[\alpha\,;2\pi]$.

Question 2. d)

Pour $x\neq0$, le taux d'accroissement de la fonction sinus entre $0$ et $x$ est

La fonction sinus est dérivable en $0$, de nombre dérivé $\cos0=1$. Donc ce taux d'accroissement tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$.

Donc $\lim\limits_{x\to0}f(x)=1$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0}f(x)=1$.

Question 3.

On a $\pi<\alpha$ (question 1. c). La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;\alpha]$, donc sur $]0\,;\pi]$ qui est inclus dans $]0\,;\alpha]$.

Soient $r$ et $s$ tels que $0<r<s<\pi$. Alors $r$ et $s$ sont dans $]0\,;\pi]$, donc $f(r)>f(s)$, c'est-à-dire

Comme $0<s<\pi$, on a $\sin s>0$. De plus $r>0$. Donc $\dfrac{r}{\sin s}>0$.

On multiplie les deux membres de l'inégalité par $\dfrac{r}{\sin s}>0$, ce qui conserve le sens :

On simplifie :

Donc, pour $0<r<s<\pi$, $\dfrac rs<\dfrac{\sin r}{\sin s}$.

Points clés attendus

• Dériver $g$ avec la formule du produit et simplifier ($\cos x$ s'annule).

• Justifier le tableau de variations de $g$ par le signe de $-x\sin x$ et les calculs de $g(0)$, $g(\pi)$ et $g(2\pi)$.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires avec continuité, stricte monotonie et signes aux bornes, puis conclure à l'unicité.

• Reconnaître le lien $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$ pour déduire le signe de $f'$ de celui de $g$.

• Pour la limite en $0$ : reconnaître le taux d'accroissement de $\sin$ en $0$.

• Pour l'inégalité finale : utiliser la décroissance de $f$ sur $]0\,;\pi]$ et le signe de $\sin s$ avant de multiplier.

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