Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites / Annales du bac

Bac 2026, Asie : exercice 2

9 juin 2026 · jour 1 · 5 points Vrai / Faux

Chapitre 1 : Suites

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1 ;+\infty[$ par :
$f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

Affirmation 1 : La fonction $f$ admet pour limite 1 en $+\infty$ .
On considère la suite $(w_{n})$ définie par $w_{0}=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :
$w_{n+1}=w_{n}+2 n+3$

Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n$ ,
$w_{n}=(n+1)^{2}$
Soit $p$ un nombre réel tel que $0 < p < 1$ .

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres 3 et $p$ .

On note $P\big(X=1\big)$ la probabilité de l'évènement $(X=1)$ .

Affirmation 3 : $P\big(X=1\big)=3 p-6 p^{2}+3 p^{3}$ .
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par :
$v_{n}=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{n x} \,\mathrm{d}x$

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ ,
$v_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n}$
On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des 16 cases d'un quadrillage.

Affirmation 5 : On peut réaliser $\displaystyle \binom{16}{3}$ coloriages différents.

Voir le corrigé

Affirmation 1. Vraie.

Soit $x>1$ . Alors $x-1>0$ et $x+1>0$ , et $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ .

Donc $\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1}\times\sqrt{x+1}$ .

On remplace dans l'expression de $f$ et on simplifie par $\sqrt{x-1}\neq0$ , en remarquant que $x-1=\sqrt{x-1}\times\sqrt{x-1}$ :

f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}.

On divise numérateur et dénominateur par $x>0$ :

f(x)=\sqrt{\dfrac{1-\frac1x}{1+\frac1x}}.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$ .

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1-\frac1x}{1+\frac1x}=\dfrac{1-0}{1+0}=1$ .

La fonction racine carrée est continue en $1$ , donc, par limite d'une composée :

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\sqrt1=1.

Donc l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Vraie.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $P(n)$ la propriété $w_n=(n+1)^{2}$ .

Initialisation. On a $w_0=1$ et $(0+1)^{2}=1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $w_k=(k+1)^{2}$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$ , c'est-à-dire $w_{k+1}=(k+2)^{2}$ .

D'après la définition de la suite et l'hypothèse de récurrence :

w_{k+1}=w_k+2k+3=(k+1)^{2}+2k+3.

On développe :

w_{k+1}=k^{2}+2k+1+2k+3=k^{2}+4k+4=(k+2)^{2}.

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $w_n=(n+1)^{2}$ pour tout entier naturel $n$ .

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Vraie.

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;p)$ . Donc, pour $k\in\{0\,;1\,;2\,;3\}$ :

P(X=k)=\binom3kp^{k}(1-p)^{3-k}.

Pour $k=1$ , avec $\dbinom31=3$ :

P(X=1)=3p(1-p)^{2}.

On développe, sachant que $(1-p)^{2}=1-2p+p^{2}$ :

P(X=1)=3p(1-2p+p^{2})=3p-6p^{2}+3p^{3}.

Donc l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Fausse.

Soit $n\geqslant1$ . La fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{nx}$ est continue sur $[0\,;1]$ et admet pour primitive $x\mapsto\dfrac{\mathrm{e}^{nx}}{n}$ (car $n\neq0$ ).

Donc

v_n=\left[\dfrac{\mathrm{e}^{nx}}{n}\right]_0^1=\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n}-\dfrac{\mathrm{e}^{0}}{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}-1}{n}.

Cette valeur est différente de $\dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n}$ , puisque $\dfrac{1}{n}\neq0$ .

Contre-exemple : pour $n=1$ , $v_1=\mathrm{e}-1\neq\mathrm{e}$ .

Donc l'affirmation 4 est fausse.

Affirmation 5. Fausse.

Chacune des $16$ cases est coloriée de l'une des $3$ couleurs (rouge, jaune ou noir), indépendamment des autres cases.

Par le principe multiplicatif, le nombre de coloriages est

3^{16}=43\,046\,721.

Le nombre $\dbinom{16}{3}=560$ est le nombre de façons de choisir $3$ cases parmi $16$ : il ne correspond pas à cette situation.

Comme $43\,046\,721\neq560$ , l'affirmation 5 est fausse.

Points clés attendus

Affirmation 1 : lever la forme indéterminée en simplifiant par $\sqrt{x-1}$ (ou en factorisant) et conclure par limite d'une composée.
Affirmation 2 : rédiger une récurrence complète (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion).
Affirmation 3 : citer la loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;p)$ et la formule de $P(X=k)$ avant de développer.
Affirmation 4 : calculer l'intégrale avec une primitive et ne pas oublier la borne $0$   un contre-exemple numérique suffit pour réfuter.
Affirmation 5 : identifier une situation de choix indépendants (principe multiplicatif) et non un choix de cases parmi $16$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Chapitre 1 : Suites : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Asie, 9 juin 2026 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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