Guide de rédaction : orthogonalité et distances dans l'espace

🎯 Le principe du chapitre

Avec l'orthogonalité et les distances, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• le repère orthonormé déclaré avant d'utiliser une formule ;
• le vecteur normal justifié par deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires ;
• l'équation de plan calculée puis vérifiée ;
• le projeté dont on prouve qu'il est dans le plan et que $\overrightarrow{MH}$ est normal ;
• la distance donnée en valeur exacte, recoupée par la formule.

Situation 1 : un produit scalaire en coordonnées.

« Dans le repère orthonormé, $\vec u(1\,;2\,;3)$ et $\vec v(4\,;-1\,;0)$. $\vec u\cdot\vec v=1\times4+2\times(-1)+3\times0=2$. »

💡 Dis que le repère est orthonormé avant d'utiliser $xx'+yy'+zz'$.

Situation 2 : une norme, une distance.

« $\overrightarrow{AB}(2\,;-1\,;-1)$. $AB=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt6$. »

⚠️ N'oublie pas la racine carrée, et les carrés des différences de coordonnées.

Situation 3 : un angle.

« $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-1$, $AB=AC=\sqrt6$. Donc $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{-1}{\sqrt6\times\sqrt6}=-\dfrac16$. Comme $\widehat{BAC}\in[0\,;\pi]$, $\widehat{BAC}=\arccos\left(-\dfrac16\right)\approx99{,}6^\circ$. »

Situation 4 : deux vecteurs ou deux droites orthogonaux.

« $\vec p\cdot\vec q=1\times2+(-2)\times1+3\times0=0$. Donc $\vec p$ et $\vec q$ sont orthogonaux. »

Pour des droites : « les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc les droites sont orthogonales. » Ajoute « perpendiculaires » seulement si tu as montré qu'elles sont sécantes.

Situation 5 : un triangle rectangle.

« $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$, donc $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. »

Situation 6 : une droite orthogonale à un plan.

« $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=0$ et $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=0$. Les droites $(BD)$ et $(BE)$ sont sécantes en $B$ et contenues dans le plan $(BDE)$. Donc $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$. »

⚠️ Deux orthogonalités avec deux droites sécantes : une seule ne suffit pas.

Situation 7 : justifier un vecteur normal.

« $\overrightarrow{BD}(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{BG}(0\,;1\,;1)$ ne sont pas colinéaires. $\vec n\cdot\overrightarrow{BD}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{BG}=0$. Donc $\vec n(1\,;1\,;-1)$ est normal au plan $(BDG)$. »

Situation 8 : équation de plan avec un vecteur normal.

« Le plan a pour vecteur normal $\vec n(1\,;1\,;-1)$ : une équation est $x+y-z+d=0$. $B(1\,;0\,;0)$ est dans le plan, donc $1+d=0$ et $d=-1$. Une équation est $x+y-z-1=0$. Vérification : $D(0\,;1\,;0)$ : $1-1=0$ ; $G(1\,;1\,;1)$ : $1+1-1-1=0$. »

💡 Vérifie avec les autres points, et écris la vérification.

Situation 9 : plan défini par trois points.

« $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. On cherche $\vec n(a\,;b\,;c)$ tel que $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$ : $a+b-2c=0$ et $-a+3b-c=0$. On choisit $c=4$ : $b=3$, $a=5$. Donc $\vec n(5\,;3\,;4)$. Puis $5x+3y+4z+d=0$ et $A\in$ plan donne $d=-13$. »

Situation 10 : plans parallèles ou perpendiculaires.

« $\vec n_3(4\,;2\,;-2)=2\,\vec n_1$ : les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans sont parallèles. Le point $(0\,;0\,;1)$ est dans $P_1$ mais pas dans $P_3$ : ils sont strictement parallèles. »

Perpendiculaires : « $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$, donc les plans sont perpendiculaires. »

Situation 11 : intersection d'une droite et d'un plan.

