Terminale Spé Maths / Chapitre 8 : Calcul intégral

Calcul intégral : exercices type bac

Trois exercices complets, dans le style de l'épreuve du bac :

une fonction, l'aire sous sa courbe avec primitive, limite et équation à solution unique ;
une suite d'intégrales avec intégration par parties, monotonie, limite et Python ;
l'aire entre une courbe et sa tangente avec encadrement par la méthode des rectangles.

Les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une excellente copie de bac :

primitive vérifiée ;
crochet ;
position relative justifiée ;
régularité citée pour l'IPP ;
théorèmes nommés ;
conclusion en unités d'aire.

Elles suivent le Guide de rédaction général et celui du chapitre. Durée conseillée : 30 minutes par exercice, sur papier, sans regarder la correction.

💡 Comment t'entraîner efficacement

Chronomètre-toi et rédige tout, comme le jour du bac.
Pour une aire, écris toujours : position relative, formule, primitive, crochet, résultat en u.a.
Pour une suite d'intégrales, suis le plan : premiers termes, récurrence, positivité, monotonie, limite.
À la fin de chaque exercice, ouvre « Points clés attendus » : c'est la liste de ce que le correcteur cherche.

Exercice 1 : une aire sous la courbe d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=(x+2)e^{-x}$ . On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité $2$ cm.

1. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement.

2. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .

3. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x)=-(x+3)e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ .

4. Pour $a\ge0$ , on note $A(a)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre $\mathcal C$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$ . Exprimer $A(a)$ en fonction de $a$ , puis calculer $A(1)$ en u.a. et en cm².

5. Déterminer la limite de $A(a)$ quand $a\to+\infty$ et l'interpréter.

6. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha>0$ tel que $A(\alpha)=2{,}5$ . Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$ .

7. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;1]$ .

✏️ Correction de la question 1

Pour $x\ge0$ : $f(x)=xe^{-x}+2e^{-x}$ . Par croissances comparées, $xe^{-x}\to0$ . Et $e^{-x}\to0$ .

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$

La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$ .

✏️ Correction de la question 2

$f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit. $f'(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}=(1-x-2)e^{-x}$ .

✅ $f'(x)=-(x+1)e^{-x}$

Pour $x\ge0$ , $x+1>0$ et $e^{-x}>0$ . Donc $f'(x)<0$ .

✅ $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$ , de $f(0)=2$ vers la limite $0$ .

Tableau : $f(0)=2$ ; $f$ décroît ; limite $0$ en $+\infty$ .

✏️ Correction de la question 3

$F$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit. $F'(x)=-e^{-x}+(x+3)e^{-x}=(x+2)e^{-x}=f(x)$ .

✅ $F$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ .

✏️ Correction de la question 4

$f$ est continue et positive sur $[0\,;a]$ (produit de facteurs positifs). Donc :

A(a)=\int_0^af(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_0^a=F(a)-F(0)=-(a+3)e^{-a}+3

✅ $A(a)=3-(a+3)e^{-a}$ u.a.

Pour $a=1$ :

✅ $A(1)=3-4e^{-1}\approx1{,}53$ u.a.

Une unité d'aire est l'aire d'un carré de $2$ cm de côté, soit $4$ cm². $1{,}53\times4$

✅ $A(1)\approx6{,}1$ cm²

✏️ Correction de la question 5

$(a+3)e^{-a}=ae^{-a}+3e^{-a}\to0$ quand $a\to+\infty$ (croissances comparées).

✅ $\lim A(a)=3$

Interprétation : le domaine infiniment long compris entre $\mathcal C$ et l'axe des abscisses pour $x\ge0$ a une aire finie, égale à $3$ u.a.

✏️ Correction de la question 6

$A$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et $A'=f$ ( $A$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $0$ ). Comme $f>0$ , $A$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . $A(0)=0$ et $\lim A=3$ .

Le nombre $2{,}5$ appartient à $]0\,;3[$ . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $A(x)=2{,}5$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;+\infty[$ .

Encadrement.

$A(2{,}3)=3-5{,}3\,e^{-2{,}3}\approx2{,}469<2{,}5$

$A(2{,}4)=3-5{,}4\,e^{-2{,}4}\approx2{,}510>2{,}5$

Comme $A$ est strictement croissante :

✅ $2{,}3<\alpha<2{,}4$

✏️ Correction de la question 7

La valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;1]$ est $\mu=\dfrac1{1-0}\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=A(1)$ .

✅ $\mu=3-\dfrac4e\approx1{,}53$

Cohérence : $f$ décroît de $f(0)=2$ à $f(1)=\dfrac3e\approx1{,}10$ . $1{,}10\le1{,}53\le2$ ✓

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 1

• Q1 : croissances comparées citées, asymptote conclue.

• Q2 : formule du produit, factorisation, signe justifié, tableau avec $f(0)$ et limite.

