Fiche 2 : repère et coordonnées

Question 1

Les coordonnées d'un vecteur sont « arrivée moins départ » :

$\overrightarrow{AB}(3-1\,;\,-1-2\,;\,2-(-1))$

✅ $\overrightarrow{AB}(2\,;-3\,;3)$

$\overrightarrow{AC}(0-1\,;\,4-2\,;\,1-(-1))$

✅ $\overrightarrow{AC}(-1\,;2\,;2)$

$\overrightarrow{AD}(2-1\,;\,1-2\,;\,3-(-1))$

✅ $\overrightarrow{AD}(1\,;-1\,;4)$

$\overrightarrow{BC}(0-3\,;\,4-(-1)\,;\,1-2)$

✅ $\overrightarrow{BC}(-3\,;5\,;-1)$

Question 2

$I\left(\dfrac{1+3}2\,;\,\dfrac{2+(-1)}2\,;\,\dfrac{-1+2}2\right)$

✅ $I\left(2\,;\dfrac12\,;\dfrac12\right)$

$J\left(\dfrac{0+2}2\,;\,\dfrac{4+1}2\,;\,\dfrac{1+3}2\right)$

✅ $J\left(1\,;\dfrac52\,;2\right)$

Question 3

$2\overrightarrow{AB}=(4\,;-6\,;6)$ et $3\overrightarrow{AC}=(-3\,;6\,;6)$.

$2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=(4+3\,;\,-6-6\,;\,6-6)$

✅ $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}(7\,;-12\,;0)$

Question 4

$ABCE$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}$. Notons $E(x\,;y\,;z)$. $\overrightarrow{EC}(0-x\,;\,4-y\,;\,1-z)$. L'égalité avec $\overrightarrow{AB}(2\,;-3\,;3)$ donne :

$-x=2$, $4-y=-3$, $1-z=3$

Donc $x=-2$, $y=7$, $z=-2$.

✅ $E(-2\,;7\,;-2)$

Question 5

Le centre de gravité a pour coordonnées la moyenne de celles des sommets :

$G\left(\dfrac{1+3+0}3\,;\,\dfrac{2-1+4}3\,;\,\dfrac{-1+2+1}3\right)$

✅ $G\left(\dfrac43\,;\dfrac53\,;\dfrac23\right)$

Méthode

$A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Question 1

$\overrightarrow{AB}(2\,;3\,;6)$ et $\overrightarrow{AC}(-2\,;-3\,;-6)$. On observe $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$.

✅ Les vecteurs sont colinéaires : $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Question 2

$\overrightarrow{AB}(2\,;3\,;6)$ et $\overrightarrow{AD}(1\,;1\,;2)$.

S'il existait $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AD}$, on aurait $2=k\times1$, $3=k\times1$ : deux valeurs différentes de $k$. C'est impossible.

❌ Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $A$, $B$, $D$ ne sont pas alignés.

Question 3

$\overrightarrow{AB}(1\,;1\,;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(m-1\,;3\,;-6)$. Les vecteurs sont colinéaires s'il existe $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ :

$m-1=k$, $3=k$, $-6=-2k$

La deuxième équation donne $k=3$. La troisième est vérifiée ($-2\times3=-6$). La première donne $m-1=3$.

✅ $m=4$

Vérification : pour $m=4$, $\overrightarrow{AC}(3\,;3\,;-6)=3\,\overrightarrow{AB}$ ✓

Question 1

$\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles). On cherche $a$, $b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$ :

$2=a$, $5=2a+b$, $1=b$

La première donne $a=2$, la troisième $b=1$. La deuxième est vérifiée : $2\times2+1=5$.

✅ $\vec w=2\vec u+\vec v$ : les trois vecteurs sont coplanaires.

Question 2

$\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires. Supposons $\vec w=a\vec u+b\vec v$ :

$1=a$, $1=b$, $1=a+b$

Les deux premières équations donnent $a=b=1$, donc $a+b=2\neq1$ : la troisième est fausse. Le système n'a pas de solution.

❌ Les vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ ne sont pas coplanaires.

Question 3

$\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires. On cherche $a$, $b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$ :

$4=a+2b$, $3=2a-b$, $m=3a$

Les deux premières équations : $a=4-2b$, puis $3=2(4-2b)-b=8-5b$, donc $b=1$ et $a=2$.

La troisième donne $m=3\times2=6$.

✅ $m=6$

Vérification : $2\vec u+\vec v=(2+2\,;\,4-1\,;\,6+0)=(4\,;3\,;6)$ ✓

Question 1

$\overrightarrow{AB}(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;0\,;1)$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles (la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{AC}$ est nulle mais pas celle de $\overrightarrow{AB}$).

✅ $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés : ils définissent le plan $(ABC)$.

Question 2

$D$ est dans le plan $(ABC)$ si et seulement s'il existe $a$, $b$ tels que $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$. On a $\overrightarrow{AD}(0\,;1\,;-1)$.

$0=-a-b$, $1=a$, $-1=b$

La deuxième et la troisième donnent $a=1$ et $b=-1$. La première est vérifiée : $-1-(-1)=0$.

