Terminale Spé Maths / Chapitre 8 : Calcul intégral
Fiche 3 : l'intégration par parties
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Dix exercices pour maîtriser l'intégration par parties sous toutes ses formes :
polynôme × \times ×
polynôme × \times ×
le logarithme ;
polynôme × \times ×
double intégration par parties ;
puissance du logarithme ;
astuce du choix de la primitive ;
le cas cyclique e x cos x e^x\cos x e x cos x
Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend au bac :
u ′ u' u ′ v v v u u u v ′ v' v ′ régularité C 1 C^1 C 1
formule écrite avec son crochet ;
intégrale restante calculée ;
résultat.
💡 Le modèle de rédaction d'une intégration par parties
« On pose u ′ ( x ) = e x u'(x)=e^x u ′ ( x ) = e x v ( x ) = x v(x)=x v ( x ) = x u ( x ) = e x u(x)=e^x u ( x ) = e x v ′ ( x ) = 1 v'(x)=1 v ′ ( x ) = 1 u u u v v v [ 0 ; 1 ] [0\,;1] [ 0 ; 1 ] u ′ u' u ′ v ′ v' v ′
∫ 0 1 x e x d x = [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1 \displaystyle\int_0^1xe^x\,dx=\Big[xe^x\Big]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1 ∫ 0 1 x e x d x = [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1
Écris u ′ u' u ′ v v v u u u v ′ v' v ′
Cite la régularité : u u u v v v C 1 C^1 C 1
Écris la formule avec son crochet , puis calcule l'intégrale restante.
💡 Comment choisir u ′ u' u ′ v v v
Polynôme × \times × e x e^x e x cos \cos cos sin \sin sin v = v= v = u ′ = u'= u ′ = ln x \ln x ln x u ′ = 1 u'=1 u ′ = 1 v = ln x v=\ln x v = ln x Polynôme × \times × ln x \ln x ln x v = ln x v=\ln x v = ln x 1 x \dfrac1x x 1 u ′ = u'= u ′ = e x × cos x e^x\times\cos x e x × cos x sin x \sin x sin x
⚠️ Les pièges classiques
Oublier le crochet ou son signe.
Se tromper de signe devant la nouvelle intégrale (c'est un « − - −
Choisir u ′ u' u ′ v v v
Oublier de multiplier par la constante quand on intègre une seconde fois.
😄 L'intégration par parties, c'est comme ranger un placard : si l'intégrale restante est plus en désordre que l'originale, c'est que tu as inversé les tiroirs.
Exercice 1 (★) : polynôme × \times ×
Calculer I = ∫ 0 1 x e x d x I=\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx I = ∫ 0 1 x e x d x
✏️ Correction de l'exercice 1
Le choix
On pose u ′ ( x ) = e x u'(x)=e^x u ′ ( x ) = e x v ( x ) = x v(x)=x v ( x ) = x u ( x ) = e x u(x)=e^x u ( x ) = e x v ′ ( x ) = 1 v'(x)=1 v ′ ( x ) = 1 u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 0 ; 1 ] [0\,;1] [ 0 ; 1 ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − [ e x ] 0 1 = e − ( e − 1 ) I=\Big[xe^x\Big]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-\Big[e^x\Big]_0^1=e-(e-1) I = [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − [ e x ] 0 1 = e − ( e − 1 ) ✅ I = 1 I=1 I = 1
Exercice 2 (★) : polynôme × \times ×
Calculer I = ∫ 0 π x sin x d x I=\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx I = ∫ 0 π x sin x d x
✏️ Correction de l'exercice 2
Le choix
