Guide de rédaction : dérivation et convexité

🎯 Le principe du chapitre

Avec la dérivation et la convexité, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la dérivabilité justifiée avant chaque dérivée ;
• la formule citée ;
• le signe justifié facteur par facteur ;
• le tableau complet (limites et valeurs) ;
• la phrase de conclusion qui traduit le résultat (variations, convexité, point d'inflexion, tangente).

Situation 1 : justifier la dérivabilité.

« La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$. »

Autres formes :

• « … comme somme, quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur $I$ » ;
• « … comme composée de fonctions dérivables » ;
• « … comme inverse d'une fonction dérivable qui ne s'annule pas ».

Pour une racine : « … car $u(x)>0$ sur $I$ ».

Situation 2 : calculer une dérivée ($f(x)=(x^2+x+1)e^{-x}$).

« On applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x^2+x+1$, $u'(x)=2x+1$, $v(x)=e^{-x}$ et $v'(x)=-e^{-x}$. Pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(2x+1)e^{-x}-(x^2+x+1)e^{-x}=e^{-x}(x-x^2)=x(1-x)e^{-x}$. »

💡 Nomme $u$, $u'$, $v$, $v'$ avant d'écrire le résultat : c'est ce qui fait apparaître les points au barème, et ce qui évite l'erreur de signe.

Situation 3 : dériver une composée.

« La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de $x\mapsto-x^2$ et de l'exponentielle. On applique $(e^u)'=u'e^u$ avec $u(x)=-x^2$, $u'(x)=-2x$. Pour tout $x$, $g'(x)=-2xe^{-x^2}$. »

Situation 4 : étudier le signe de la dérivée.

« Comme $e^{-x}>0$ pour tout $x$, $f'(x)$ est du signe de $x(1-x)$, trinôme de racines $0$ et $1$ et de coefficient dominant négatif. Donc $f'(x)<0$ sur $]-\infty\,;0[$, $f'(x)>0$ sur $]0\,;1[$ et $f'(x)<0$ sur $]1\,;+\infty[$. »

⚠️ Justifie chaque facteur : « $e^x>0$ », « $(x-1)^2\ge0$ », « le dénominateur est strictement positif ».

Situation 5 : le tableau de variations.

Le tableau doit contenir :

• le domaine ;
• le signe de $f'$ ;
• les flèches ;
• les limites aux bornes ;
• les valeurs aux extremums.

Puis la phrase : « La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$, strictement croissante sur $[0\,;1]$ et strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$. Elle admet un minimum local $1$ en $0$ et un maximum local $\dfrac3e$ en $1$. »

Situation 6 : l'équation d'une tangente.

« La tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Ici $f(1)=e$ et $f'(1)=2e$, donc la tangente a pour équation $y=e+2e(x-1)$, soit $y=2ex-e$. »

⚠️ Écris les trois nombres $a$, $f(a)$ et $f'(a)$ avant l'équation.

Situation 7 : la dérivée seconde et la convexité.

« La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables. $f''(x)=(x^2-3x+1)e^{-x}$.

Comme $e^{-x}>0$, $f''(x)$ est du signe de $x^2-3x+1$, dont les racines sont $\dfrac{3\pm\sqrt5}2$.

Donc $f''\ge0$ sur $]-\infty\,;x_1]\cup[x_2\,;+\infty[$ : $f$ est convexe sur ces intervalles. $f''\le0$ sur $[x_1\,;x_2]$ : $f$ est concave sur cet intervalle. »

Situation 8 : le point d'inflexion.

« La fonction $f''$ s'annule en changeant de signe en $0$. Donc le point de $\mathcal C$ d'abscisse $0$, c'est-à-dire $I\left(0\,;\dfrac12\right)$, est un point d'inflexion. »

⚠️ « $f''(a)=0$ » ne suffit pas : il faut le changement de signe. Et donne les deux coordonnées.

Situation 9 : déterminer des paramètres.

« La courbe passe par $A(0\,;1)$ : $f(0)=1$, soit $b=1$. La tangente en $A$ est horizontale : $f'(0)=0$, soit $a-b=0$. Donc $a=b=1$. »

Puis : « Vérification : $f(0)=1$ et $f'(0)=0$. »

💡 Traduis chaque information de l'énoncé en une équation, et vérifie à la fin.

Situation 10 : une inégalité par fonction auxiliaire.

« Soit $g(x)=e^x-x-1$.

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)=e^x-1$.

Comme l'exponentielle est strictement croissante et $e^0=1$, $g'(x)<0$ si $x<0$ et $g'(x)>0$ si $x>0$.

