Terminale Spé Maths / Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration

Fiche 1 : espérance, variance et écart-type

Huit exercices pour maîtriser l'espérance et la variance :

espérance, variance, écart-type d'une loi donnée ;
un dé et un gain affine ;
un jeu de loterie ;
transformation affine et variable centrée réduite ;
la loi de Bernoulli et sa variance maximale ;
linéarité de l'espérance ;
un script Python ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend au bac :

la loi est écrite sous forme de tableau ;
la formule utilisée est citée ;
$E(X^2)$ est calculée séparément avant la variance ;
le résultat est interprété (gain moyen, dispersion) ;
la conclusion nomme la propriété (linéarité, transformation affine).

💡 Le modèle de rédaction d'un calcul d'espérance et de variance

« La variable $X$ prend les valeurs $-1$ , $0$ , $2$ , $5$ avec les probabilités $0{,}1$ , $0{,}3$ , $0{,}4$ , $0{,}2$ .

$E(X)=-1\times0{,}1+0\times0{,}3+2\times0{,}4+5\times0{,}2=1{,}7$ .

$E\left(X^2\right)=1\times0{,}1+0+4\times0{,}4+25\times0{,}2=6{,}7$ . D'après la formule de König-Huygens :

$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=6{,}7-1{,}7^2=3{,}81$ . Donc $\sigma(X)=\sqrt{3{,}81}\approx1{,}95$ . »

Vérifie que la somme des probabilités vaut $1$ .
Calcule $E(X)$ , puis $E\left(X^2\right)$ , puis $V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2$ .
Interprète : « en moyenne… », « écart typique de… ».

⚠️ Les pièges classiques

Oublier de mettre au carré les valeurs dans $E\left(X^2\right)$ , ou calculer $\left(E(X^2)\right)$ à la place de $E(X)^2$ .
Écrire $V(aX+b)=aV(X)+b$ : c'est $a^2V(X)$ .
Écrire $\sigma(aX)=a\,\sigma(X)$ pour $a<0$ : c'est $|a|\,\sigma(X)$ .
Trouver une variance négative sans s'alerter.

😄 Une variance négative, c'est comme une distance négative : ça n'existe pas, et ça dit surtout que tu as fait une erreur de signe quelque part.

Exercice 1 (★) : une loi discrète

Une variable aléatoire $X$ a pour loi :

$x_i$ $-1$ $0$ $2$ $5$

$P(X=x_i)$ $0{,}1$ $0{,}3$ $0{,}4$ $0{,}2$

Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

$x_i$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$P(X=x_i)$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}4$	$0{,}2$

✏️ Correction de l'exercice 1

Les probabilités ont pour somme $0{,}1+0{,}3+0{,}4+0{,}2=1$ ✓.

$E(X)=-1\times0{,}1+0\times0{,}3+2\times0{,}4+5\times0{,}2=-0{,}1+0+0{,}8+1$

✅ $E(X)=1{,}7$

$E\left(X^2\right)=(-1)^2\times0{,}1+0+2^2\times0{,}4+5^2\times0{,}2=0{,}1+1{,}6+5$

$E\left(X^2\right)=6{,}7$

D'après la formule de König-Huygens :

$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=6{,}7-2{,}89$

✅ $V(X)=3{,}81$

✅ $\sigma(X)=\sqrt{3{,}81}\approx1{,}95$

Exercice 2 (★★) : un dé et un gain

On lance un dé équilibré à six faces. Soit $X$ le résultat.

1. Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

2. Un joueur gagne $2X-5$ euros. On note $G=2X-5$ . Calculer $E(G)$ , $V(G)$ et $\sigma(G)$ .

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

Chaque valeur de $1$ à $6$ a la probabilité $\dfrac16$ .

$E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}6=\dfrac{21}6$

✅ $E(X)=\dfrac72=3{,}5$

$E\left(X^2\right)=\dfrac{1+4+9+16+25+36}6=\dfrac{91}6$

$V(X)=\dfrac{91}6-\left(\dfrac72\right)^2=\dfrac{182-147}{12}$

✅ $V(X)=\dfrac{35}{12}\approx2{,}92$

✅ $\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{35}{12}}\approx1{,}71$

Question 2

$G=2X-5$ est une transformation affine de $X$ .

