Suites : exercices type bac

$u_1=\sqrt{u_0+2}=\sqrt2$

$u_2=\sqrt{u_1+2}=\sqrt{2+\sqrt2}$, soit environ $1{,}848$.

✅ $u_1=\sqrt2$ et $u_2=\sqrt{2+\sqrt2}$

Soit $P(n)$ la propriété : « $0\le u_n\le u_{n+1}\le2$ ».

Initialisation. On a $u_0=0$ et $u_1=\sqrt2$. Comme $0\le2\le4$, on a $0\le\sqrt2\le2$. Donc $0\le u_0\le u_1\le2$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $0\le u_k\le u_{k+1}\le2$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

En ajoutant $2$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence :

Tous ces nombres sont positifs, donc $u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}$ et $u_{k+2}=\sqrt{u_{k+1}+2}$ sont bien définis.

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ : on peut donc l'appliquer à chaque membre en conservant le sens des inégalités.

On obtient :

c'est-à-dire $\sqrt2\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le2$. Comme $0\le\sqrt2$, on en déduit $0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le2$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc, d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$.

D'après la question 2, pour tout $n\in\N$, $u_n\le u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Toujours d'après la question 2, pour tout $n\in\N$, $u_n\le2$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $2$.

Une suite croissante et majorée converge, d'après le théorème de convergence monotone.

✅ Donc la suite $(u_n)$ converge.

D'après la question 3, la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. Comme $0\le u_n\le2$ pour tout $n$, on a $0\le\ell\le2$ (passage à la limite dans les inégalités larges).

La fonction $f:x\mapsto\sqrt{x+2}$ est continue sur $[0\,;2]$ (composée de fonctions continues), et $\ell$ appartient à cet intervalle. Comme $u_{n+1}=f(u_n)$, que $u_n\to\ell$ et que $u_{n+1}\to\ell$ également, la continuité de $f$ en $\ell$ donne $\ell=f(\ell)$, c'est-à-dire $\ell=\sqrt{\ell+2}$.

Comme $\ell\ge0$, on peut élever au carré : $\ell^2=\ell+2$, soit $\ell^2-\ell-2=0$, c'est-à-dire $(\ell-2)(\ell+1)=0$. Donc $\ell=2$ ou $\ell=-1$. Comme $\ell\ge0$, la valeur $\ell=-1$ est exclue.

✅ Conclusion : $\ell=2$.

(Vérification : $\sqrt{2+2}=2$.)

Le script

from math import sqrt

def seuil():
    n = 0
    u = 0
    while 2 - u >= 0.001:
        u = sqrt(u + 2)
        n = n + 1
    return n

La boucle s'arrête dès que $2-u<10^{-3}$ ; comme la suite converge vers $2$, elle se termine.

La valeur renvoyée

On calcule à la main : $u_5\approx1{,}99759$, donc $2-u_5\approx0{,}0024\ge10^{-3}$ ; $u_6\approx1{,}99940$, donc $2-u_6\approx0{,}0006<10^{-3}$. La suite étant croissante, $2-u_n$ est décroissante : le plus petit entier $n$ cherché est $6$.

✅ La fonction renvoie $6$.

L'inégalité

Soit $n\in\N$. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée ($2+\sqrt{u_n+2}>0$) :

Comme $\sqrt{u_n+2}\ge0$, on a $2+\sqrt{u_n+2}\ge2$, donc $\dfrac1{2+\sqrt{u_n+2}}\le\dfrac12$. Comme $2-u_n\ge0$ (question 2) :

✅ $2-u_{n+1}\le\dfrac12(2-u_n)$

Majoration par récurrence

Soit $Q(n)$ : « $2-u_n\le\dfrac2{2^n}$ ».

Initialisation : $2-u_0=2=\dfrac2{2^0}$, donc $Q(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $k\in\N$ tel que $2-u_k\le\dfrac2{2^k}$. Alors $2-u_{k+1}\le\dfrac12(2-u_k)\le\dfrac12\times\dfrac2{2^k}=\dfrac2{2^{k+1}}$, donc $Q(k+1)$ est vraie.

Conclusion : $Q(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$. Comme $2-u_n\ge0$ d'après la question 2 :

✅ pour tout $n\in\N$, $0\le2-u_n\le\dfrac2{2^n}$.

Limite

Comme $-1<\dfrac12<1$, $\left(\dfrac12\right)^n\to0$, donc $\dfrac2{2^n}\to0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim(2-u_n)=0$.

✅ Donc $\lim u_n=2$, ce qui confirme la question 4.

• Q2 : initialisation vérifiée, hypothèse de récurrence explicitement utilisée, croissance de la racine carrée citée avec son intervalle, conclusion.

• Q3 : les deux propriétés (croissante, majorée) sont énoncées, le théorème de convergence monotone est nommé.

• Q4 : $\ell\in[0\,;2]$, continuité de $f$, équation $\ell=f(\ell)$, élimination de $\ell=-1$.

• Q5 : boucle while avec la bonne condition, on renvoie $n$, la valeur $6$ est justifiée.

• Q6 : conjuguée, encadrement, gendarmes cités.

Si $20\,\%$ des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion, il en reste $80\,\%$ : $u_n\times(1-0{,}2)=0{,}8\,u_n$. On ajoute les $90$ nouveaux adhérents.

✅ Donc, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+90$.

$u_1=0{,}8\times500+90=490$

$u_2=0{,}8\times490+90=482$

✅ $u_1=490$ et $u_2=482$

Pour tout $n\in\N$ :

✅ Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $v_0=u_0-450=50$.

