Primitives et équations différentielles : exercices type bac

L'équation $(E)$ équivaut à $y'=-0{,}1\,y+2{,}5$. Elle est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}1$ et $b=2{,}5$.

La fonction constante $-\dfrac ba=25$ est une solution particulière. ($-0{,}1\times25+2{,}5=0$)

✅ Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y(t)=Ce^{-0{,}1t}+25$, avec $C\in\R$.

$T$ est une solution de $(E)$ : $T(t)=Ce^{-0{,}1t}+25$. La condition $T(0)=85$ donne $C+25=85$, soit $C=60$.

✅ $T(t)=25+60e^{-0{,}1t}$

$T$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et $T'(t)=60\times(-0{,}1)e^{-0{,}1t}=-6e^{-0{,}1t}<0$.

✅ $T$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$.

Comme $-0{,}1<0$, $e^{-0{,}1t}\to0$ quand $t\to+\infty$.

✅ $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}T(t)=25$

Interprétation : l'objet refroidit progressivement et sa température tend vers celle de la pièce, $25\ °\mathrm C$, sans jamais descendre en dessous.

$T'(0)=-6e^0=-6$

✅ À l'instant initial, la température diminue de $6\ °\mathrm C$ par minute.

D'après l'équation, on retrouve $T'(0)=-0{,}1\,T(0)+2{,}5=-8{,}5+2{,}5=-6$ ✓

$T(t)=30\iff25+60e^{-0{,}1t}=30\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac5{60}=\dfrac1{12}\iff-0{,}1t=-\ln12\iff t=10\ln12$

✅ La température atteint $30\ °\mathrm C$ au bout de $10\ln12\approx24{,}8$ minutes.

from math import exp

def minutes():
    t = 0
    while 25 + 60*exp(-0.1*t) >= 30:
        t = t + 1
    return t

La boucle se termine car $T(t)\to25<30$. Comme $T$ est décroissante et que $T(t)=30$ pour $t\approx24{,}85$ :

$T(24)\approx30{,}4\ge30$

$T(25)\approx29{,}9<30$

✅ La fonction renvoie $25$.

• Q1 : forme réduite $y'=ay+b$, $a$ et $b$ identifiés, solution constante $-\dfrac ba$, solution générale avec $C\in\R$.

• Q2 : la condition initiale est appliquée à la solution générale.

• Q3 : dérivée avec signe justifié, limite justifiée par le signe de $-0{,}1$, interprétation en contexte.

• Q4 : valeur et unité ($°\mathrm C$ par minute), signe interprété.

• Q5 : équivalences successives, passage à $\ln$, valeur exacte puis approchée avec l'unité.

• Q6 : condition du while correcte, terminaison justifiée, valeur renvoyée justifiée par deux valeurs de $T$.

La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x)=-2e^{-x}$. Alors :

✅ Donc $u$ est une solution particulière de $(E)$.

Les solutions de l'équation homogène $y'+2y=0$, c'est-à-dire $y'=-2y$, sont les fonctions $Ce^{-2x}$. Comme $u$ est une solution particulière :

✅ les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y(x)=Ce^{-2x}+2e^{-x}$, avec $C\in\R$.

La condition $f(0)=1$ donne $C+2=1$, soit $C=-1$.

✅ $f(x)=2e^{-x}-e^{-2x}$

En $+\infty$. $e^{-x}\to0$ et $e^{-2x}\to0$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=0$

La droite $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$.

En $-\infty$. Pour tout $x$, $f(x)=e^{-2x}\left(2e^x-1\right)$. Quand $x\to-\infty$, $e^{-2x}\to+\infty$ et $2e^x-1\to-1$. Par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$

$f$ est dérivable sur $\R$. $f'(x)=-2e^{-x}+2e^{-2x}=2e^{-2x}\left(-e^x+1\right)$ (car $e^{-x}=e^{-2x}\times e^x$).

✅ $f'(x)=2e^{-2x}(1-e^x)$

Comme $e^{-2x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $1-e^x$. Positif si $x<0$, négatif si $x>0$.

Tableau de variations : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;0]$ (de la limite $-\infty$ à $f(0)=1$).

Puis strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$ (de $1$ à la limite $0$).

Le maximum est $f(0)=1$.

