Fiche 1 : vecteurs de l'espace, colinéarité et coplanarité

Méthode

On utilise la relation de Chasles, et le fait que dans un cube les quatre arêtes « parallèles » représentent le même vecteur : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EH}$, $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}$.

Question 1

D'après la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}$.

✅ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}$

Question 2

Les points s'enchaînent : $B\to F\to G\to C$. D'après Chasles :

✅ $\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{BC}$

Question 3

Les points s'enchaînent : $E\to H\to G\to C$.

✅ $\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{EC}$

Question 4

Par la règle du parallélépipède, ou par Chasles : $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}$. Donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$.

✅ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}$

Question 5

$\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}$. Donc $\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AE}$.

✅ $\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{EA}=2\,\overrightarrow{AE}$

Question 6

$BDHF$ est un rectangle, car $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DH}$. Donc $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{FH}$. Or $\overrightarrow{FH}$ est le vecteur du 6.

✅ $\overrightarrow{FH}-\overrightarrow{BD}=\vec0$

Méthode

On insère des points intermédiaires pour passer par des arêtes, et on utilise les milieux.

Question 1 : le vecteur $\overrightarrow{IJ}$

D'après la relation de Chasles :

$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BJ}$

$I$ est le milieu de $[EF]$ et $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{IF}=\dfrac12\overrightarrow{EF}=\dfrac12\vec u$.

$\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BF}=-\vec w$.

$J$ est le milieu de $[BC]$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, donc $\overrightarrow{BJ}=\dfrac12\vec v$.

✅ $\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v-\vec w$

Question 2 : le vecteur $\overrightarrow{JK}$

D'après la relation de Chasles :

$\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GK}$

$\overrightarrow{JC}=\dfrac12\overrightarrow{BC}=\dfrac12\vec v$.

$\overrightarrow{CG}=\vec w$.

$K$ est le milieu de $[GH]$ et $\overrightarrow{GH}=-\overrightarrow{AB}=-\vec u$, donc $\overrightarrow{GK}=-\dfrac12\vec u$.

✅ $\overrightarrow{JK}=-\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v+\vec w$

Question 3 : le vecteur $\overrightarrow{IK}$

D'après la relation de Chasles :

$\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GK}=\dfrac12\vec u+\vec v-\dfrac12\vec u$

✅ $\overrightarrow{IK}=\vec v$

Contrôle : $I$ et $K$ sont les milieux de $[EF]$ et $[GH]$, deux arêtes de la face supérieure. Le segment $[IK]$ traverse cette face parallèlement à $[AD]$ : c'est cohérent avec $\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AD}$.

Question 1

$I$ est le milieu de $[BC]$. Donc :

$\overrightarrow{AI}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

D'où $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AI}$. On reporte dans la définition de $J$ :

$\overrightarrow{AJ}=\dfrac13\times2\,\overrightarrow{AI}=\dfrac23\overrightarrow{AI}$

Les vecteurs $\overrightarrow{AJ}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires.

✅ Les points $A$, $J$, $I$ sont alignés.

(Le point $J$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ : il est aux deux tiers de la médiane $[AI]$.)

Question 2

On a $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AI}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires.

✅ Les points $A$, $I$, $E$ sont alignés.

De plus $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AE}$.

✅ $I$ est le milieu de $[AE]$ (et $ABEC$ est un parallélogramme).

Question 1

Les vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$ ne sont pas colinéaires (les points $A$, $F$, $H$ ne sont pas alignés). D'après Chasles :

$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AF}$

Comme $BDHF$ est un rectangle, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{FH}$. Donc :

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{BD}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$.

✅ Les vecteurs $\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{BD}$ sont coplanaires.

Question 2

Le plan $(AFH)$ est dirigé par la base $\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AH}\right)$. La droite $(BD)$ est dirigée par $\overrightarrow{BD}$. D'après la question 1, $\overrightarrow{BD}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$.

✅ La droite $(BD)$ est parallèle au plan $(AFH)$.

Question 3

Raisonnons par l'absurde. Si $B\in(AFH)$, il existerait $a$, $b$ réels tels que $\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{AF}+b\overrightarrow{AH}$.