$E(G)=2E(X)-5=7-5$

✅ $E(G)=2$

$V(G)=2^2\,V(X)=4\times\dfrac{35}{12}$

✅ $V(G)=\dfrac{35}3\approx11{,}67$

✅ $\sigma(G)=|2|\,\sigma(X)=2\sqrt{\dfrac{35}{12}}\approx3{,}42$

Interprétation : le joueur gagne en moyenne $2$ € par partie, avec un écart typique de $3{,}42$ €.

Exercice 3 (★★) : une loterie

Un ticket de loterie coûte $5$ €.

Il rapporte $100$ € avec la probabilité $0{,}01$ , $10$ € avec la probabilité $0{,}1$ et rien sinon.

On note $G$ le gain net (rapport moins la mise).

1. Donner la loi de $G$ .

2. Calculer $E(G)$ , $V(G)$ et $\sigma(G)$ . Interpréter $E(G)$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

Gain net : $100-5=95$ (probabilité $0{,}01$ ), $10-5=5$ (probabilité $0{,}1$ ), $-5$ sinon (probabilité $1-0{,}01-0{,}1=0{,}89$ ).

$g_i$	$-5$	$5$	$95$
$P(G=g_i)$	$0{,}89$	$0{,}1$	$0{,}01$

Question 2

$E(G)=-5\times0{,}89+5\times0{,}1+95\times0{,}01=-4{,}45+0{,}5+0{,}95$

✅ $E(G)=-3$

$E\left(G^2\right)=25\times0{,}89+25\times0{,}1+9\,025\times0{,}01=22{,}25+2{,}5+90{,}25=115$

$V(G)=115-(-3)^2$

✅ $V(G)=106$

✅ $\sigma(G)=\sqrt{106}\approx10{,}30$

Interprétation : en moyenne, un joueur perd $3$ € par ticket. Le jeu est défavorable au joueur.

Exercice 4 (★★) : transformation affine

Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X)=3$ et $V(X)=4$ .

1. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de $Y=-2X+5$ .

2. Calculer l'espérance et la variance de $Z=\dfrac{X-3}2$ . Comment appelle-t-on $Z$ ?

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$E(Y)=-2\times3+5$

✅ $E(Y)=-1$

$V(Y)=(-2)^2\times4$

✅ $V(Y)=16$

✅ $\sigma(Y)=|-2|\times\sigma(X)=2\times2=4$

Question 2

$\sigma(X)=\sqrt4=2$ , et $Z=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$ .

$E(Z)=\dfrac{E(X)-3}2=0$

$V(Z)=\left(\dfrac12\right)^2\times V(X)=\dfrac14\times4=1$

✅ $Z$ est la variable centrée réduite associée à $X$ : $E(Z)=0$ et $V(Z)=1$ .

Exercice 5 (★★★) : la variance d'une loi de Bernoulli

Soit $X$ une variable de Bernoulli de paramètre $p$ .

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

2. Étudier la fonction $f:p\mapsto p(1-p)$ sur $[0\,;1]$ . Pour quelle valeur de $p$ la variance est-elle maximale ? Quelle est cette valeur maximale ?

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$X$ prend la valeur $1$ avec la probabilité $p$ et $0$ avec la probabilité $1-p$ .

$E(X)=1\times p+0\times(1-p)$

✅ $E(X)=p$

$X^2=X$ (car $0^2=0$ et $1^2=1$ ), donc $E\left(X^2\right)=p$ .

$V(X)=p-p^2$

✅ $V(X)=p(1-p)$

Question 2

$f(p)=p-p^2$ est dérivable sur $[0\,;1]$ et $f'(p)=1-2p$ .

$f'(p)>0\iff p<\dfrac12$ . Donc $f$ est croissante sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac12\,;1\right]$ .

$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$ .

✅ La variance est maximale pour $p=\dfrac12$ , et vaut $\dfrac14$ .

Conséquence : pour tout $p$ , $p(1-p)\le\dfrac14$ . On utilisera cette majoration avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 6 (★★) : linéarité de l'espérance

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X)=2$ , $E\left(X^2\right)=5$ et $E(Y)=-1$ .

