Approfondissements de Terminale

Cette page rassemble les notions de bordure du programme officiel : celles qui ne méritent pas un chapitre entier mais qui peuvent tomber dans un sujet, souvent comme question de fin d'exercice ou en exercice de recherche. Chaque section tient en un rappel, un exemple et un exercice corrigé.

🎯 Au programme

Suites adjacentes
Récurrence linéaire d'ordre 2
Limite de $\left(1+\dfrac xn\right)^n$
Fonctions puissances $x\mapsto x^a$
Fonction tangente
Loi géométrique
Barycentre

1. Suites adjacentes

Définition. Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante et $v_n-u_n\to0$ .

Théorème. Deux suites adjacentes convergent vers la même limite $\ell$ , et $u_n\leqslant\ell\leqslant v_n$ pour tout $n$ .

💡 Astuce. Les suites adjacentes servent à encadrer une limite sans la connaître : on obtient une précision $v_n-u_n$ connue d'avance.

Exercice 1 (★★★) : suites adjacentes

On pose, pour $n\geqslant1$ , $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{k^2}$ et $v_n=u_n+\dfrac1n$ .

1. Montrer que $(u_n)$ est croissante.

2. Montrer que $(v_n)$ est décroissante.

3. Conclure que les deux suites convergent vers une même limite. Donner un encadrement avec $n=100$ .

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

$u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)^2}>0$ .

✅ $(u_n)$ est strictement croissante.

Question 2

$v_{n+1}-v_n=\dfrac1{(n+1)^2}+\dfrac1{n+1}-\dfrac1n$ . On réduit au dénominateur $n(n+1)^2$ : le numérateur vaut $n+n(n+1)-(n+1)^2=-1$ .

✅ $v_{n+1}-v_n=-\dfrac1{n(n+1)^2}<0$ : $(v_n)$ est décroissante.

Question 3

$v_n-u_n=\dfrac1n\to0$ : les suites sont adjacentes.

✅ Elles convergent vers une même limite $\ell$ et $u_{100}\leqslant\ell\leqslant v_{100}$ , soit un encadrement d'amplitude $0{,}01$ .

(Cette limite vaut en réalité $\dfrac{\pi^2}6$ , résultat dû à Euler.)

2. Récurrence linéaire d'ordre 2

Méthode. Pour $u_{n+2}=a\,u_{n+1}+b\,u_n$ , on cherche des suites géométriques $r^n$ : il faut $r^2=ar+b$ (équation caractéristique). Si elle a deux racines distinctes $r_1$ et $r_2$ , alors $u_n=A\,r_1^{\,n}+B\,r_2^{\,n}$ avec $A$ et $B$ déterminés par $u_0$ et $u_1$ .

Exercice 2 (★★★) : récurrence d'ordre 2

On pose $u_0=0$ , $u_1=1$ et $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ .

1. Résoudre $r^2=5r-6$ .

2. Déterminer $A$ et $B$ tels que $u_n=A\,r_1^{\,n}+B\,r_2^{\,n}$ .

3. Démontrer par récurrence que $u_n=3^n-2^n$ pour tout $n$ .

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

$r^2-5r+6=0$ : $\Delta=1$ , donc $r=2$ ou $r=3$ .

Question 2

$u_0=A+B=0$ et $u_1=2A+3B=1$ . On trouve $B=1$ puis $A=-1$ .

✅ $u_n=3^n-2^n$ .

Question 3

On démontre la propriété pour deux rangs consécutifs à la fois.

Initialisation : $u_0=3^0-2^0=0$ et $u_1=3-2=1$ .

Hérédité : si $u_n=3^n-2^n$ et $u_{n+1}=3^{n+1}-2^{n+1}$ , alors $u_{n+2}=5(3^{n+1}-2^{n+1})-6(3^n-2^n)=3^n(15-6)-2^n(10-6)=9\times3^n-4\times2^n=3^{n+2}-2^{n+2}$ .

✅ La propriété est vraie pour tout $n$ .

💡 Astuce. La même méthode donne la formule de Binet pour Fibonacci : $r^2=r+1$ a pour racines $\dfrac{1\pm\sqrt5}2$ , et le nombre d'or apparaît.

3. Limite de $\left(1+\dfrac xn\right)^n$

Propriété. Pour tout réel $x$ , $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac xn\right)^n=\mathrm e^x$ .

Idée de la preuve ( $x\neq0$ ). $\left(1+\dfrac xn\right)^n=\mathrm e^{\,n\ln\left(1+\frac xn\right)}$ . Avec $h=\dfrac xn\to0$ : $n\ln(1+h)=x\times\dfrac{\ln(1+h)}h\to x\times1$ (nombre dérivé de $\ln$ en $1$ ), puis on compose avec l'exponentielle.

Exercice 3 (★★) : limite en $\mathrm e^x$

1. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac2n\right)^n$ .

2. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n$ .