✅ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ : les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires.

Question 3

On a $\overrightarrow{AE}(0\,;1\,;1)$. Supposons $\overrightarrow{AE}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$ :

$0=-a-b$, $1=a$, $1=b$

La deuxième et la troisième donnent $a=b=1$. La première donne $-a-b=-2\neq0$ : elle n'est pas vérifiée. Le système n'a pas de solution.

❌ Les points $A$, $B$, $C$, $E$ ne sont pas coplanaires.

Question 1

$\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires. Supposons $\vec w=a\vec u+b\vec v$ :

$1=a$, $0=a+b$, $1=b$

La première et la troisième donnent $a=b=1$. La deuxième donne $a+b=2\neq0$ : contradiction.

Donc $\vec w$ n'est pas coplanaire avec $\vec u$ et $\vec v$.

✅ $\left(\vec u,\vec v,\vec w\right)$ est une base de l'espace.

Question 2

On cherche $(a\,;b\,;c)$ tel que $\vec t=a\vec u+b\vec v+c\vec w$ :

$3=a+c$, $4=a+b$, $3=b+c$

En additionnant : $10=2(a+b+c)$, donc $a+b+c=5$.

On en déduit $b=5-3=2$, $c=5-4=1$, $a=5-3=2$.

Vérification : $2\vec u+2\vec v+\vec w=(2+0+1\,;\,2+2+0\,;\,0+2+1)=(3\,;4\,;3)$ ✓

✅ $\vec t=2\vec u+2\vec v+\vec w$, de coordonnées $(2\,;2\,;1)$ dans la base $\left(\vec u,\vec v,\vec w\right)$.

Question 1

Dans un parallélépipède, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}$.

$C=B+\overrightarrow{AD}=(2+0\,;\,1+3\,;\,0+1)$

✅ $C(2\,;4\,;1)$

$F=B+\overrightarrow{AE}=(2+1\,;\,1+0\,;\,0+4)$

✅ $F(3\,;1\,;4)$

$H=D+\overrightarrow{AE}=(0+1\,;\,3+0\,;\,1+4)$

✅ $H(1\,;3\,;5)$

$G=C+\overrightarrow{AE}=(2+1\,;\,4+0\,;\,1+4)$

✅ $G(3\,;4\,;5)$

Question 2

Milieu de $[AG]$ : $\left(\dfrac{0+3}2\,;\dfrac{0+4}2\,;\dfrac{0+5}2\right)=\left(\dfrac32\,;2\,;\dfrac52\right)$.

Milieu de $[BH]$ : $\left(\dfrac{2+1}2\,;\dfrac{1+3}2\,;\dfrac{0+5}2\right)=\left(\dfrac32\,;2\,;\dfrac52\right)$.

✅ Les deux segments ont le même milieu : les diagonales $[AG]$ et $[BH]$ se coupent en leur milieu $\left(\dfrac32\,;2\,;\dfrac52\right)$.

Question 1

$G\left(\dfrac{1+3+0+2}4\,;\,\dfrac{2-1+4+1}4\,;\,\dfrac{-1+2+1+3}4\right)=\left(\dfrac64\,;\dfrac64\,;\dfrac54\right)$

✅ $G\left(\dfrac32\,;\dfrac32\,;\dfrac54\right)$

Question 2

D'après l'exercice 1, $I\left(2\,;\dfrac12\,;\dfrac12\right)$ et $J\left(1\,;\dfrac52\,;2\right)$. Le milieu de $[IJ]$ a pour coordonnées :

$\left(\dfrac{2+1}2\,;\ \dfrac{\frac12+\frac52}2\,;\ \dfrac{\frac12+2}2\right)=\left(\dfrac32\,;\dfrac32\,;\dfrac54\right)$

✅ Ce sont les coordonnées de $G$ : $G$ est le milieu de $[IJ]$.

Remarque : c'est vrai pour tout tétraèdre. Le centre de gravité est le milieu du segment joignant les milieux de deux arêtes opposées.

Affirmation 1

Les coordonnées seraient proportionnelles avec un même rapport $k=2$ : $2=2\times1$, $4=2\times2$, mais $7\neq2\times3=6$.

❌ Faux.

Affirmation 2

Ce sont les vecteurs de base d'un repère : ils ne sont pas coplanaires (aucun n'est combinaison linéaire des deux autres, car les coordonnées de $\vec w$ ne peuvent pas être $a\vec u+b\vec v=(a\,;b\,;0)$).

✅ Vrai.

Affirmation 3

$\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires. On remarque $\vec u+\vec v=(1\,;1\,;3)=\vec w$.

✅ Vrai. Les trois vecteurs sont coplanaires.

Affirmation 4

$\overrightarrow{OC}(2\,;4\,;6)=2\,\overrightarrow{OB}$. Les vecteurs $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont colinéaires.

✅ Vrai.

Affirmation 5

$\vec0=0\,\vec u+0\,\vec v$, donc $\vec 0$ est une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$.

✅ Vrai.