Guide de rédaction : sommes de variables aléatoires et concentration

🎯 Le principe du chapitre

Avec les sommes de variables et la concentration, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• l'espérance, la variance et l'écart-type écrits avant toute inégalité ;
• l'indépendance justifiée avant d'additionner des variances ;
• l'inégalité citée avec $\mu$, $V$ et $\delta$ ;
• la traduction de l'événement en valeur absolue et l'usage de l'événement contraire ;
• la conclusion nuancée : une majoration est une garantie, pas la valeur exacte.

Situation 1 : espérance, variance, écart-type d'une loi.

« $E(X)=-2\times0{,}7+4\times0{,}2+10\times0{,}1=0{,}4$. $E\left(X^2\right)=4\times0{,}7+16\times0{,}2+100\times0{,}1=16$. D'après la formule de König-Huygens, $V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=16-0{,}16=15{,}84$. Donc $\sigma(X)=\sqrt{15{,}84}\approx3{,}98$. »

💡 Vérifie que la somme des probabilités vaut $1$.

Situation 2 : transformation affine.

« $G=2X-5$. Donc $E(G)=2E(X)-5=2$, $V(G)=2^2V(X)=\dfrac{35}3$ et $\sigma(G)=|2|\,\sigma(X)$. »

⚠️ $V(aX+b)=a^2V(X)$ : le $b$ disparaît, le $a$ passe au carré, $\sigma$ prend la valeur absolue.

Situation 3 : linéarité de l'espérance.

« Par linéarité de l'espérance, $E(3X-2Y+4)=3E(X)-2E(Y)+4=12$. »

💡 La linéarité ne demande aucune indépendance.

Situation 4 : justifier l'indépendance de deux variables.

« Les deux lancers sont indépendants, donc les variables $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes. »

Par un tableau : « $P(X=0,Y=0)=0{,}4\neq0{,}3=P(X=0)P(Y=0)$ : les variables ne sont pas indépendantes. »

Situation 5 : variance d'une somme.

« Les variables $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes. Donc $V(X_1+X_2)=V(X_1)+V(X_2)=\dfrac{35}6$. »

⚠️ Additionne les variances, jamais les écarts-types. Pour une différence : $V(X-Y)=V(X)+V(Y)$.

Situation 6 : la loi binomiale comme somme.

« Soit $X_i$ la variable qui vaut $1$ si la $i$-ème épreuve est un succès, $0$ sinon.

Les $X_i$ sont de Bernoulli de paramètre $p$ et indépendantes, et $X=X_1+\dots+X_n$.

Donc $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$. »

Situation 7 : somme et moyenne d'un échantillon.

« $S_n=X_1+\dots+X_n$ avec les $X_i$ indépendantes de même loi que $X$. $E(S_n)=nE(X)$, $V(S_n)=nV(X)$ et $\sigma(S_n)=\sigma(X)\sqrt n$. La moyenne $M_n=\dfrac{S_n}n$ vérifie $E(M_n)=E(X)$, $V(M_n)=\dfrac{V(X)}n$ et $\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt n}$. »

Situation 8 : la fréquence d'un succès.

« $X_n\sim\mathcal B(n,p)$ et $F_n=\dfrac{X_n}n$. $E(F_n)=p$ et $V(F_n)=\dfrac{V(X_n)}{n^2}=\dfrac{p(1-p)}n\le\dfrac1{4n}$. »

Situation 9 : citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

« $X$ a pour espérance $\mu=50$ et pour variance $V(X)=25$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour $\delta=10$ : $P\big(|X-50|\ge10\big)\le\dfrac{V(X)}{\delta^2}=\dfrac{25}{100}=0{,}25$. »

💡 Écris $\mu$, $V$ et $\delta$ avant de remplacer.

Situation 10 : traduire un événement en valeur absolue.

