Fiche 2 : dérivée seconde et convexité

Question 1

La fonction $f$ est un polynôme, donc deux fois dérivable sur $\R$.

$f'(x)=4x^3-4x$

$f''(x)=12x^2-4=4(3x^2-1)$

$f''(x)=0\iff x^2=\dfrac13\iff x=\pm\dfrac{\sqrt3}3$.

Comme $4(3x^2-1)$ est un trinôme positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles : $f''>0$ sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{\sqrt3}3\right[$ et sur $\left]\dfrac{\sqrt3}3\,;+\infty\right[$, et $f''<0$ sur $\left]-\dfrac{\sqrt3}3\,;\dfrac{\sqrt3}3\right[$.

✅ $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{\sqrt3}3\right]$ et sur $\left[\dfrac{\sqrt3}3\,;+\infty\right[$, concave sur $\left[-\dfrac{\sqrt3}3\,;\dfrac{\sqrt3}3\right]$.

Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $\pm\dfrac{\sqrt3}3$, la courbe a deux points d'inflexion. $f\left(\pm\dfrac{\sqrt3}3\right)=\dfrac19-\dfrac23=-\dfrac59$.

✅ Points d'inflexion : $\left(-\dfrac{\sqrt3}3\,;-\dfrac59\right)$ et $\left(\dfrac{\sqrt3}3\,;-\dfrac59\right)$

Question 2

$g$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\R$.

$g'(x)=3x^2-6x$

$g''(x)=6x-6=6(x-1)$

$g''(x)<0$ si $x<1$, $g''(1)=0$, $g''(x)>0$ si $x>1$.

✅ $g$ est concave sur $]-\infty\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$.

✅ Le point $(1\,;g(1))=(1\,;-1)$ est un point d'inflexion.

Question 3

$h$ est deux fois dérivable sur $\R$ et $h''(x)=e^x>0$.

✅ Donc $h$ est convexe sur $\R$ ; elle n'a pas de point d'inflexion.

Question 4

$k$ est deux fois dérivable sur $\R$ comme composée.

$k'(x)=-2xe^{-x^2}$

$k''(x)=-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x)e^{-x^2}=(4x^2-2)e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2}$

Comme $e^{-x^2}>0$, $k''(x)$ est du signe de $2x^2-1$, qui s'annule en $\pm\dfrac{\sqrt2}2$.

✅ $k$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{\sqrt2}2\right]$ et sur $\left[\dfrac{\sqrt2}2\,;+\infty\right[$, concave sur $\left[-\dfrac{\sqrt2}2\,;\dfrac{\sqrt2}2\right]$.

✅ Points d'inflexion : $\left(-\dfrac{\sqrt2}2\,;e^{-1/2}\right)$ et $\left(\dfrac{\sqrt2}2\,;e^{-1/2}\right)$

Question 1

$f$ est deux fois dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables. $f'(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}$.

✅ $f'(x)=-xe^{-x}$

$f''(x)=-e^{-x}+xe^{-x}$.

✅ $f''(x)=(x-1)e^{-x}$

Question 2

Comme $e^{-x}>0$, $f''(x)$ est du signe de $x-1$. $f''<0$ sur $]-\infty\,;1[$, $f''(1)=0$, $f''>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

✅ $f$ est concave sur $]-\infty\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$.

Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $1$, le point d'abscisse $1$ est un point d'inflexion. $f(1)=2e^{-1}$.

✅ Le point d'inflexion est $\left(1\,;\dfrac2e\right)$.

Question 3

$f'(1)=-e^{-1}$. La tangente en ce point a pour équation $y=\dfrac2e-\dfrac1e(x-1)$.

✅ $y=\dfrac{3-x}e$

Comme le point est un point d'inflexion, la courbe traverse cette tangente.

Méthode. Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée y est croissante. Elle est concave si et seulement si sa dérivée y est décroissante.

Conclusion. $f'$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[2\,;+\infty[$.

✅ $f$ est convexe sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[2\,;+\infty[$.

$f'$ est décroissante sur $[-1\,;2]$.

✅ $f$ est concave sur $[-1\,;2]$.

La convexité change en $x=-1$ (de convexe à concave) et en $x=2$ (de concave à convexe).

✅ La courbe a deux points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $2$, là où $f'$ admet un extremum local.

Méthode. $f''\ge0$ sur un intervalle signifie que $f$ est convexe ; $f''\le0$ qu'elle est concave.

Convexité. Sur $]-\infty\,;-1]$ : $f''\ge0$.

✅ $f$ est convexe.

