Fiche 4 : suites d'intégrales, rectangles et inégalités

Question 1

$I_0=\displaystyle\int_0^1\frac1{1+x}\,dx=\Big[\ln(1+x)\Big]_0^1$

✅ $I_0=\ln2$

$I_1=\displaystyle\int_0^1\frac x{1+x}\,dx=\int_0^1\left(1-\frac1{1+x}\right)dx=\Big[x-\ln(1+x)\Big]_0^1$

✅ $I_1=1-\ln2$

Question 2

✅ $I_n+I_{n+1}=\dfrac1{n+1}$

Question 3

Positivité. Pour $x\in[0\,;1]$, $\dfrac{x^n}{1+x}\ge0$. Donc $I_n\ge0$ par positivité de l'intégrale.

Monotonie.

Pour $x\in[0\,;1]$ : $x^n\ge0$, $x-1\le0$ et $1+x>0$. L'intégrande est donc $\le0$. Donc $I_{n+1}-I_n\le0$ : la suite est décroissante.

Décroissante et minorée par $0$ :

✅ la suite converge.

Question 4

Pour $x\in[0\,;1]$, $\dfrac1{1+x}\le1$. Donc $\dfrac{x^n}{1+x}\le x^n$. Par croissance de l'intégrale :

$0\le I_n\le\displaystyle\int_0^1x^n\,dx=\dfrac1{n+1}$

Comme $\dfrac1{n+1}\to0$ :

✅ d'après le théorème des gendarmes, $\lim I_n=0$

Question 5

La suite est décroissante, donc $I_{n+1}\le I_n$. $\dfrac1{n+1}=I_n+I_{n+1}\le2I_n$. Donc $I_n\ge\dfrac1{2(n+1)}$.

De même, pour $n\ge1$, $I_n\le I_{n-1}$. $\dfrac1n=I_{n-1}+I_n\ge2I_n$. Donc $I_n\le\dfrac1{2n}$.

✅ $\dfrac1{2(n+1)}\le I_n\le\dfrac1{2n}$

On en déduit que $nI_n$ tend vers $\dfrac12$.

Question 1

$J_0=\displaystyle\int_0^1e^{-x}\,dx=\Big[-e^{-x}\Big]_0^1$

✅ $J_0=1-\dfrac1e$

$J_1=\displaystyle\int_0^1xe^{-x}\,dx$ (fiche 3, exercice 5)

✅ $J_1=1-\dfrac2e$

Question 2

On pose $u'(x)=e^{-x}$ et $v(x)=x^{n+1}$. Alors $u(x)=-e^{-x}$ et $v'(x)=(n+1)x^n$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[0\,;1]$.

Par intégration par parties :

✅ $J_{n+1}=(n+1)J_n-\dfrac1e$

Pour $n=1$ : $J_2=2J_1-\dfrac1e=2-\dfrac4e-\dfrac1e$

✅ $J_2=2-\dfrac5e\approx0{,}161$

Question 3

Pour $x\in[0\,;1]$, $0\le e^{-x}\le1$. Donc $0\le x^ne^{-x}\le x^n$. Par croissance de l'intégrale :

$0\le J_n\le\dfrac1{n+1}$

Comme $\dfrac1{n+1}\to0$ :

✅ d'après le théorème des gendarmes, $\lim J_n=0$

Question 1

$W_0=\displaystyle\int_0^{\pi/2}1\,dx$

✅ $W_0=\dfrac\pi2$

$W_1=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/2}$

✅ $W_1=1$

Question 2

On écrit $\sin^{n+2}x=\sin^{n+1}x\times\sin x$. On pose $u'(x)=\sin x$ et $v(x)=\sin^{n+1}x$. Alors $u(x)=-\cos x$ et $v'(x)=(n+1)\sin^nx\cos x$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$.

Par intégration par parties :

Le crochet vaut $0$ ($\cos\dfrac\pi2=0$ et $\sin0=0$). Avec $\cos^2x=1-\sin^2x$ :

✅ $(n+2)W_{n+2}=(n+1)W_n$

$W_2=\dfrac12W_0$

✅ $W_2=\dfrac\pi4$

$W_3=\dfrac23W_1$

✅ $W_3=\dfrac23$

$W_4=\dfrac34W_2$

✅ $W_4=\dfrac{3\pi}{16}$

Question 3

Pour $x\in\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$, $0\le\sin x\le1$. Donc $\sin^nx\ge0$ et $\sin^{n+1}x\le\sin^nx$. Par positivité et croissance de l'intégrale : $W_n\ge0$ et $W_{n+1}\le W_n$.

✅ La suite est positive et décroissante, donc convergente.

Question 1

def rectangles_droite(f, a, b, n):
    h = (b - a)/n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + f(a + (k + 1)*h)
    return h*s

Question 2

La fonction $x\mapsto x^2$ est croissante et positive sur $[0\,;1]$. Donc $S_g\le\displaystyle\int_0^1x^2\,dx\le S_d$.

Pour $n=10$ : $S_g=0{,}285$ et $S_d=0{,}385$.

