Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours

Les probabilités du bac se résument à une phrase : reconnaître le modèle.

Un arbre de probabilités ?

Une formule des probabilités totales ?

Une loi binomiale ?

Une fois le modèle reconnu et justifié, les calculs sont courts.

Ce chapitre rassemble les trois outils :

les probabilités conditionnelles et les arbres pondérés ;
l'indépendance et les successions d'épreuves ;
la loi binomiale, pour compter des succès dans une répétition.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

🎯 Comment utiliser ce cours

Lis une partie, puis fais tout de suite la fiche correspondante.
Devant un énoncé, pose-toi toujours trois questions : « Y a-t-il un arbre ? » « Les épreuves sont-elles indépendantes ? » « Compte-t-on un nombre de succès ? »
Justifie le modèle par écrit : c'est ce qui rapporte les points, pas seulement le calcul.

1. Probabilités conditionnelles

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A)\neq0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est :

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

On en déduit la formule des probabilités composées :

P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)

Arbre pondéré. Sur un arbre :

la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ;
la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches ;
$P_A(B)$ se lit sur la branche qui va de $A$ à $B$ .

⚠️ Pièges :

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : ce sont deux probabilités différentes.
Écrire $P(A\cap B)=P_A(B)$ (il manque le facteur $P(A)$ ).
Oublier que $P_A(B)$ et $P_A(\overline B)$ sont complémentaires : leur somme vaut $1$ .

2. Formule des probabilités totales

Une partition de l'univers $\Omega$ est une famille d'événements $A_1,\dots,A_n$ de probabilité non nulle, deux à deux incompatibles, dont la réunion est $\Omega$ . Par exemple $\left(A,\overline A\right)$ est une partition.

Formule des probabilités totales. Pour tout événement $B$ :

P(B)=P(A_1\cap B)+\dots+P(A_n\cap B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_n)P_{A_n}(B)

Sur l'arbre : $P(B)$ est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à $B$ .

Retrouver une « cause ». Une fois $P(B)$ calculée, on inverse le conditionnement :

P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\,P_A(B)}{P(B)}

💡 Astuce. Dans un problème de dépistage, de contrôle qualité ou de machines, la question « sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que… » est toujours $P_B(A)$ : numérateur = un chemin de l'arbre, dénominateur = tous les chemins qui mènent à $B$ .

3. Indépendance de deux événements

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :

P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

Si $P(A)\neq0$ , cela équivaut à $P_A(B)=P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ .

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline B$ le sont aussi (et $\overline A$ et $B$ , et $\overline A$ et $\overline B$ ).

⚠️ Ne pas confondre :

indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ;
incompatibles : $A\cap B=\varnothing$ , donc $P(A\cap B)=0$ .

Deux événements de probabilité non nulle ne peuvent pas être à la fois incompatibles et indépendants.

😄 Deux événements incompatibles, c'est deux personnes qui ne peuvent pas être invitées à la même soirée. Deux événements indépendants, c'est deux personnes qui ne se parlent pas au téléphone : l'un n'influence pas l'autre.

4. Succession d'épreuves indépendantes

On répète des épreuves, l'univers est $\Omega=\Omega_1\times\Omega_2\times\dots\times\Omega_n$ . Les épreuves sont indépendantes si la probabilité d'un résultat $(\omega_1,\dots,\omega_n)$ est le produit des probabilités :

P(\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n)=P_1(\omega_1)\times P_2(\omega_2)\times\dots\times P_n(\omega_n)

Dans un arbre, cela revient à multiplier les probabilités le long d'un chemin, avec les mêmes probabilités à chaque niveau si l'épreuve est répétée à l'identique.

5. Épreuve et schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ( $0\le p\le1$ ) est une expérience à deux issues : le succès $S$ (de probabilité $p$ ) et l'échec $\overline S$ (de probabilité $1-p$ ).

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Une issue est une liste de $n$ lettres $S$ ou $\overline S$ .

P(\text{une liste précise avec }k\text{ succès})=p^k\,(1-p)^{n-k}

6. La loi binomiale

Soit $X$ le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . On dit que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ .

Loi binomiale B(10 ; 0,3) : P(X = k) pour k de 0 à 10 (hauteur ×10), maximum en k = 3

Théorème. Pour tout entier $k$ tel que $0\le k\le n$ :

P(X=k)=\binom nk\,p^k\,(1-p)^{n-k}

Pourquoi ? Il y a $\dbinom nk$ chemins de l'arbre à $k$ succès (on choisit les $k$ places des succès parmi les $n$ épreuves). Chacun a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ .

Propriétés :

$\displaystyle\sum_{k=0}^nP(X=k)=(p+(1-p))^n=1$ (formule du binôme).
Espérance : $E(X)=np$ .
Variance : $V(X)=np(1-p)$ , et écart-type $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ .

(Ces deux formules seront démontrées au chapitre suivant, avec les sommes de variables aléatoires.)

💡 Rédiger une loi binomiale. Écris toujours les quatre éléments :

« On répète $n=\dots$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dots$ (succès : « … »).

Soit $X$ le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ . »

7. Calculer avec la loi binomiale

Calculatrice. La fonction de densité donne $P(X=k)$ ; la fonction de répartition donne $P(X\le k)$ .

Événements usuels :

$P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ ;
$P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)$ ;
au moins un succès : $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$ .

Seuil. Pour trouver le plus petit $n$ tel que $P(X\ge1)\ge a$ :

1-(1-p)^n\ge a\iff(1-p)^n\le1-a\iff n\ln(1-p)\le\ln(1-a)\iff n\ge\frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}

Le dernier signe change de sens car $\ln(1-p)<0$ .

⚠️ Pièges :

Une loi binomiale exige des épreuves indépendantes et de même probabilité : un tirage sans remise dans une petite urne ne convient pas.
$P(X>k)$ n'est pas $P(X\ge k)$ : attention à l'inégalité stricte.
Pour un seuil, divise par un nombre négatif en renversant l'inégalité.

8. Python

from math import comb

def binomiale(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def repartition(n, p, k):
    return sum(binomiale(n, p, i) for i in range(k + 1))

def seuil(p, a):
    n = 1
    while 1 - (1 - p)**n < a:
        n = n + 1
    return n

💡 binomiale(5, 0.4, 2) renvoie 0.3456. seuil(0.05, 0.9) renvoie 45.

9. Les 10 pépites du chapitre

Arbre : somme $=1$ sur chaque nœud, produit le long d'un chemin, somme des chemins pour $P(B)$ .
$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ : ne l'inverse pas avec $P_B(A)$ .
Probabilités totales : partition, puis somme des chemins.
Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Indépendants $\neq$ incompatibles.
Schéma de Bernoulli : identiques et indépendantes.
Justifie toujours « $X$ suit $\mathcal B(n,p)$ » avec $n$ , $p$ et le succès.
$P(X=k)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$ .
Au moins un : $1-(1-p)^n$ .
$E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$ .
Seuil : passe aux logarithmes, renverse l'inégalité.

Complément du programme : simuler une loi binomiale avec Python

On simule une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ avec `random() < p`, puis un schéma de Bernoulli en répétant $n$ fois et en comptant les succès.

from random import random

def binomiale(n, p):
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes

N = 100000
compte = 0
for _ in range(N):
    if binomiale(10, 0.3) == 3:
        compte = compte + 1
print(compte / N)   # proche de 0.2668

La valeur théorique est $P(X=3)=\binom{10}3\,0{,}3^3\,0{,}7^7=120\times0{,}027\times0{,}0823543\approx0{,}2668$ pour $X\sim\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$ .

💡 Astuce. Plus le nombre de simulations $N$ est grand, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité : c'est la loi des grands nombres, vue au chapitre 13.

10. Ce qui peut tomber au bac

Des arbres, des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales, l'indépendance (fiche 1).
Des successions d'épreuves et des schémas de Bernoulli (fiche 2).
La loi binomiale : probabilités, espérance, variance (fiche 3).
Des problèmes de seuil, de simulation et de modèles mêlés, avec Python (fiche 4 et exercices type bac).

Tu as maintenant le cours. Passe aux quatre fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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