« On remplace $x=1+t$, $y=2t$, $z=2-t$ dans $2x-y+z-3=0$ : $2+2t-2t+2-t-3=0$, soit $1-t=0$ et $t=1$. La droite coupe le plan au point $(2\,;2\,;1)$. »

Si $0=k\neq0$ : « strictement parallèle. » Si $0=0$ : « la droite est incluse dans le plan. »

⚠️ Reporte $t$ dans la représentation paramétrique pour donner le point.

Situation 12 : intersection de deux plans.

« Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires : les plans sont sécants suivant une droite. On résout $x+y+z=3$ et $x-y+2z=2$ : $x=\dfrac52-\dfrac32z$ et $y=\dfrac12+\dfrac12z$. Avec $z=2s$ : $x=\dfrac52-3s$, $y=\dfrac12+s$, $z=2s$. »

💡 Vérifie dans les deux équations.

Situation 13 : projeté orthogonal et distance.

« Le plan a pour vecteur normal $\vec n(2\,;-2\,;1)$.

On pose $H=A+k\,\vec n$.

Comme $H\in P$, on obtient $9k-1=0$, donc $k=\dfrac19$ et $H\left(\dfrac{20}9\,;\dfrac{25}9\,;\dfrac{37}9\right)$. $\overrightarrow{AH}=k\,\vec n$ est normal à $P$ : $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $P$.

La distance est $AH=|k|\,\|\vec n\|=\dfrac13$.

Contrôle avec la formule : $\dfrac{|-1|}3=\dfrac13$. »

Situation 14 : volume d'un tétraèdre.

« La base $BDG$ est un triangle équilatéral de côté $\sqrt2$, d'aire $\dfrac{\sqrt3}2$. La hauteur issue de $E$ est la distance de $E$ au plan $(BDG)$, soit $\dfrac{2\sqrt3}3$. Donc $V=\dfrac13\times\dfrac{\sqrt3}2\times\dfrac{2\sqrt3}3=\dfrac13$. »

⚠️ Le volume est le tiers de « base $\times$ hauteur », et la hauteur est une distance au plan de la base.

a) Un vecteur normal.

❌ « $\vec n(1\,;1\,;-1)$ est normal au plan car on le voit sur la figure. »

✅ « $\vec n\cdot\overrightarrow{BD}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{BG}=0$, avec $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BG}$ non colinéaires. Donc $\vec n$ est normal au plan $(BDG)$. »

b) Une distance.

❌ « $d=\dfrac{2\times2-2\times3+4-3}{3}=-\dfrac13$. »

✅ « $d=\dfrac{|2\times2-2\times3+4-3|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{|-1|}3=\dfrac13$. »

La première a oublié la valeur absolue : une distance est positive.

c) Une intersection.

❌ « La droite coupe le plan pour $t=1$. »

✅ « On remplace dans l'équation du plan : $1-t=0$, donc $t=1$. On reporte : la droite coupe le plan au point $(2\,;2\,;1)$. »

d) Une orthogonalité.

❌ « $(AB)$ et $(CG)$ sont orthogonales donc perpendiculaires. »

✅ « $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CG}=0$ : les droites sont orthogonales. Elles ne sont pas sécantes (non coplanaires) : elles ne sont pas perpendiculaires. »

• J'ai précisé que le repère est orthonormé.
• Mon vecteur normal est justifié par deux produits scalaires nuls, avec deux vecteurs non colinéaires.
• Mon équation de plan est vérifiée avec les points donnés.
• Pour une intersection, j'ai remplacé dans l'équation, résolu, et reporté $t$ pour donner le point.
• Pour un projeté, j'ai écrit $H=M+k\vec n$, $H\in P$, et calculé $k$.
• Ma distance est donnée en valeur exacte, avec la valeur absolue et la racine, et recoupée avec l'autre méthode.
• Pour un volume, j'ai écrit $\dfrac13\times$ base $\times$ hauteur, avec une hauteur qui est une distance au plan de la base.
• Ma conclusion nomme la propriété (orthogonale, sécants, parallèles, incluse).

😄 Une distance négative, ça n'existe pas : si tu en trouves une, tu as oublié la valeur absolue, ou tu es dans un autre univers.