Donc $g$ admet un minimum en $0$, égal à $g(0)=0$.

Ainsi $g(x)\ge0$ pour tout $x$, c'est-à-dire $e^x\ge1+x$. »

Situation 11 : une inégalité par convexité.

« La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et $f''(x)=\dfrac2{(1+x)^3}>0$ : $f$ est convexe sur $I$.

Sa courbe est donc au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y=1-x$.

Donc, pour tout $x>-1$, $\dfrac1{1+x}\ge1-x$. »

Situation 12 : un problème d'optimisation.

« Modélisation. Le volume est $V(x)=x(30-2x)^2$ pour $x\in\,]0\,;15[$.

Variations. $V$ est dérivable et $V'(x)=12(15-x)(5-x)$. Sur $]0\,;15[$, $V'(x)$ est du signe de $5-x$, donc $V$ est croissante sur $]0\,;5]$ et décroissante sur $[5\,;15[$.

Conclusion. Le volume est maximal pour $x=5$ cm et vaut $2\,000$ cm³. »

⚠️ Trois ingrédients obligatoires : le domaine, le tableau de variations, la conclusion en contexte avec l'unité.

Situation 13 : lecture graphique.

« Sur la courbe de $f'$, on lit que $f'$ est positive sur $]-\infty\,;-2[$ et négative sur $]-2\,;1[$. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-2]$ et décroissante sur $[-2\,;1]$. »

Pour une lecture sur $f''$ ou sur les variations de $f'$ : « $f'$ est croissante sur $I$, donc $f$ est convexe sur $I$. »

⚠️ Une lecture graphique se rédige avec les théorèmes du cours, pas avec « on voit que ».

Situation 14 : vrai/faux et contre-exemple.

« L'affirmation est fausse. Contre-exemple : $f(x)=x^4$, $f''(x)=12x^2$ s'annule en $0$ sans changer de signe, donc la courbe n'a pas de point d'inflexion en $0$. »

a) Une dérivée et un signe.

❌ « $f'(x)=(2x+1)e^{-x}-(x^2+x+1)e^{-x}$ donc $f$ est croissante. »

✅ « $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit. $f'(x)=x(1-x)e^{-x}$.

Comme $e^{-x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $x(1-x)$.

Donc $f'<0$ sur $]-\infty\,;0[$, $f'>0$ sur $]0\,;1[$ et $f'<0$ sur $]1\,;+\infty[$ : $f$ est décroissante, puis croissante, puis décroissante. »

Ce qui manque à la première : la dérivabilité, le résultat factorisé, le signe justifié, les intervalles.

b) Un point d'inflexion.

❌ « $f''(0)=0$ donc c'est un point d'inflexion. »

✅ « $f''$ est négative sur $]-\infty\,;0[$ et positive sur $]0\,;+\infty[$ : elle s'annule en changeant de signe en $0$. Donc $I\left(0\,;\dfrac12\right)$ est un point d'inflexion. »

c) Une tangente.

❌ « La tangente en $1$ est $y=2e(x-1)$. »

✅ « $f(1)=e$ et $f'(1)=2e$. La tangente en $1$ a pour équation $y=e+2e(x-1)$, soit $y=2ex-e$. »

Il manquait $f(1)$ : la tangente ne passait pas par le bon point.

d) Une inégalité.

❌ « $e^x\ge1+x$ car la courbe de $\exp$ est au-dessus de sa tangente. »

✅ « $\exp''=\exp>0$, donc l'exponentielle est convexe sur $\R$. Sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y=1+x$. Donc $e^x\ge1+x$ pour tout $x$. »

• J'ai écrit la phrase de dérivabilité avant chaque dérivée.
• J'ai cité la formule et nommé $u$, $u'$, $v$, $v'$.
• Ma dérivée est factorisée, et j'ai justifié le signe de chaque facteur.
• Mon tableau contient les limites et les valeurs aux extremums.
• Pour la convexité, j'ai calculé $f''$, étudié son signe et vérifié le changement de signe pour les inflexions, avec leurs deux coordonnées.
• Pour une tangente, j'ai écrit $a$, $f(a)$ et $f'(a)$ avant l'équation.
• Pour un problème, j'ai donné le domaine, le tableau et la conclusion en contexte avec l'unité.
• J'ai vérifié ma dérivée avec une valeur simple ($x=0$ ou $1$).

😄 Une dérivée non factorisée, c'est une valise qu'on n'a pas fermée : tout dépasse, et personne ne s'y retrouve.