Comment trouver $450$ ? On résout $\ell=0{,}8\ell+90$, soit $0{,}2\ell=90$, donc $\ell=450$.

$(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $50$, donc, pour tout $n\in\N$, $v_n=50\times0{,}8^n$. Comme $u_n=v_n+450$ :

✅ $u_n=450+50\times0{,}8^n$

Vérification : $u_1=450+50\times0{,}8=490$ ✓ et $u_2=450+50\times0{,}64=482$ ✓

Sens de variation. Pour tout $n\in\N$ :

Comme $0{,}8^n>0$, on a $u_{n+1}-u_n<0$.

✅ La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Limite. Comme $-1<0{,}8<1$, $\lim0{,}8^n=0$. Donc, par produit et par somme :

✅ $\lim u_n=450$

Interprétation. Le nombre d'adhérents diminue chaque année et se stabilise progressivement autour de $450$.

Le script

def seuil():
    n = 0
    u = 500
    while u >= 460:
        u = 0.8*u + 90
        n = n + 1
    return n

La valeur renvoyée

On cherche le plus petit $n$ tel que $450+50\times0{,}8^n<460$, soit $0{,}8^n<0{,}2$. La suite $(0{,}8^n)$ est décroissante, et :

$0{,}8^7\approx0{,}2097\ge0{,}2$

$0{,}8^8\approx0{,}1678<0{,}2$

Le plus petit entier cherché est donc $8$.

✅ La fonction renvoie $8$.

Pour tout $n\in\N$, $u_n=450+50\times0{,}8^n$ et $50\times0{,}8^n>0$. Donc $u_n>450$.

❌ Non : le club ne peut jamais compter moins de 450 adhérents ; il s'en rapproche sans jamais l'atteindre.

• Q1 : traduction du pourcentage ($\times0{,}8$) et de l'ajout ($+90$).

• Q2 : le calcul $v_{n+1}=0{,}8\,v_n$ est écrit en entier, avec la raison et le premier terme.

• Q3 : formule d'une suite géométrique, retour à $u_n$.

• Q4 : signe de $u_{n+1}-u_n$ justifié ($0{,}8^n>0$), limite par « $-1<0{,}8<1$ », interprétation en contexte.

• Q5 : condition du while, valeur justifiée.

$u_1=\dfrac13\times3+2\times0-1=0$

$u_2=\dfrac13\times0+2\times1-1=1$

$u_3=\dfrac13\times1+2\times2-1=\dfrac13+3=\dfrac{10}3$

✅ $u_1=0$, $u_2=1$ et $u_3=\dfrac{10}3$

Pour tout $n\in\N$ :

✅ Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac13$ et de premier terme $v_0=u_0-0+6=9$.

Astuce : mets le facteur $\dfrac13$ en évidence dans le résultat, et vérifie que ce qui reste dans la parenthèse est exactement $v_n$.

$(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac13$ et de premier terme $9$, donc, pour tout $n\in\N$, $v_n=9\times\left(\dfrac13\right)^n$. Comme $v_n=u_n-3n+6$, on a $u_n=v_n+3n-6$.

✅ Donc $u_n=3n-6+9\times\left(\dfrac13\right)^n$.

Vérification :

$u_1=3-6+3=0$ ✓

$u_2=6-6+1=1$ ✓

$u_3=9-6+\dfrac13=\dfrac{10}3$ ✓

Comme $-1<\dfrac13<1$, $\lim\left(\dfrac13\right)^n=0$, donc, par produit, $\lim9\times\left(\dfrac13\right)^n=0$. De plus $\lim(3n-6)=+\infty$. Par somme :

✅ $\lim u_n=+\infty$

On écrit $u_k=3k-6+9\times\left(\dfrac13\right)^k$ pour $k$ allant de $0$ à $n$. La somme contient $n+1$ termes. On additionne séparément :

• $3\times(0+1+\dots+n)=3\times\dfrac{n(n+1)}2$, d'après la somme des $n$ premiers entiers ;

• la somme de $n+1$ termes égaux à $-6$ vaut $-6(n+1)$ ;

• $9\times\left(1+\dfrac13+\dots+\left(\dfrac13\right)^n\right)=9\times\dfrac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}=\dfrac{27}2\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)$, d'après la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac13\neq1$.

✅ $T_n=\dfrac{3n(n+1)}2-6(n+1)+\dfrac{27}2\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)$

Vérification pour $n=1$ : $T_1=u_0+u_1=3$. La formule donne $3-12+\dfrac{27}2\times\dfrac89=3-12+12=3$ ✓

Le script

def seuil():
    n = 0
    u = 3
    while u < 100:
        u = u/3 + 2*n - 1
        n = n + 1
    return n

Attention à l'ordre : la relation $u_{n+1}=\dfrac{u_n}3+2n-1$ utilise $n$ avant l'incrémentation. On met donc à jour u avant de faire n = n + 1.

La valeur renvoyée

$u_{35}=99+\dfrac9{3^{35}}\approx99<100$

$u_{36}=102+\dfrac9{3^{36}}\approx102\ge100$

✅ La fonction renvoie $36$.

• Q2 : le calcul de $v_{n+1}$ est écrit intégralement, avec la factorisation par $\dfrac13$.

• Q3 : formule d'une suite géométrique, puis retour à $u_n$.

• Q4 : les deux limites sont justifiées ($-1<\dfrac13<1$, puis somme).

• Q5 : nombre de termes ($n+1$), formules de sommes citées, vérification numérique.

• Q6 : ordre des instructions dans la boucle, valeur justifiée.