On pose u ′ ( x ) = sin x u'(x)=\sin x u ′ ( x ) = sin x v ( x ) = x v(x)=x v ( x ) = x u ( x ) = − cos x u(x)=-\cos x u ( x ) = − cos x v ′ ( x ) = 1 v'(x)=1 v ′ ( x ) = 1 u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 0 ; π ] [0\,;\pi] [ 0 ; π ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ − x cos x ] 0 π − ∫ 0 π ( − cos x ) d x = ( − π cos π + 0 ) + ∫ 0 π cos x d x = π + [ sin x ] 0 π = π + 0 I=\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi-\int_0^\pi(-\cos x)\,dx=(-\pi\cos\pi+0)+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+\Big[\sin x\Big]_0^\pi=\pi+0 I = [ − x cos x ] 0 π − ∫ 0 π ( − cos x ) d x = ( − π cos π + 0 ) + ∫ 0 π cos x d x = π + [ sin x ] 0 π = π + 0 ✅ I = π I=\pi I = π
Exercice 3 (★★) : le logarithme
Calculer I = ∫ 1 e ln x d x I=\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx I = ∫ 1 e ln x d x
✏️ Correction de l'exercice 3
Le choix
On pose u ′ ( x ) = 1 u'(x)=1 u ′ ( x ) = 1 v ( x ) = ln x v(x)=\ln x v ( x ) = ln x u ( x ) = x u(x)=x u ( x ) = x v ′ ( x ) = 1 x v'(x)=\dfrac1x v ′ ( x ) = x 1 u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 1 ; e ] [1\,;e] [ 1 ; e ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ x ln x ] 1 e − ∫ 1 e x × 1 x d x = ( e − 0 ) − ∫ 1 e 1 d x = e − ( e − 1 ) I=\Big[x\ln x\Big]_1^e-\int_1^ex\times\frac1x\,dx=(e-0)-\int_1^e1\,dx=e-(e-1) I = [ x ln x ] 1 e − ∫ 1 e x × x 1 d x = ( e − 0 ) − ∫ 1 e 1 d x = e − ( e − 1 ) ✅ I = 1 I=1 I = 1
On retrouve la primitive x ln x − x x\ln x-x x ln x − x ln \ln ln
Exercice 4 (★★) : polynôme × \times ×
Calculer I = ∫ 1 e x ln x d x I=\displaystyle\int_1^ex\ln x\,dx I = ∫ 1 e x ln x d x
✏️ Correction de l'exercice 4
Le choix
On pose u ′ ( x ) = x u'(x)=x u ′ ( x ) = x v ( x ) = ln x v(x)=\ln x v ( x ) = ln x u ( x ) = x 2 2 u(x)=\dfrac{x^2}2 u ( x ) = 2 x 2 v ′ ( x ) = 1 x v'(x)=\dfrac1x v ′ ( x ) = x 1 u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 1 ; e ] [1\,;e] [ 1 ; e ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ x 2 2 ln x ] 1 e − ∫ 1 e x 2 2 × 1 x d x = e 2 2 − ∫ 1 e x 2 d x = e 2 2 − [ x 2 4 ] 1 e = e 2 2 − e 2 − 1 4 I=\left[\frac{x^2}2\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x^2}2\times\frac1x\,dx=\frac{e^2}2-\int_1^e\frac x2\,dx=\frac{e^2}2-\left[\frac{x^2}4\right]_1^e=\frac{e^2}2-\frac{e^2-1}4 I = [ 2 x 2 ln x ] 1 e − ∫ 1 e 2 x 2 × x 1 d x = 2 e 2 − ∫ 1 e 2 x d x = 2 e 2 − [ 4 x 2 ] 1 e = 2 e 2 − 4 e 2 − 1 ✅ I = e 2 + 1 4 I=\dfrac{e^2+1}4 I = 4 e 2 + 1
Exercice 5 (★★) : exponentielle décroissante
Calculer I = ∫ 0 1 x e − x d x I=\displaystyle\int_0^1xe^{-x}\,dx I = ∫ 0 1 x e − x d x
✏️ Correction de l'exercice 5
Le choix
On pose u ′ ( x ) = e − x u'(x)=e^{-x} u ′ ( x ) = e − x v ( x ) = x v(x)=x v ( x ) = x u ( x ) = − e − x u(x)=-e^{-x} u ( x ) = − e − x v ′ ( x ) = 1 v'(x)=1 v ′ ( x ) = 1 u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 0 ; 1 ] [0\,;1] [ 0 ; 1 ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ − x e − x ] 0 1 − ∫ 0 1 ( − e − x ) d x = − e − 1 + ∫ 0 1 e − x d x = − e − 1 + [ − e − x ] 0 1 = − e − 1 + ( 1 − e − 1 ) I=\Big[-xe^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1\left(-e^{-x}\right)dx=-e^{-1}+\int_0^1e^{-x}\,dx=-e^{-1}+\Big[-e^{-x}\Big]_0^1=-e^{-1}+\left(1-e^{-1}\right) I = [ − x e − x ] 0 1 − ∫ 0 1 ( − e − x ) d x = − e − 1 + ∫ 0 1 e − x d x = − e − 1 + [ − e − x ] 0 1 = − e − 1 + ( 1 − e − 1 ) ✅ I = 1 − 2 e ≈ 0,264 I=1-\dfrac2e\approx0{,}264 I = 1 − e 2 ≈ 0 , 264