• Q3 : $F'$ calculée et égalée à $f$ .

• Q4 : positivité de $f$ justifiée, crochet, résultat en u.a. puis conversion en cm² avec l'aire de l'unité ( $4$ cm²).

• Q5 : limite justifiée, interprétation en termes d'aire.

• Q6 : $A'=f>0$ , continuité, stricte monotonie, limites, corollaire du TVI cité, deux valeurs pour l'encadrement.

• Q7 : formule de la valeur moyenne avec $\dfrac1{b-a}$ .

Exercice 2 : une suite d'intégrales avec des puissances du logarithme

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $I_n=\displaystyle\int_1^e(\ln x)^n\,dx$ .

1. Calculer $I_0$ et $I_1$ .

2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout $n$ , $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$ . En déduire $I_2$ .

3. Montrer que la suite $(I_n)$ est positive et décroissante. Que peut-on en déduire ?

4. Montrer que, pour tout $n$ , $(n+1)I_n\le e$ . En déduire la limite de $(I_n)$ .

5. On utilise le script suivant :
from math import e

def calcul(n):
    I = e - 1
    for k in range(n):
        I = e - (k + 1)*I
    return I
Que calcule-t-il ? Pour $n=20$ , il renvoie une valeur négative (environ $-129$ ). Pourquoi ce résultat est-il absurde ?

✏️ Correction de la question 1

$I_0=\displaystyle\int_1^e1\,dx$

✅ $I_0=e-1$

$I_1=\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=\Big[x\ln x-x\Big]_1^e=(e-e)-(0-1)$

✅ $I_1=1$

✏️ Correction de la question 2

On pose $u'(x)=1$ et $v(x)=(\ln x)^{n+1}$ . Alors $u(x)=x$ et $v'(x)=\dfrac{(n+1)(\ln x)^n}x$ . Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[1\,;e]$ .

Par intégration par parties :

I_{n+1}=\Big[x(\ln x)^{n+1}\Big]_1^e-\int_1^ex\times\frac{(n+1)(\ln x)^n}x\,dx=e\times1-0-(n+1)\int_1^e(\ln x)^n\,dx

✅ $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$

Pour $n=1$ : $I_2=e-2I_1$ .

✅ $I_2=e-2\approx0{,}718$

✏️ Correction de la question 3

Positivité. Pour $x\in[1\,;e]$ , $0\le\ln x\le1$ . Donc $(\ln x)^n\ge0$ , ce qui donne $I_n\ge0$ par positivité de l'intégrale.

Monotonie. $(\ln x)^{n+1}=(\ln x)^n\times\ln x\le(\ln x)^n$ . Donc $I_{n+1}\le I_n$ par croissance de l'intégrale.

✅ La suite $(I_n)$ est positive et décroissante.

Décroissante et minorée par $0$ :

✅ elle converge.

✏️ Correction de la question 4

De la relation de la question 2 : $e=I_{n+1}+(n+1)I_n$ . Comme $I_{n+1}\ge0$ : $(n+1)I_n\le e$ .

✅ $0\le I_n\le\dfrac e{n+1}$

Comme $\dfrac e{n+1}\to0$ :

✅ d'après le théorème des gendarmes, $\lim I_n=0$

✏️ Correction de la question 5

Le script part de $I_0=e-1$ . Il applique la relation de récurrence $n$ fois.

✅ Il calcule $I_n$ .

Pour $n=20$ , la valeur renvoyée est négative. Or $I_{20}\ge0$ (question 3). Et même $I_{20}\le\dfrac e{21}\approx0{,}13$ (question 4).

✅ Le résultat est absurde.

Explication : c'est une instabilité numérique. Chaque étape multiplie l'erreur d'arrondi commise sur $I_k$ par $(k+1)$ .

Après $20$ étapes, l'erreur initiale (de l'ordre de $10^{-16}$ ) est multipliée par $20!$ , soit environ $10^{18}$ .

Elle domine alors le résultat.

Pour calculer $I_n$ pour de grandes valeurs de $n$ , il faut une autre méthode.

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 2

• Q1 : les deux valeurs, avec la primitive $x\ln x-x$ de $\ln$ .

• Q2 : $u'$ et $v$ posés, $u$ et $v'$ calculés, régularité $C^1$ citée, crochet calculé (nul en $1$ , $e$ en $e$ ), formule finale, $I_2$ .

• Q3 : encadrement de $\ln x$ sur $[1\,;e]$ , positivité, croissance de l'intégrale, théorème de convergence des suites monotones bornées.

• Q4 : utilisation de $I_{n+1}\ge0$ , théorème des gendarmes cité.

• Q5 : le script est compris, l'absurdité est justifiée par la question 3 ou 4, l'explication de l'instabilité est donnée.

Exercice 3 : l'aire entre une courbe et sa tangente

On considère la fonction exponentielle et sa courbe $\mathcal C$ dans un repère orthonormé.