« $0<S<800\iff-400<S-400<400\iff|S-400|<400$. On applique l'inégalité avec $\mu=400$ et $\delta=400$. »

💡 « Strictement entre $a$ et $b$ » $\iff|X-\mu|<\delta$ avec $\mu=\dfrac{a+b}2$ et $\delta=\dfrac{b-a}2$.

Situation 11 : minorer avec l'événement contraire.

« $P\big(|S-400|\ge400\big)\le0{,}099$. Par événement contraire, $P\big(|S-400|<400\big)\ge1-0{,}099=0{,}901$. »

Situation 12 : inégalité de concentration pour la moyenne ou la fréquence.

« $F_n$ a pour espérance $p$ et pour variance $\dfrac{p(1-p)}n$. Pour $\delta=0{,}05$ : $P\big(|F_n-p|\ge0{,}05\big)\le\dfrac{p(1-p)}{n\times0{,}0025}\le\dfrac1{4n\times0{,}0025}$. »

Situation 13 : dimensionner un échantillon.

« On veut $\dfrac1{4n\times0{,}03^2}\le0{,}05$, c'est-à-dire $n\ge\dfrac1{4\times0{,}0009\times0{,}05}\approx5\,555{,}6$. Il suffit de $n=5\,556$ personnes. »

⚠️ Arrondis à l'entier supérieur.

Situation 14 : la loi des grands nombres avec les gendarmes.

« Pour tout $n\ge1$, $0\le P\big(|M_n-\mu|\ge\delta\big)\le\dfrac{V(X)}{n\delta^2}$. Comme $\dfrac{V(X)}{n\delta^2}\to0$, d'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P\big(|M_n-\mu|\ge\delta\big)=0$. »

a) Une variance de somme.

❌ « $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$. »

✅ « Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes (lancers indépendants). Donc $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$. »

La première n'a pas justifié l'indépendance.

b) Bienaymé-Tchebychev.

❌ « D'après Bienaymé-Tchebychev, $P\le0{,}25$. »

✅ « $X$ est d'espérance $\mu=50$ et de variance $25$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=10$, $P\big(|X-50|\ge10\big)\le\dfrac{25}{10^2}=0{,}25$. »

c) Traduire un événement.

❌ « $P(10<X<30)\le0{,}192$. »

✅ « $10<X<30\iff|X-20|<10$. D'après l'inégalité, $P\big(|X-20|\ge10\big)\le0{,}192$. Par événement contraire, $P(10<X<30)\ge0{,}808$. »

La première a inversé le sens : la majoration porte sur $|X-\mu|\ge\delta$, pas sur $|X-\mu|<\delta$.

d) Une conclusion.

❌ « La fréquence est $0{,}54$, donc la pièce est truquée. »

✅ « Si la pièce est équilibrée, $P\big(|F_n-0{,}5|\ge0{,}04\big)\le0{,}0156$. Il est donc raisonnable de douter de l'équilibre de la pièce. »

• J'ai écrit $E$, $V$, $\sigma$ de chaque variable utilisée.
• J'ai justifié l'indépendance avant d'additionner des variances.
• Je n'ai jamais additionné d'écarts-types.
• Dans $V(aX+b)$, j'ai mis $a$ au carré.
• J'ai écrit $\mu$, $V$, $\delta$ avant d'appliquer Bienaymé-Tchebychev.
• J'ai traduit l'événement en valeur absolue, puis utilisé l'événement contraire si besoin.
• Pour un échantillon, j'ai utilisé $V(F_n)=\dfrac{p(1-p)}n\le\dfrac1{4n}$ et arrondi à l'entier supérieur.
• Ma conclusion est nuancée : une garantie, pas une certitude.

😄 Le dernier mot de ce cours : la loi des grands nombres ne te promet pas d'avoir de la chance, elle te promet que, sur la durée, ta chance se dilue. C'est aussi vrai des exercices de probabilités : plus tu en fais, plus le résultat de ton bac se rapproche de ce que tu vaux.