Fiche 1 : les primitives

Méthode

On utilise la linéarité des primitives et la table des primitives usuelles. $C$ désigne un réel quelconque.

Question 1

✅ $F(x)=x^3-2x^2+x+C$

Question 2

Une primitive de $x^4$ est $\dfrac{x^5}5$. Une primitive de $-\dfrac1{x^2}$ est $\dfrac1x$. Comme $\sqrt x=x^{1/2}$, une primitive de $\sqrt x$ est $\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac23x\sqrt x$.

✅ $G(x)=\dfrac{x^5}5+\dfrac1x+\dfrac23x\sqrt x+C$

Question 3

✅ $H(x)=\ln x+e^x-\sin x+C$

Question 4

Une primitive de $\dfrac1{\sqrt x}$ est $2\sqrt x$, donc une primitive de $\dfrac2{\sqrt x}$ est $4\sqrt x$. Puis $\dfrac3{x^3}=3x^{-3}$ a pour primitive $3\times\dfrac{x^{-2}}{-2}=-\dfrac3{2x^2}$.

✅ $K(x)=4\sqrt x-\dfrac3{2x^2}+C$

Méthode

On utilise : $u'u^n$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ($n\neq-1$).

Question 1

Avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$ : $f(x)=\dfrac12\times2(2x+1)^3=\dfrac12u'u^3$.

✅ $F(x)=\dfrac12\times\dfrac{(2x+1)^4}4+C=\dfrac{(2x+1)^4}8+C$

Question 2

Avec $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$ : $g(x)=\dfrac12\times2x\left(x^2+1\right)^4=\dfrac12u'u^4$.

✅ $G(x)=\dfrac12\times\dfrac{\left(x^2+1\right)^5}5+C=\dfrac{\left(x^2+1\right)^5}{10}+C$

Question 3

Avec $u(x)=3x-1>0$ sur l'intervalle et $u'(x)=3$ : $h(x)=\dfrac13\times3u^{-2}$. Une primitive de $u'u^{-2}$ est $\dfrac{u^{-1}}{-1}=-\dfrac1u$.

✅ $H(x)=-\dfrac1{3(3x-1)}+C$

Question 4

Avec $u(x)=x^2+1>0$, $u'(x)=2x$ : $k(x)=\dfrac12\times2x\times u^{-2}$.

✅ $K(x)=\dfrac12\times\left(-\dfrac1{x^2+1}\right)+C=-\dfrac1{2\left(x^2+1\right)}+C$

Méthode

On utilise $\dfrac{u'}u\to\ln|u|$ et $\dfrac{u'}{\sqrt u}\to2\sqrt u$.

Question 1

Avec $u(x)=x^2+1>0$, $u'(x)=2x$ :

✅ $F(x)=\ln\left(x^2+1\right)$

Question 2

Avec $u(x)=3x+2>0$ et $u'(x)=3$ : $\dfrac1{3x+2}=\dfrac13\times\dfrac{u'}u$.

✅ $F(x)=\dfrac13\ln(3x+2)$

Question 3

$\dfrac x{x^2+1}=\dfrac12\times\dfrac{2x}{x^2+1}$

✅ $F(x)=\dfrac12\ln\left(x^2+1\right)$

Question 4

Avec $u(x)=2x+1>0$, $u'(x)=2$ : $\dfrac1{\sqrt{2x+1}}=\dfrac12\times\dfrac{u'}{\sqrt u}$. Une primitive de $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ est $2\sqrt u$.

✅ $F(x)=\dfrac12\times2\sqrt{2x+1}=\sqrt{2x+1}$

Question 5

Avec $u(x)=e^x+1>0$, $u'(x)=e^x$ :

✅ $F(x)=\ln\left(e^x+1\right)$

Question 6

Avec $u(x)=x^2+1>0$, $u'(x)=2x$ : $\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac12\times\dfrac{u'}{\sqrt u}$.

✅ $F(x)=\dfrac12\times2\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}$

Méthode

On utilise $u'e^u\to e^u$.

Question 1

Avec $u(x)=3x-1$, $u'(x)=3$ : $e^{3x-1}=\dfrac13u'e^u$.

✅ $F(x)=\dfrac{e^{3x-1}}3$

Question 2

Avec $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$ : $xe^{x^2}=\dfrac12u'e^u$.

✅ $F(x)=\dfrac12e^{x^2}$

Question 3

Avec $u(x)=-x$, $u'(x)=-1$ : $e^{-x}=-u'e^u$.

✅ $F(x)=-e^{-x}$

Question 4

Avec $u(x)=x^2+x$, $u'(x)=2x+1$ : la fonction est $u'e^u$.

✅ $F(x)=e^{x^2+x}$

Question 5

Avec $u(x)=\dfrac1x$, $u'(x)=-\dfrac1{x^2}$ : $\dfrac{e^{1/x}}{x^2}=-u'e^u$.