Exercice 6 (★★★) : deux intégrations par parties
Calculer I = ∫ 0 1 x 2 e x d x I=\displaystyle\int_0^1x^2e^x\,dx I = ∫ 0 1 x 2 e x d x
✏️ Correction de l'exercice 6
Le choix
On pose u ′ ( x ) = e x u'(x)=e^x u ′ ( x ) = e x v ( x ) = x 2 v(x)=x^2 v ( x ) = x 2 u ( x ) = e x u(x)=e^x u ( x ) = e x v ′ ( x ) = 2 x v'(x)=2x v ′ ( x ) = 2 x u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 0 ; 1 ] [0\,;1] [ 0 ; 1 ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ x 2 e x ] 0 1 − 2 ∫ 0 1 x e x d x = e − 2 ∫ 0 1 x e x d x I=\Big[x^2e^x\Big]_0^1-2\int_0^1xe^x\,dx=e-2\int_0^1xe^x\,dx I = [ x 2 e x ] 0 1 − 2 ∫ 0 1 x e x d x = e − 2 ∫ 0 1 x e x d x Or ∫ 0 1 x e x d x = 1 \displaystyle\int_0^1xe^x\,dx=1 ∫ 0 1 x e x d x = 1
I = e − 2 × 1 I=e-2\times1 I = e − 2 × 1
✅ I = e − 2 ≈ 0,718 I=e-2\approx0{,}718 I = e − 2 ≈ 0 , 718
Exercice 7 (★★) : polynôme × \times ×
Calculer I = ∫ 0 π / 2 x cos x d x I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx I = ∫ 0 π /2 x cos x d x
✏️ Correction de l'exercice 7
Le choix
On pose u ′ ( x ) = cos x u'(x)=\cos x u ′ ( x ) = cos x v ( x ) = x v(x)=x v ( x ) = x u ( x ) = sin x u(x)=\sin x u ( x ) = sin x v ′ ( x ) = 1 v'(x)=1 v ′ ( x ) = 1 u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 0 ; π 2 ] \left[0\,;\dfrac\pi2\right] [ 0 ; 2 π ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ x sin x ] 0 π / 2 − ∫ 0 π / 2 sin x d x = π 2 − [ − cos x ] 0 π / 2 = π 2 − ( 0 + 1 ) I=\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\frac\pi2-\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/2}=\frac\pi2-(0+1) I = [ x sin x ] 0 π /2 − ∫ 0 π /2 sin x d x = 2 π − [ − cos x ] 0 π /2 = 2 π − ( 0 + 1 ) ✅ I = π 2 − 1 ≈ 0,571 I=\dfrac\pi2-1\approx0{,}571 I = 2 π − 1 ≈ 0 , 571
Exercice 8 (★★★) : le carré du logarithme
Calculer I = ∫ 1 e ( ln x ) 2 d x I=\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2\,dx I = ∫ 1 e ( ln x ) 2 d x
✏️ Correction de l'exercice 8
Le choix
On pose u ′ ( x ) = 1 u'(x)=1 u ′ ( x ) = 1 v ( x ) = ( ln x ) 2 v(x)=(\ln x)^2 v ( x ) = ( ln x ) 2 u ( x ) = x u(x)=x u ( x ) = x v ′ ( x ) = 2 ln x x v'(x)=\dfrac{2\ln x}x v ′ ( x ) = x 2 ln x u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 1 ; e ] [1\,;e] [ 1 ; e ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ x ( ln x ) 2 ] 1 e − ∫ 1 e x × 2 ln x x d x = e − 2 ∫ 1 e ln x d x I=\Big[x(\ln x)^2\Big]_1^e-\int_1^ex\times\frac{2\ln x}x\,dx=e-2\int_1^e\ln x\,dx I = [ x ( ln x ) 2 ] 1 e − ∫ 1 e x × x 2 ln x d x = e − 2 ∫ 1 e ln x d x On utilise ∫ 1 e ln x d x = 1 \displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=1 ∫ 1 e ln x d x = 1 I = e − 2 × 1 I=e-2\times1 I = e − 2 × 1
✅ I = e − 2 I=e-2 I = e − 2
Exercice 9 (★★★) : l'astuce de la primitive u ( x ) = x + 1 u(x)=x+1 u ( x ) = x + 1