Sur $[-1\,;3]$ : $f''\le0$.

✅ $f$ est concave.

Sur $[3\,;+\infty[$ : $f''\ge0$.

✅ $f$ est convexe.

Points d'inflexion. $f''$ s'annule en $-1$ et en $3$ (par continuité de $f''$ si elle est continue) en changeant de signe.

✅ La courbe a deux points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $3$.

La dérivée $f'$. Comme $f''$ donne les variations de $f'$ : $f'$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;3]$ et croissante sur $[3\,;+\infty[$.

✅ $f'$ admet un maximum local en $-1$ et un minimum local en $3$.

Question 1

Pour $\exp$, $\exp'(0)=1$ et $\exp(0)=1$. $T$ a pour équation $y=1+1(x-0)$.

✅ $T:\ y=x+1$

Comme $\exp''=\exp>0$, l'exponentielle est convexe sur $\R$ : sa courbe est au-dessus de ses tangentes.

✅ Donc $e^x\ge x+1$ pour tout réel $x$.

Question 2

Pour $f(x)=x^3$ : $f(0)=0$, $f'(0)=0$, la tangente en $0$ est $y=0$. Or $f(x)-0=x^3$ est négatif pour $x<0$ et positif pour $x>0$.

✅ La courbe traverse sa tangente en $0$, qui est donc un point d'inflexion.

($f''(x)=6x$ change de signe en $0$.)

Question 3

Pour $g(x)=\sqrt x$ sur $]0\,;+\infty[$ : $g'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ et $g''(x)=-\dfrac1{4x\sqrt x}<0$, donc $g$ est concave.

La tangente en $1$ a pour équation $y=1+\dfrac12(x-1)=\dfrac{x+1}2$. Comme $g$ est concave, sa courbe est en dessous de sa tangente.

✅ $\sqrt x\le\dfrac{x+1}2$ pour $x>0$ (et l'inégalité reste vraie en $0$).

Les dérivées. $f$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\R$.

$f'(x)=3x^2+2ax+2$

$f''(x)=6x+2a$

La condition. Il y a un point d'inflexion d'abscisse $2$ si et seulement si $f''$ s'annule en changeant de signe en $2$. Or $f''(2)=12+2a=0\iff a=-6$.

Vérification du changement de signe. Pour $a=-6$, $f''(x)=6x-12=6(x-2)$. Il est négatif pour $x<2$ et positif pour $x>2$ : il y a bien un changement de signe.

✅ Donc $a=-6$.

$f$ est deux fois dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables.

$f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x$

$f''(x)=e^x+(x+1)e^x$

✅ $f''(x)=(x+2)e^x$

Comme $e^x>0$, $f''(x)$ est du signe de $x+2$. $f''<0$ sur $]-\infty\,;-2[$ et $f''>0$ sur $]-2\,;+\infty[$.

✅ $f$ est concave sur $]-\infty\,;-2]$ et convexe sur $[-2\,;+\infty[$.

Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $-2$ :

✅ le point $(-2\,;-2e^{-2})$ est un point d'inflexion.

Soit $g(x)=\sqrt{1+x}$ sur $]-1\,;+\infty[$. La fonction $g$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

$g'(x)=\dfrac1{2\sqrt{1+x}}$

$g''(x)=-\dfrac1{4(1+x)\sqrt{1+x}}<0$

Donc $g$ est concave sur $]-1\,;+\infty[$ : sa courbe est en dessous de chacune de ses tangentes.

La tangente en $0$ a pour équation $y=g(0)+g'(0)x=1+\dfrac x2$.

✅ Donc, pour tout $x>-1$, $\sqrt{1+x}\le1+\dfrac x2$.

Affirmation 1

Pour une fonction deux fois dérivable, $f$ convexe équivaut à $f'$ croissante.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Il faut que $f''$ change de signe. Contre-exemple : $f(x)=x^4$, $f''(x)=12x^2$ s'annule en $0$ sans changer de signe ($f$ est convexe sur $\R$), donc pas d'inflexion en $0$.

❌ Faux.

Affirmation 3

Si $f''\ge0$ et $g''\ge0$, alors $(f+g)''=f''+g''\ge0$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Contre-exemple : $f(x)=x$ et $g(x)=-x$ sont convexes (fonctions affines), mais $f(x)g(x)=-x^2$ est concave.

❌ Faux.

Affirmation 5

$(-f)''=-f''\ge0$ si $f''\le0$.

✅ Vrai.

Affirmation 6

C'est la définition de la convexité.

✅ Vrai.