✅ $F(x)=-e^{1/x}$

Question 1

$\cos(ax+b)$ a pour primitive $\dfrac{\sin(ax+b)}a$.

✅ $F(x)=\dfrac12\sin(2x+1)$

Question 2

✅ $F(x)=-\dfrac13\cos(3x)$

Question 3

Avec $u(x)=\sin x$, $u'(x)=\cos x$ : $\sin x\cos x=u'u$.

✅ $F(x)=\dfrac12\sin^2x$

Question 4

On linéarise : $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2$.

✅ $F(x)=\dfrac x2+\dfrac{\sin(2x)}4$

Question 5

On linéarise : $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2$.

✅ $F(x)=\dfrac x2-\dfrac{\sin(2x)}4$

Question 6

Avec $u(x)=\cos x>0$ sur l'intervalle, $u'(x)=-\sin x$ : $\dfrac{\sin x}{\cos^2x}=-\dfrac{u'}{u^2}$. Une primitive de $\dfrac{u'}{u^2}$ est $-\dfrac1u$. Donc une primitive de $-\dfrac{u'}{u^2}$ est $\dfrac1u$.

✅ $F(x)=\dfrac1{\cos x}$

Question 1

$F$ est dérivable sur $\R$ et :

On veut $F'(x)=\left(x^2+x\right)e^x$ pour tout $x$. Il suffit d'identifier les coefficients :

$a=1$

$2a+b=1$

$b+c=0$

Donc $a=1$, $b=-1$, $c=1$.

✅ $F(x)=\left(x^2-x+1\right)e^x$ est une primitive de $f$.

Question 2

Pour $F(x)=(ax+b)e^{-x}$ : $F'(x)=ae^{-x}-(ax+b)e^{-x}=(-ax+a-b)e^{-x}$.

On veut $xe^{-x}$ : $-a=1$ et $a-b=0$, donc $a=-1$ et $b=-1$.

✅ $F(x)=-(x+1)e^{-x}$

Question 3

Soit $G(x)=x\ln x-x$. $G$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $G'(x)=\ln x+x\times\dfrac1x-1=\ln x$.

✅ Donc $G$ est une primitive de $\ln$.

Question 1

Les primitives de $f$ sont $F(x)=x^2-3x+C$. $F(1)=1-3+C=C-2=4$, donc $C=6$.

✅ $F(x)=x^2-3x+6$

Question 2

$F(x)=\dfrac{e^{2x}}2+C$. $F(0)=\dfrac12+C=1$, donc $C=\dfrac12$.

✅ $F(x)=\dfrac{e^{2x}+1}2$

Question 3

$F(x)=\ln x+C$. $F(e)=1+C=3$, donc $C=2$.

✅ $F(x)=\ln x+2$

Méthode

Pour montrer que $F$ est une primitive de $f$, il suffit de dériver $F$ et de retrouver $f$.

Question 1

$F$ est dérivable sur $\R$ comme produit. $F'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x)$.

✅ $F$ est une primitive de $f$.

Question 2

$H$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

✅ $H$ est une primitive de $h$.

Question 3

Comme $1+e^x>0$, $K$ est dérivable sur $\R$ et $K'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}=k(x)$.

✅ $K$ est une primitive de $k$.

Méthode

On fait apparaître $\dfrac1{x+1}$, dont une primitive sur $]-1\,;+\infty[$ est $\ln(x+1)$.

Question 1

$2x+3=2(x+1)+1$ donc $\dfrac{2x+3}{x+1}=2+\dfrac1{x+1}$.

✅ $F(x)=2x+\ln(x+1)$

Question 2

$x=(x+1)-1$ donc $\dfrac x{x+1}=1-\dfrac1{x+1}$.

✅ $F(x)=x-\ln(x+1)$

Question 3

$x^2=(x+1)(x-1)+1$ donc $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac1{x+1}$.

✅ $F(x)=\dfrac{x^2}2-x+\ln(x+1)$

Affirmation 1

Théorème d'existence : toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Contre-exemple : $f=g=1$, $F(x)=G(x)=x$. Une primitive de $fg=1$ est $x$, mais $FG(x)=x^2$.

❌ Faux.

Affirmation 3

Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, $(F-G)'=f-f=0$. Donc $F-G$ est constante sur l'intervalle $I$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Soit $F$ la primitive de $f$ (paire) qui s'annule en $0$.

La fonction $x\mapsto-F(-x)$ est dérivable de dérivée $F'(-x)=f(-x)=f(x)$.

C'est aussi une primitive de $f$, qui s'annule en $0$.

Par unicité, $-F(-x)=F(x)$, c'est-à-dire $F(-x)=-F(x)$.

✅ Vrai : $F$ est impaire.

Affirmation 5

Si $F'=f\ge0$ sur $I$, $F$ est croissante sur $I$.

✅ Vrai.

Affirmation 6

Si $F$ est une primitive de $f$, toutes les fonctions $F+C$ ($C\in\R$) en sont : il y en a une infinité.

❌ Faux.