Calculer I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) d x I=\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)\,dx I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) d x
✏️ Correction de l'exercice 9
Le choix
On pose u ′ ( x ) = 1 u'(x)=1 u ′ ( x ) = 1 v ( x ) = ln ( 1 + x ) v(x)=\ln(1+x) v ( x ) = ln ( 1 + x ) v ′ ( x ) = 1 1 + x v'(x)=\dfrac1{1+x} v ′ ( x ) = 1 + x 1
On choisit la primitive u ( x ) = x + 1 u(x)=x+1 u ( x ) = x + 1 (et non u ( x ) = x u(x)=x u ( x ) = x 1 1 1 u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 0 ; 1 ] [0\,;1] [ 0 ; 1 ]
Le calcul
Par intégration par parties :
I = [ ( x + 1 ) ln ( 1 + x ) ] 0 1 − ∫ 0 1 ( x + 1 ) × 1 1 + x d x = 2 ln 2 − ∫ 0 1 1 d x I=\Big[(x+1)\ln(1+x)\Big]_0^1-\int_0^1(x+1)\times\frac1{1+x}\,dx=2\ln2-\int_0^11\,dx I = [ ( x + 1 ) ln ( 1 + x ) ] 0 1 − ∫ 0 1 ( x + 1 ) × 1 + x 1 d x = 2 ln 2 − ∫ 0 1 1 d x ✅ I = 2 ln 2 − 1 ≈ 0,386 I=2\ln2-1\approx0{,}386 I = 2 ln 2 − 1 ≈ 0 , 386
Remarque : avec u ( x ) = x u(x)=x u ( x ) = x ∫ 0 1 x 1 + x d x \displaystyle\int_0^1\frac x{1+x}\,dx ∫ 0 1 1 + x x d x u ( x ) = x + 1 u(x)=x+1 u ( x ) = x + 1
Exercice 10 (★★★) : le cas cyclique e x cos x e^x\cos x e x cos x
Calculer I = ∫ 0 π e x cos x d x I=\displaystyle\int_0^\pi e^x\cos x\,dx I = ∫ 0 π e x cos x d x J = ∫ 0 π e x sin x d x J=\displaystyle\int_0^\pi e^x\sin x\,dx J = ∫ 0 π e x sin x d x
✏️ Correction de l'exercice 10
Première intégration par parties
On pose u ′ ( x ) = cos x u'(x)=\cos x u ′ ( x ) = cos x v ( x ) = e x v(x)=e^x v ( x ) = e x u ( x ) = sin x u(x)=\sin x u ( x ) = sin x v ′ ( x ) = e x v'(x)=e^x v ′ ( x ) = e x u u u v v v C 1 C^1 C 1 [ 0 ; π ] [0\,;\pi] [ 0 ; π ]
I = [ e x sin x ] 0 π − ∫ 0 π e x sin x d x = 0 − J I=\Big[e^x\sin x\Big]_0^\pi-\int_0^\pi e^x\sin x\,dx=0-J I = [ e x sin x ] 0 π − ∫ 0 π e x sin x d x = 0 − J Donc I = − J I=-J I = − J
Seconde intégration par parties
On pose u ′ ( x ) = sin x u'(x)=\sin x u ′ ( x ) = sin x v ( x ) = e x v(x)=e^x v ( x ) = e x u ( x ) = − cos x u(x)=-\cos x u ( x ) = − cos x v ′ ( x ) = e x v'(x)=e^x v ′ ( x ) = e x
J = [ − e x cos x ] 0 π + ∫ 0 π e x cos x d x = ( e π + 1 ) + I J=\Big[-e^x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi e^x\cos x\,dx=\left(e^\pi+1\right)+I J = [ − e x cos x ] 0 π + ∫ 0 π e x cos x d x = ( e π + 1 ) + I Résolution
De I = − J I=-J I = − J J = e π + 1 + I J=e^\pi+1+I J = e π + 1 + I
I = − ( e π + 1 ) − I I=-\left(e^\pi+1\right)-I I = − ( e π + 1 ) − I
2 I = − ( e π + 1 ) 2I=-\left(e^\pi+1\right) 2 I = − ( e π + 1 )
✅ I = − e π + 1 2 ≈ − 12,07 I=-\dfrac{e^\pi+1}2\approx-12{,}07 I = − 2 e π + 1 ≈ − 12 , 07
Contrôle de cohérence : sur [ 0 ; π ] [0\,;\pi] [ 0 ; π ] cos x \cos x cos x [ 0 ; π 2 ] \left[0\,;\dfrac\pi2\right] [ 0 ; 2 π ] [ π 2 ; π ] \left[\dfrac\pi2\,;\pi\right] [ 2 π ; π ] e x e^x e x
🎯 Ce qui peut tomber au bac sur l'intégration par parties
Une IPP guidée où l'énoncé donne u u u v v v e x e^x e x ln x \ln x ln x
Le logarithme ou x ln x x\ln x x ln x
Une double IPP (exercice 6) pour x 2 e x x^2e^x x 2 e x
Une IPP dans une suite d'intégrales (fiche 4 et exercices type bac).
Le calcul d'une aire dont la primitive demande une IPP (exercices type bac).
QCM : vérifie tes acquis
10 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.
Question 1 sur 10
La formule d'intégration par parties s'écrit :
∫ a b u ′ v = [ u ′ v ′ ] a b \displaystyle\int_a^bu'v=\big[u'v'\big]_a^b ∫ a b u ′ v = [ u ′ v ′ ] a b ∫ a b u ′ v = [ u v ] a b − ∫ a b u v ′ \displaystyle\int_a^bu'v=\big[uv\big]_a^b-\int_a^buv' ∫ a b u ′ v = [ uv ] a b − ∫ a b u v ′ ∫ a b u ′ v = ∫ a b u ′ × ∫ a b v \displaystyle\int_a^bu'v=\int_a^bu'\times\int_a^bv ∫ a b u ′ v = ∫ a b u ′ × ∫ a b v ∫ a b u ′ v = [ u v ] a b + ∫ a b u v ′ \displaystyle\int_a^bu'v=\big[uv\big]_a^b+\int_a^buv' ∫ a b u ′ v = [ uv ] a b + ∫ a b u v ′ C'est l'intégration de la formule de dérivation d'un produit.
Question 2 sur 10
Que vaut ∫ 0 1 x e x d x \displaystyle\int_0^1xe^x\,dx ∫ 0 1 x e x d x
Avec u ′ = e x u'=e^x u ′ = e x v = x v=x v = x [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1 [xe^x]_0^1-\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1 [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1
Question 3 sur 10
Que vaut ∫ 1 e ln x d x \displaystyle\int_1^e\ln x\,dx ∫ 1 e ln x d x
Avec u ′ = 1 u'=1 u ′ = 1 v = ln x v=\ln x v = ln x [ x ln x − x ] 1 e = ( e − e ) − ( 0 − 1 ) = 1 [x\ln x-x]_1^e=(e-e)-(0-1)=1 [ x ln x − x ] 1 e = ( e − e ) − ( 0 − 1 ) = 1
Question 4 sur 10
Pour calculer ∫ x ln x d x \displaystyle\int x\ln x\,dx ∫ x ln x d x
u ′ = ln x u'=\ln x u ′ = ln x v = x v=x v = x u ′ = x ln x u'=x\ln x u ′ = x ln x v = 1 v=1 v = 1 u ′ = x u'=x u ′ = x v = ln x v=\ln x v = ln x u ′ = 1 u'=1 u ′ = 1 v = x ln x v=x\ln x v = x ln x On dérive le logarithme (ce qui le simplifie) et on intègre le facteur x x x
Question 5 sur 10
Que vaut ∫ 0 π x sin x d x \displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx ∫ 0 π x sin x d x
[ − x cos x ] 0 π + ∫ 0 π cos x d x = π + 0 = π [-x\cos x]_0^\pi+\displaystyle\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+0=\pi [ − x cos x ] 0 π + ∫ 0 π cos x d x = π + 0 = π
Question 6 sur 10
Dans l'exercice 4, que vaut I = ∫ 1 e x ln x d x I=\displaystyle\int_1^ex\ln x\,dx I = ∫ 1 e x ln x d x
e 2 e^2 e 2 e 2 − 1 4 \dfrac{e^2-1}4 4 e 2 − 1 e 2 + 1 4 \dfrac{e^2+1}4 4 e 2 + 1 e 2 2 \dfrac{e^2}2 2 e 2 Avec u ′ = x u'=x u ′ = x v = ln x v=\ln x v = ln x I = [ x 2 2 ln x ] 1 e − ∫ 1 e x 2 d x = e 2 2 − [ x 2 4 ] 1 e = e 2 2 − e 2 − 1 4 = e 2 + 1 4 I=\left[\dfrac{x^2}2\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e\dfrac x2\,dx=\dfrac{e^2}2-\left[\dfrac{x^2}4\right]_1^e=\dfrac{e^2}2-\dfrac{e^2-1}4=\dfrac{e^2+1}4 I = [ 2 x 2 ln x ] 1 e − ∫ 1 e 2 x d x = 2 e 2 − [ 4 x 2 ] 1 e = 2 e 2 − 4 e 2 − 1 = 4 e 2 + 1
Question 7 sur 10
Dans l'exercice 5, que vaut I = ∫ 0 1 x e − x d x I=\displaystyle\int_0^1xe^{-x}\,dx I = ∫ 0 1 x e − x d x
− 1 e -\dfrac1e − e 1 1 − 2 e 1-\dfrac2e 1 − e 2 1 1 1 2 e \dfrac2e e 2 Avec u ′ = e − x u'=e^{-x} u ′ = e − x v = x v=x v = x I = [ − x e − x ] 0 1 + ∫ 0 1 e − x d x = − e − 1 + ( 1 − e − 1 ) = 1 − 2 e I=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\displaystyle\int_0^1e^{-x}\,dx=-e^{-1}+\left(1-e^{-1}\right)=1-\dfrac2e I = [ − x e − x ] 0 1 + ∫ 0 1 e − x d x = − e − 1 + ( 1 − e − 1 ) = 1 − e 2
Question 8 sur 10
Dans l'exercice 6, avec deux intégrations par parties, que vaut I = ∫ 0 1 x 2 e x d x I=\displaystyle\int_0^1x^2e^x\,dx I = ∫ 0 1 x 2 e x d x
e e e e − 1 e-1 e − 1 2 e − 2 2e-2 2 e − 2 e − 2 e-2 e − 2 On intègre par parties deux fois de suite (en dérivant x 2 x^2 x 2 I = e − 2 I=e-2 I = e − 2
Question 9 sur 10
Dans l'exercice 9, en posant u ( x ) = x + 1 u(x)=x+1 u ( x ) = x + 1 I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) d x I=\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)\,dx I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) d x
2 ln 2 − 1 2\ln2-1 2 ln 2 − 1 ln 2 − 1 \ln2-1 ln 2 − 1 ln 2 \ln2 ln 2 1 1 1 Avec u ′ = 1 u'=1 u ′ = 1 v = ln ( 1 + x ) v=\ln(1+x) v = ln ( 1 + x ) I = [ x ln ( 1 + x ) ] 0 1 − ∫ 0 1 x 1 + x d x = ln 2 − ( 1 − ln 2 ) = 2 ln 2 − 1 I=\left[x\ln(1+x)\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1\dfrac x{1+x}\,dx=\ln2-(1-\ln2)=2\ln2-1 I = [ x ln ( 1 + x ) ] 0 1 − ∫ 0 1 1 + x x d x = ln 2 − ( 1 − ln 2 ) = 2 ln 2 − 1
Question 10 sur 10
Dans l'exercice 10 (cas cyclique), pour calculer I = ∫ 0 π e x cos x d x I=\displaystyle\int_0^\pi e^x\cos x\,dx I = ∫ 0 π e x cos x d x
Un changement de variable La relation de Chasles Deux intégrations par parties, qui font réapparaître I I I J = ∫ 0 π e x sin x d x J=\displaystyle\int_0^\pi e^x\sin x\,dx J = ∫ 0 π e x sin x d x La linéarisation trigonométrique Intégrer par parties deux fois fait réapparaître I I I I I I J J J
☐ Marquer comme faite