✅ $0{,}285\le\displaystyle\int\le0{,}385$

Pour $n=100$ : $S_g=0{,}32835$ et $S_d=0{,}33835$.

✅ $0{,}32835\le\displaystyle\int\le0{,}33835$

Dans les deux cas, $\dfrac13\approx0{,}3333$ est bien dans l'encadrement.

Question 3

L'amplitude est $S_d-S_g=h\big[f(1)-f(0)\big]=\dfrac1n$. On veut $\dfrac1n<0{,}001$.

✅ $n>1\,000$, par exemple $n=1\,001$.

Question 1

La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\R$. Donc $F$ est la primitive de cette fonction qui s'annule en $0$. $F$ est dérivable sur $\R$ :

✅ $F'(x)=e^{-x^2}>0$

✅ $F$ est strictement croissante sur $\R$.

Question 2

Soit $g(x)=F(x)+F(-x)$. $g$ est dérivable et $g'(x)=F'(x)-F'(-x)=e^{-x^2}-e^{-x^2}=0$. Donc $g$ est constante, égale à $g(0)=2F(0)=0$. Ainsi $F(-x)=-F(x)$.

✅ $F$ est impaire.

Question 3

Pour tout réel $u$, $e^u\ge1+u$ (inégalité de convexité). Avec $u=-t^2$ : $e^{-t^2}\ge1-t^2$. Et $e^{-t^2}\le1$ car $-t^2\le0$.

Pour $x\ge0$, en intégrant de $0$ à $x$ :

✅ $x-\dfrac{x^3}3\le F(x)\le x$

Pour $x=1$ :

✅ $\dfrac23\le F(1)\le1$

(La valeur exacte est $F(1)\approx0{,}747$.)

Question 1

Pour $t\ge0$, $1+t\ge1$, donc $\dfrac1{1+t}\le1$.

Et $\dfrac1{1+t}\ge1-t\iff1\ge(1-t)(1+t)=1-t^2$ (car $1+t>0$). Ce qui est vrai.

Pour $x\ge0$, on intègre de $0$ à $x$ :

✅ $x-\dfrac{x^2}2\le\ln(1+x)\le x$ pour $x\ge0$

Question 2

Pour tout $t$, $\cos t\le1$. Pour $x\ge0$, on intègre de $0$ à $x$ :

✅ (a) $\sin x\le x$

Puis, pour tout $t\ge0$, $\sin t\le t$. En intégrant de $0$ à $x$ : $1-\cos x\le\dfrac{x^2}2$.

✅ (b) $\cos x\ge1-\dfrac{x^2}2$

Enfin, $\cos t\ge1-\dfrac{t^2}2$ pour $t\ge0$. En intégrant de $0$ à $x$ :

✅ (c) $\sin x\ge x-\dfrac{x^3}6$

Contrôle numérique : pour $x=0{,}5$, $\sin0{,}5\approx0{,}4794$ et $0{,}5-\dfrac{0{,}5^3}6\approx0{,}4792$. Donc $0{,}4792\le0{,}4794\le0{,}5$ ✓

Le calcul

$T$ est continue sur $[0\,;10]$. La valeur moyenne est :

Or $80-60e^{-1}=20+60\left(1-e^{-1}\right)\approx57{,}9$.

✅ La température moyenne est d'environ $57{,}9\ °\mathrm C$.

Cohérence

$T(0)=80\ °\mathrm C$ et $T(10)=20+60e^{-1}\approx42{,}1\ °\mathrm C$. Comme $T$ est décroissante, la valeur moyenne est comprise entre $T(10)$ et $T(0)$ : $42{,}1\le57{,}9\le80$ ✓

Question 1

from random import random

N = 100000
sous = 0
for i in range(N):
    x, y = random(), random()
    if y <= x * x:
        sous = sous + 1
print(sous / N)

Question 2

Le carré a pour aire $1$ : la probabilité qu'un point tombe sous la courbe est l'aire sous la courbe, c'est-à-dire $I$ (loi des grands nombres).

$I=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^1=\dfrac13\approx0{,}3333$.

✅ Le programme affiche une valeur proche de $0{,}333$, avec une erreur typique de l'ordre de $\dfrac1{\sqrt N}$.

Question 1

$\displaystyle\int_0^1\dfrac{\mathrm dx}{1+x}=[\ln(1+x)]_0^1=\ln2$ et $\displaystyle\int_0^1(-x)^k\mathrm dx=\dfrac{(-1)^k}{k+1}$.

✅ D'où $\ln2=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k+1}+R_n$.

Question 2

Sur $[0\,;\,1]$, $\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\leqslant x^{n+1}$, donc $|R_n|\leqslant\displaystyle\int_0^1x^{n+1}\mathrm dx=\dfrac1{n+2}$.

✅ Comme $\dfrac1{n+2}\to0$, on a $R_n\to0$ : $1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\dots=\ln2$.

Question 3

✅ Le programme affiche environ $0{,}6926$, alors que $\ln2\approx0{,}6931$ : l'erreur est bien inférieure à $\dfrac1{1002}\approx10^{-3}$.

La convergence est lente, ce qui est typique d'une majoration en $\dfrac1n$.