Dans le repère $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$, on a $\overrightarrow{AF}(1\,;0\,;1)$, $\overrightarrow{AH}(0\,;1\,;1)$, $\overrightarrow{AB}(1\,;0\,;0)$. L'égalité donne :

$1=a$, $0=b$, $0=a+b$

Les deux premières équations donnent $a+b=1\neq0$ : contradiction.

✅ $B\notin(AFH)$.

La droite $(BD)$ est parallèle au plan $(AFH)$ et passe par $B\notin(AFH)$.

✅ $(BD)$ est strictement parallèle à $(AFH)$ (sans point commun avec ce plan).

Méthode

On calcule $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{LK}$ avec les milieux, et on compare.

D'après Chasles, $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}$. Or $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[BC]$ :

$\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{BC}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$

D'après Chasles, $\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DK}$. Or $L$ est le milieu de $[DA]$ et $K$ celui de $[CD]$ :

$\overrightarrow{LK}=\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{DC}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$

Donc $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}$.

✅ $IJKL$ est un parallélogramme.

Un parallélogramme est plan : les points $I$, $J$, $K$, $L$ sont coplanaires, même si $ABCD$ est un tétraèdre (non plan).

Question 1

Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont les sommets d'un tétraèdre : ils ne sont pas coplanaires. Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas coplanaires.

✅ $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ est une base de l'espace.

Question 2

D'après Chasles : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}$.

$I$ est le milieu de $[BC]$ : $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}$, donc $\overrightarrow{IA}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AC}$.

$J$ est le milieu de $[AD]$ : $\overrightarrow{AJ}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$.

✅ $\overrightarrow{IJ}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{AD}$

Question 3

$K$ est le symétrique de $J$ par rapport à $I$ si et seulement si $I$ est le milieu de $[JK]$, c'est-à-dire si $\overrightarrow{IK}=-\overrightarrow{IJ}$.

Calculons $\overrightarrow{IK}$ avec la relation de Chasles :

$\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AI}$

$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{IK}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AD}$

D'après la question 2, $\overrightarrow{IJ}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{AD}$. Donc $\overrightarrow{IK}=-\overrightarrow{IJ}$.

✅ $I$ est le milieu de $[JK]$ : $K$ est le symétrique de $J$ par rapport à $I$.

Question 1

D'après la règle du parallélépipède :

✅ $\overrightarrow{AG}=\vec u+\vec v+\vec w$

D'après Chasles, $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}$. Or $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}=\vec w$.

✅ $\overrightarrow{BH}=-\vec u+\vec v+\vec w$

Question 2

$M$ est le milieu de $[AG]$ :

$\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AG}=\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v+\dfrac12\vec w$

$N$ est le milieu de $[BH]$ :

$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\vec u+\dfrac12\overrightarrow{BH}=\vec u+\dfrac12\left(-\vec u+\vec v+\vec w\right)=\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v+\dfrac12\vec w$

Donc $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AN}$.

✅ $M=N$.

Question 3

Le raisonnement est le même pour $[CE]$ et $[DF]$ (en choisissant $C$ ou $D$ comme origine).

✅ Les quatre diagonales du parallélépipède se coupent en leur milieu, le centre du parallélépipède.

Affirmation 1

Contre-exemple : $\vec i$, $\vec j$ et $\vec i+\vec j$ sont coplanaires, mais $\vec i$ et $\vec j$ ne sont pas colinéaires.

❌ Faux.

Affirmation 2

$\vec w$ est une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$ (avec $a=2$ et $b=-3$).

Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, c'est le théorème de coplanarité.

S'ils sont colinéaires, $\vec w$ l'est aussi : les trois vecteurs sont colinéaires, donc coplanaires.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Les sommets d'un tétraèdre ne sont pas coplanaires : $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ ne sont donc pas coplanaires (ils forment une base de l'espace).

❌ Faux.

Affirmation 4

Contre-exemple : deux droites non coplanaires, comme $(AB)$ et $(CG)$ dans un cube : elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.

❌ Faux.

Affirmation 5

Contre-exemple : les sommets d'un tétraèdre ne sont pas coplanaires.

❌ Faux.

Affirmation 6

$\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, donc les points sont alignés.

✅ Vrai.