$f(x)=e^{-2x}\left(2e^x-1\right)$. Comme $e^{-2x}>0$ : $f(x)=0\iff2e^x-1=0\iff e^x=\dfrac12\iff x=-\ln2$.

✅ L'équation $f(x)=0$ admet pour unique solution $-\ln2$.

$f(x)$ est du signe de $2e^x-1$. Positif si $e^x>\dfrac12$, c'est-à-dire $x>-\ln2$.

✅ $f(x)<0$ sur $]-\infty\,;-\ln2[$ et $f(x)>0$ sur $]-\ln2\,;+\infty[$.

$f'(x)=-2e^{-x}+2e^{-2x}$. $f''(x)=2e^{-x}-4e^{-2x}=2e^{-2x}(e^x-2)$.

Comme $e^{-2x}>0$, $f''(x)$ est du signe de $e^x-2$. Négatif si $x<\ln2$, positif si $x>\ln2$.

✅ $f$ est concave sur $]-\infty\,;\ln2]$ et convexe sur $[\ln2\,;+\infty[$.

Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $\ln2$, on a un point d'inflexion. $f(\ln2)=2\times\dfrac12-\dfrac14=\dfrac34$.

✅ Le point d'inflexion de $\mathcal C$ est $\left(\ln2\,;\dfrac34\right)$.

• Q1 : $u'+2u$ calculé et égalé à $2e^{-x}$.

• Q2 : équation homogène résolue, théorème « solution générale = homogène + particulière » utilisé, condition initiale appliquée après.

• Q3 : les deux limites justifiées, la factorisation par $e^{-2x}$ en $-\infty$, asymptote conclue.

• Q4 : factorisation détaillée de $f'$, signe justifié, tableau avec limites et maximum.

• Q5 : équivalences, exponentielle strictement positive citée, signe de $f$ justifié.

• Q6 : $f''$ factorisée, signe justifié, point d'inflexion avec ses deux coordonnées.

$F$ est dérivable sur $\R$ comme produit.

On veut $F'(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}$ pour tout $x$. Il suffit d'identifier les coefficients :

$-a=1$

$2a-b=0$

$b-c=1$

Donc $a=-1$, $b=2a=-2$, $c=b-1=-3$.

✅ $F(x)=-\left(x^2+2x+3\right)e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\R$.

Les primitives de $f$ sont $F(x)+C$, $C\in\R$. $G(0)=F(0)+C=-3+C=0$, donc $C=3$.

✅ $G(x)=3-\left(x^2+2x+3\right)e^{-x}$

$G'=f$, et $f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}>0$ pour tout $x$.

✅ Donc $G$ est strictement croissante sur $\R$.

En $+\infty$. $\left(x^2+2x+3\right)e^{-x}=x^2e^{-x}+2xe^{-x}+3e^{-x}$. Par croissances comparées, $x^2e^{-x}\to0$ et $xe^{-x}\to0$, et $3e^{-x}\to0$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}G(x)=3$

La droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à la courbe de $G$ en $+\infty$. Et $G(x)<3$ pour tout $x$ (car $\left(x^2+2x+3\right)e^{-x}>0$).

En $-\infty$. $x^2+2x+3\to+\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$. Donc $\left(x^2+2x+3\right)e^{-x}\to+\infty$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}G(x)=-\infty$

$G$ est continue (dérivable) et strictement croissante sur $\R$.

Elle va de la limite $-\infty$ en $-\infty$ à la limite $3$ en $+\infty$.

Le nombre $1$ est strictement compris entre $-\infty$ et $3$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $G(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$.

Encadrement.

$G(1{,}2)=3-6{,}84\,e^{-1{,}2}\approx0{,}940<1$

$G(1{,}3)=3-7{,}29\,e^{-1{,}3}\approx1{,}013>1$

Comme $G$ est strictement croissante :

✅ $1{,}2<\alpha<1{,}3$

• Q1 : $F'$ calculée avec la formule du produit, identification des coefficients écrite (trois équations), primitive donnée.

• Q2 : « $+C$ » puis détermination de $C$ par la condition $G(0)=0$.

• Q3 : le signe de $G'$ est justifié ($e^{-x}>0$ et $x^2+1>0$), limites par croissances comparées, asymptote justifiée par la limite.

• Q4 : le corollaire du TVI est cité avec ses hypothèses (continuité, stricte monotonie, $1$ compris entre les limites), encadrement justifié par deux valeurs de $G$.