3. Application : un capital est placé à $4\,\%$ par an avec capitalisation $n$ fois par an. Quel est le facteur multiplicatif au bout d'un an quand $n\to+\infty$ ?

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

✅ Avec $x=2$ : la limite est $\mathrm e^2$ .

Question 2

$1-\dfrac1n=1+\dfrac{-1}n$ donc $x=-1$ .

✅ La limite est $\mathrm e^{-1}=\dfrac1{\mathrm e}\approx0{,}368$ .

Question 3

Le facteur est $\left(1+\dfrac{0{,}04}n\right)^n\to\mathrm e^{0{,}04}\approx1{,}0408$ .

✅ Le rendement maximal est d'environ $4{,}08\,\%$ , contre $4\,\%$ sans capitalisation fractionnée : c'est la capitalisation continue.

4. Fonctions puissances $x\mapsto x^a$

Définition. Pour $x>0$ et $a$ réel quelconque, $x^a=\mathrm e^{a\ln x}$ .

C'est cohérent avec les puissances entières et $x^{1/2}=\sqrt x$ .
Dérivée : $\left(x^a\right)'=a\,x^{a-1}$ .
Les règles $x^{a+b}=x^ax^b$ et $(x^a)^b=x^{ab}$ restent valables.

Exercice 4 (★★★) : étude de $x\mapsto x^x$

Soit $f(x)=x^x$ pour $x>0$ .

1. Écrire $f(x)$ avec l'exponentielle puis calculer $f'(x)$ .

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .

3. Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)$ .

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$f(x)=\mathrm e^{x\ln x}$ donc $f'(x)=\left(\ln x+x\times\dfrac1x\right)\mathrm e^{x\ln x}$ .

✅ $f'(x)=(1+\ln x)\,x^x$ .

Question 2

$x^x>0$ : le signe de $f'$ est celui de $1+\ln x$ , qui s'annule en $x=\dfrac1{\mathrm e}$ .

Donc $f'$ est négative sur $\left]0\,;\,\dfrac1{\mathrm e}\right[$ et positive sur $\left]\dfrac1{\mathrm e}\,;\,+\infty\right[$ : $f$ est décroissante puis croissante.

✅ Le minimum vaut $f\left(\dfrac1{\mathrm e}\right)=\mathrm e^{-1/\mathrm e}\approx0{,}692$ .

Question 3

Par croissances comparées, $x\ln x\to0$ quand $x\to0^+$ .

✅ Donc $f(x)=\mathrm e^{x\ln x}\to\mathrm e^0=1$ .

5. La fonction tangente

Pour $x\neq\dfrac\pi2+k\pi$ , on pose $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ .

$\tan$ est $\pi$ -périodique et impaire.
Elle est dérivable et $\tan'(x)=1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}>0$ : elle est strictement croissante sur chaque intervalle $\left]-\dfrac\pi2+k\pi\,;\,\dfrac\pi2+k\pi\right[$ .
$\tan x$ est le coefficient directeur de la droite $(OM)$ , où $M$ est le point du cercle trigonométrique associé à $x$ .
Valeurs : $\tan\dfrac\pi4=1$ , $\tan\dfrac\pi3=\sqrt3$ , $\tan\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3}$ .

Exercice 5 (★★) : tangente

1. Démontrer que $\tan'(x)=\dfrac1{\cos^2x}$ .

2. Résoudre $\tan x=1$ dans $\left]-\dfrac\pi2\,;\,\dfrac\pi2\right[$ puis dans $\mathbb R$ .

3. Donner l'équation de la tangente à la courbe de $\tan$ au point d'abscisse $\dfrac\pi4$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

Avec $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ , $u=\sin$ et $v=\cos$ : $\tan'(x)=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$ .

✅ $\tan'(x)=\dfrac1{\cos^2x}$ .

Question 2

Sur cet intervalle, $\tan$ est strictement croissante donc $\tan x=1$ a au plus une solution : $\dfrac\pi4$ .

✅ Dans $\mathbb R$ : $S=\left\{\dfrac\pi4+k\pi\,;\,k\in\mathbb Z\right\}$ (période $\pi$ ).

Question 3

$\tan\dfrac\pi4=1$ et $\tan'\left(\dfrac\pi4\right)=1+1^2=2$ .

✅ $y=1+2\left(x-\dfrac\pi4\right)$ .

⚠️ Piège. $\tan$ n'est pas définie en $\dfrac\pi2+k\pi$ . Dans une équation $\tan x=a$ , pense à ces valeurs exclues et à la période $\pi$ (et non $2\pi$ ).

6. Loi géométrique

On répète des épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $p$ . Soit $X$ le rang du premier succès. Alors :

P(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\quad(k\geqslant1),\qquad P(X\leqslant k)=1-(1-p)^k,\qquad E(X)=\dfrac1p.

On dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ .

Exercice 6 (★★) : premier six

On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$ . $X$ est le nombre de lancers.