1. Calculer $E(3X-2Y+4)$ .

2. Calculer $V(X)$ , puis $V(3X+4)$ .

3. Peut-on calculer $V(3X-2Y+4)$ avec ces données ?

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

Par linéarité de l'espérance :

$E(3X-2Y+4)=3E(X)-2E(Y)+4=6+2+4$

✅ $E(3X-2Y+4)=12$

Question 2

$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=5-4$

✅ $V(X)=1$

$V(3X+4)=3^2\,V(X)$

✅ $V(3X+4)=9$

Question 3

Non. Pour calculer $V(3X-2Y+4)$ , il faudrait connaître $V(Y)$ et savoir si $X$ et $Y$ sont indépendantes (si oui : $V=9V(X)+4V(Y)$ ).

❌ On ne peut pas conclure avec ces seules données.

Exercice 7 (★★) : Python

On utilise les fonctions du cours :
def esperance(valeurs, probas):
    return sum(x * p for x, p in zip(valeurs, probas))

def variance(valeurs, probas):
    m = esperance(valeurs, probas)
    return sum(p * (x - m)**2 for x, p in zip(valeurs, probas))
1. Que renvoient esperance([-1,0,2,5], [0.1,0.3,0.4,0.2]) et variance([-1,0,2,5], [0.1,0.3,0.4,0.2]) ?

2. La formule de variance est-elle celle de la définition ou celle de König-Huygens ?

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

✅ esperance renvoie $1{,}7$ et variance renvoie $3{,}81$ (aux arrondis près, par exemple 3.8100000000000005).

Ce sont les résultats de l'exercice 1.

Question 2

La fonction calcule $\sum p_i\,(x_i-m)^2$ avec $m=E(X)$ : c'est la définition de la variance, pas la formule de König-Huygens.

✅ Définition.

Exercice 8 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Une variance peut être négative.

2. $E(X+3)=E(X)+3$ .

3. $V(X+3)=V(X)+3$ .

4. $\sigma(-2X)=-2\,\sigma(X)$ .

5. $E\left(X^2\right)\ge E(X)^2$ .

✏️ Correction de l'exercice 8

Affirmation 1

$V(X)=\sum p_i\,(x_i-E(X))^2$ est une somme de termes positifs.

❌ Faux.

Affirmation 2

C'est la propriété $E(aX+b)=aE(X)+b$ avec $a=1$ et $b=3$ .

✅ Vrai.

Affirmation 3

$V(X+3)=V(X)$ : ajouter une constante ne change pas la dispersion.

❌ Faux.

Affirmation 4

$\sigma(-2X)=|-2|\,\sigma(X)=2\,\sigma(X)$ , un nombre positif.

❌ Faux.

Affirmation 5

$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2\ge0$ donc $E\left(X^2\right)\ge E(X)^2$ .

✅ Vrai.

🎯 Ce qui peut tomber au bac

Le calcul de $E(X)$ , $V(X)$ , $\sigma(X)$ à partir d'une loi (exercices 1, 3).
Un gain affine et son interprétation (exercices 2 et 3).
La transformation affine $E(aX+b)$ , $V(aX+b)$ (exercices 2, 4, 6).
La loi de Bernoulli et sa variance (exercice 5).

QCM : vérifie tes acquis

10 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 10

Pour une variable aléatoire $X$ et des réels $a$ et $b$ , $V(aX+b)$ vaut :

Question 2 sur 10

Pour $E(X)=3$ , que vaut $E(2X-5)$ ?

Question 3 sur 10

La formule de König-Huygens s'écrit :

Question 4 sur 10

Quelle est l'espérance du résultat d'un dé équilibré à six faces ?

Question 5 sur 10

Quelle est la variance d'une variable de Bernoulli de paramètre $p$ ?

Question 6 sur 10

Dans l'exercice 2, avec $X$ le résultat d'un dé équilibré et $G=2X-5$ , que vaut $V(G)$ ?

Question 7 sur 10

Dans l'exercice 3 (loterie à $5$ €), quelle est l'espérance du gain net $G$ ?

Question 8 sur 10

Dans l'exercice 4, avec $E(X)=3$ et $V(X)=4$ , que vaut $V(Y)$ pour $Y=-2X+5$ ?

Question 9 sur 10

Dans l'exercice 5 (variance d'une loi de Bernoulli), pour quelle valeur de $p$ la variance $p(1-p)$ est-elle maximale ?

Question 10 sur 10

Dans l'exercice 6, avec $E(X)=2$ , $E\left(X^2\right)=5$ , $E(Y)=-1$ , peut-on calculer $V(3X-2Y+4)$ avec seulement ces données ?

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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