On note $T$ la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse $0$ .

Soit $\mathcal D$ le domaine compris entre $\mathcal C$ , $T$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ .

1. Déterminer l'équation réduite de $T$ .

2. Étudier la convexité de la fonction exponentielle et en déduire la position relative de $\mathcal C$ et $T$ .

3. Calculer l'aire de $\mathcal D$ en unités d'aire.

4. On pose $g(x)=e^x-x-1$ .

Montrer que $g$ est croissante sur $[0\,;1]$ .

On partage $[0\,;1]$ en $n$ intervalles de même longueur $h=\dfrac1n$ .

Montrer que $S_g\le\mathcal A\le S_d$ , où $S_g$ et $S_d$ sont les sommes de rectangles à gauche et à droite de $g$ , et où $\mathcal A$ est l'aire de $\mathcal D$ .

5. Pour $n=100$ , un script Python donne $S_g\approx0{,}2147$ et $S_d\approx0{,}2219$ . Vérifier la cohérence avec la question 3 et calculer l'amplitude de l'encadrement.

✏️ Correction de la question 1

La fonction $\exp$ est dérivable sur $\R$ et $\exp'=\exp$ . La tangente au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=\exp(0)+\exp'(0)(x-0)=1+x$ .

✅ $T:\ y=x+1$

✏️ Correction de la question 2

$\exp''=\exp>0$ sur $\R$ .

✅ La fonction exponentielle est convexe sur $\R$ .

Sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

✅ Donc $\mathcal C$ est au-dessus de $T$ : $e^x\ge x+1$ pour tout réel $x$ .

✏️ Correction de la question 3

D'après la question 2, $e^x\ge x+1$ sur $[0\,;1]$ .

\mathcal A=\int_0^1\big(e^x-(x+1)\big)\,dx=\left[e^x-\frac{x^2}2-x\right]_0^1=\left(e-\frac12-1\right)-1

✅ $\mathcal A=e-\dfrac52$ u.a. $\approx0{,}218$ u.a.

✏️ Correction de la question 4

$g$ est dérivable sur $[0\,;1]$ et $g'(x)=e^x-1\ge0$ pour $x\ge0$ .

✅ Donc $g$ est croissante sur $[0\,;1]$ .

Elle est aussi positive ( $g(0)=0$ ). Sur chaque intervalle $[x_k\,;x_{k+1}]$ de longueur $h$ : $g(x_k)\le g(x)\le g(x_{k+1})$ . Donc $h\,g(x_k)\le\displaystyle\int g\le h\,g(x_{k+1})$ .

En additionnant (relation de Chasles) :

✅ $S_g\le\mathcal A\le S_d$

avec $S_g=h\big[g(0)+\dots+g(1-h)\big]$ et $S_d=h\big[g(h)+\dots+g(1)\big]$ .

✏️ Correction de la question 5

La valeur exacte de la question 3 est $e-2{,}5\approx0{,}2183$ . Elle vérifie bien : $0{,}2147\le0{,}2183\le0{,}2219$ ✓

L'amplitude de l'encadrement est $S_d-S_g=h\big[g(1)-g(0)\big]=\dfrac1{100}(e-2-0)$ .

✅ $\approx0{,}0072$

(ce qui correspond à $0{,}2219-0{,}2147=0{,}0072$ ).

L'amplitude tend vers $0$ quand $n\to+\infty$ : la méthode des rectangles converge.

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 3

• Q1 : formule de la tangente appliquée avec $\exp(0)=1$ et $\exp'(0)=1$ .

• Q2 : $\exp''$ calculée, signe, convexité, conséquence sur la position de la courbe par rapport à sa tangente.

• Q3 : position relative justifiée avant le calcul, « haut $-$ bas » écrit, primitive, crochet, résultat exact et approché en u.a.

• Q4 : dérivée de $g$ et signe justifié, encadrement sur chaque sous-intervalle, Chasles.

• Q5 : cohérence numérique vérifiée, amplitude $S_d-S_g=h\big[g(1)-g(0)\big]$ .

🎯 Les réflexes à retenir

Une aire se rédige en quatre temps : positivité (ou position relative), formule, primitive avec crochet, résultat en u.a.
Une intégration par parties s'écrit avec $u'$ , $v$ , $u$ , $v'$ , la régularité $C^1$ et le crochet.
Une suite d'intégrales suit le plan : premiers termes, récurrence, positivité, monotonie, limite.
Une équation à solution unique s'obtient avec le corollaire du TVI : continuité, stricte monotonie, limites.
La méthode des rectangles donne un encadrement si la fonction est monotone.

Aller plus loin avec les vrais sujets

Quand tu es à l'aise avec ce chapitre, entraîne-toi sur les exercices de calcul intégral des sujets officiels des années précédentes.

Ils sont disponibles sur le site de l'APMEP.

Chronomètre-toi et rédige comme le jour du bac.

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte