Bac 2026, Asie : exercice 3

Question 1. a)

On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée :

Supposons que ces vecteurs soient colinéaires : il existerait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{BE}}$.

La première coordonnée donnerait $2=k\times1$, donc $k=2$.

La deuxième coordonnée donnerait $1=k\times(-4)$, donc $k=-\dfrac14$.

Ces deux valeurs sont différentes : contradiction.

Donc $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ ne sont pas colinéaires, et les points B, C et E ne sont pas alignés.

Question 1. b)

On a $\overrightarrow{\mathrm{AF}}\,(3-0\,;\,0-0\,;\,4-1)=(3\,;0\,;3)$.

On calcule les produits scalaires avec deux vecteurs du plan (BCE) :

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AF}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ du plan (BCE) (question 1. a).

Donc $\overrightarrow{\mathrm{AF}}$ est un vecteur normal au plan (BCE).

Question 1. c)

Le vecteur $\vec n\,(1\,;0\,;1)=\dfrac13\overrightarrow{\mathrm{AF}}$ est colinéaire à $\overrightarrow{\mathrm{AF}}$, donc normal au plan (BCE).

Une équation cartésienne du plan (BCE) est donc de la forme

Le point B$(1\,;2\,;3)$ appartient au plan, donc $1+3+d=0$, soit $d=-4$.

Une équation cartésienne de (BCE) est donc $x+z-4=0$.

Vérification avec les deux autres points : pour C$(3\,;3\,;1)$, $3+1-4=0$   pour E$(2\,;-2\,;2)$, $2+2-4=0$.

Question 2. a)

Pour G$(5\,;1\,;2)$ :

Donc les coordonnées de G ne vérifient pas l'équation du plan (BCE) : G n'appartient pas à (BCE).

Question 2. b)

On a $\overrightarrow{\mathrm{AG}}\,(5\,;1\,;1)$.

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ne sont pas colinéaires. Les trois vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ sont donc coplanaires si et seulement s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=a\,\overrightarrow{\mathrm{BE}}+b\,\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

Cette égalité équivaut au système

La première équation donne $a+2b=5$ et la troisième donne $a+2b=-1$ : c'est contradictoire.

Le système n'a pas de solution, donc les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ ne sont pas coplanaires.

Question 2. c)

Le plan (BCE) est dirigé par $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$, et la droite (AG) est dirigée par $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$.

D'après la question 2. b), $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ n'est pas une combinaison linéaire de $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ : la droite (AG) n'est pas parallèle au plan (BCE).

(On retrouve ce résultat avec le vecteur normal : $\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AG}}=1\times5+0\times1+1\times1=6\neq0$.)

Donc la droite (AG) et le plan (BCE) sont sécants en un unique point.

Question 3. a)

La droite (AG) passe par A$(0\,;0\,;1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\mathrm{AG}}\,(5\,;1\,;1)$.

Un point M$(x\,;y\,;z)$ appartient à (AG) si et seulement s'il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t\,\overrightarrow{\mathrm{AG}}$, c'est-à-dire

Donc une représentation paramétrique de (AG) est

Question 3. b)

Le point P appartient à (AG) et à (BCE). Ses coordonnées vérifient donc la représentation paramétrique de (AG) pour un certain réel $t$, et l'équation $x+z-4=0$.

On remplace :

On en déduit les coordonnées de P :

Donc P$\left(\dfrac52\,;\dfrac12\,;\dfrac32\right)$.

Réponse : P$\left(\dfrac52\,;\dfrac12\,;\dfrac32\right)$.

Question 3. c)

Le milieu M de [EC] a pour coordonnées

Ce sont exactement les coordonnées de P.

Donc P est le milieu du segment [EC].

Question 4.

Le plan (ACG). On a $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\,(3\,;3\,;0)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AG}}\,(5\,;1\,;1)$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ est nulle et celle de $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ ne l'est pas), donc A, C et G définissent bien un plan.

Le vecteur $\vec m\,(1\,;-1\,;-4)$ est orthogonal à $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ($3-3+0=0$) et à $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ ($5-1-4=0$). Une équation cartésienne de (ACG) est donc $x-y-4z+d=0$, et A$(0\,;0\,;1)$ donne $-4+d=0$, soit $d=4$ :

Vérification : C$(3\,;3\,;1)$ donne $3-3-4+4=0$ et G$(5\,;1\,;2)$ donne $5-1-8+4=0$.

Deux points communs. Le point C appartient à (BCE) et à (ACG).

Le point E$(2\,;-2\,;2)$ appartient à (BCE), et $2-(-2)-4\times2+4=2+2-8+4=0$ : E appartient aussi à (ACG).

Les points C et E sont distincts.

Plans distincts. Le point A appartient à (ACG), mais pas à (BCE) car $0+1-4=-3\neq0$. Les plans (BCE) et (ACG) sont donc distincts.

Deux plans distincts qui ont deux points distincts C et E en commun se coupent selon la droite (CE).

Donc l'intersection des plans (BCE) et (ACG) est la droite (CE).

(Comme P est le milieu de [EC], c'est aussi la droite (CP).)

Réponse : la droite (CE).

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité par un raisonnement sur les coordonnées (contradiction sur $k$).

• Montrer qu'un vecteur est normal en prouvant l'orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan.

• Déterminer $d$ avec un point du plan et vérifier l'équation sur les autres points.

• Pour la non-coplanarité : poser le système, montrer qu'il est incompatible et conclure.

• Pour le point P : substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan, puis calculer toutes les coordonnées.

• Pour l'intersection de deux plans : deux points communs distincts et deux plans distincts.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.