1. Donner la loi de $X$ puis calculer $P(X=3)$ .

2. Calculer $P(X\leqslant4)$ .

3. Combien de lancers faut-il en moyenne ?

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

Les lancers sont indépendants et $p=\dfrac16$ .

$P(X=3)=\left(\dfrac56\right)^2\times\dfrac16=\dfrac{25}{216}$ .

✅ $P(X=3)\approx0{,}116$ .

Question 2

$P(X\leqslant4)=1-P(X>4)=1-\left(\dfrac56\right)^4=1-\dfrac{625}{1296}$ .

✅ $P(X\leqslant4)=\dfrac{671}{1296}\approx0{,}518$ .

Question 3

✅ $E(X)=\dfrac1p=6$ lancers en moyenne.

7. Barycentre

Soit $A$ et $B$ deux points, $a$ et $b$ deux réels tels que $a+b\neq0$ . Le barycentre $G$ de $(A,a)$ et $(B,b)$ est l'unique point tel que $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec 0$ , c'est-à-dire :

\overrightarrow{AG}=\dfrac b{a+b}\overrightarrow{AB}.

Ses coordonnées sont $\left(\dfrac{ax_A+bx_B}{a+b}\,;\,\dfrac{ay_A+by_B}{a+b}\,;\,\dfrac{az_A+bz_B}{a+b}\right)$ . Avec des poids égaux, c'est l'isobarycentre (milieu pour deux points, centre de gravité pour un triangle).

Exercice 7 (★★) : barycentres dans l'espace

Dans un repère de l'espace, $A(1\,;\,2\,;\,0)$ , $B(7\,;\,-4\,;\,3)$ et $C(0\,;\,3\,;\,3)$ avec $O(0\,;\,0\,;\,0)$ .

1. Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ de $(A,2)$ et $(B,1)$ . Que peut-on dire de $G$ sur $[AB]$ ?

2. Déterminer l'isobarycentre $K$ des points $O$ , $B$ et $C$ .

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

$a+b=3$ . $x_G=\dfrac{2\times1+7}3=3$ , $y_G=\dfrac{2\times2-4}3=0$ , $z_G=\dfrac{0+3}3=1$ .

✅ $G(3\,;\,0\,;\,1)$ . Comme $\overrightarrow{AG}=\dfrac13\overrightarrow{AB}$ , $G$ est au tiers de $[AB]$ en partant de $A$ (le plus proche du point le plus lourd).

Question 2

$x_K=\dfrac{0+7+0}3=\dfrac73$ , $y_K=\dfrac{0-4+3}3=-\dfrac13$ , $z_K=\dfrac{0+3+3}3=2$ .

✅ $K\left(\dfrac73\,;\,-\dfrac13\,;\,2\right)$ .

🎯 À retenir

Suites adjacentes : même limite et encadrement.
Ordre 2 : équation caractéristique puis récurrence sur deux rangs.
$\left(1+\dfrac xn\right)^n\to\mathrm e^x$ .
$x^a=\mathrm e^{a\ln x}$ , dérivée $a\,x^{a-1}$ .
$\tan'=1+\tan^2$ , période $\pi$ .
Loi géométrique : $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ , $E(X)=\dfrac1p$ .
Barycentre : $\overrightarrow{AG}=\dfrac b{a+b}\overrightarrow{AB}$ .

QCM : vérifie tes acquis

7 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 7

Deux suites adjacentes :

Question 2 sur 7

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac3n\right)^n=$

Question 3 sur 7

Pour $x>0$ , $x^{1/3}$ est égal à :

Question 4 sur 7

La dérivée de $\tan$ est :

Question 5 sur 7

La période de $\tan$ est :

Question 6 sur 7

Loi géométrique de paramètre $p=0{,}25$ : l'espérance vaut :

Question 7 sur 7

Le barycentre de $(A,1)$ et $(B,3)$ vérifie :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte

Approfondissements de Terminale

1. Suites adjacentes

Exercice 1 (★★★) : suites adjacentes

2. Récurrence linéaire d'ordre 2

Exercice 2 (★★★) : récurrence d'ordre 2

3. Limite de (1+xn)n\left(1+\dfrac xn\right)^n(1+nx​)n

Exercice 3 (★★) : limite en ex\mathrm e^xex

4. Fonctions puissances x↦xax\mapsto x^ax↦xa

Exercice 4 (★★★) : étude de x↦xxx\mapsto x^xx↦xx

5. La fonction tangente

Exercice 5 (★★) : tangente

6. Loi géométrique

Exercice 6 (★★) : premier six

7. Barycentre

Exercice 7 (★★) : barycentres dans l'espace

QCM : vérifie tes acquis

3. Limite de $\left(1+\dfrac xn\right)^n$

Exercice 3 (★★) : limite en $\mathrm e^x$

4. Fonctions puissances $x\mapsto x^a$

Exercice 4 (★★★) : étude de $x\mapsto x^x$