Guide de rédaction : suites

🎯 Le principe du chapitre

Avec les suites, un correcteur regarde surtout quatre choses :

• les quantificateurs (« pour tout $n\in\N$ », « soit $k\in\N$ fixé ») ;
• l'usage réel de l'hypothèse de récurrence ;
• le nom du théorème à chaque conclusion (convergence monotone, comparaison, gendarmes) ;
• la vérification des hypothèses avant de passer à la limite.

Situation 1 : calculer des termes et conjecturer.

« On calcule $u_1=5$, $u_2=13$, $u_3=29$. On conjecture que $u_n=2^{n+2}-3$ pour tout $n\in\N$. »

Une conjecture n'est pas une preuve : écris le mot « conjecture », puis démontre-la par récurrence.

Situation 2 : récurrence pour une formule explicite ($u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+3$).

« Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\N$, $u_n=2^{n+2}-3$.

Initialisation. Pour $n=0$, $2^2-3=1=u_0$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité. Soit $k\in\N$ tel que $u_k=2^{k+2}-3$ (hypothèse de récurrence). Alors $u_{k+1}=2u_k+3=2\left(2^{k+2}-3\right)+3=2^{k+3}-3=2^{(k+1)+2}-3$. La propriété est vraie au rang $k+1$.

Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire, donc $u_n=2^{n+2}-3$ pour tout $n\in\N$. »

Situation 3 : récurrence pour un encadrement ($u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$).

« Montrons que, pour tout $n\in\N$, $0\le u_n\le3$.

Initialisation. $u_0=0$ donc $0\le u_0\le3$.

Hérédité. Soit $k\in\N$ tel que $0\le u_k\le3$. Alors $6\le u_k+6\le9$. La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, on obtient $\sqrt6\le u_{k+1}\le3$. Comme $\sqrt6\ge0$, on a $0\le u_{k+1}\le3$.

Conclusion. $0\le u_n\le3$ pour tout $n\in\N$. »

💡 Astuce : quand $f$ est croissante sur l'intervalle, tu appliques $f$ à l'encadrement en gardant le sens. Quand $f$ est décroissante, l'encadrement se retourne : dis-le.

Situation 4 : sens de variation.

« Pour tout $n\in\N$, en multipliant par la quantité conjuguée :

Or $0\le u_n\le3$, donc le numérateur est positif, et le dénominateur est strictement positif. Donc $u_{n+1}-u_n\ge0$ : la suite $(u_n)$ est croissante. »

Variante : par récurrence, « $u_0\le u_1$ » puis « si $u_k\le u_{k+1}$ alors, la racine étant croissante, $u_{k+1}\le u_{k+2}$ ».

Situation 5 : suite auxiliaire géométrique ($u_0=1$, $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$, $v_n=u_n-6$).

« Pour tout $n\in\N$ :

Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_0=u_0-6=-5$. Par suite, pour tout $n\in\N$, $v_n=-5\times0{,}5^n$, et donc $u_n=v_n+6=6-5\times0{,}5^n$. »

⚠️ Attention : la raison est $0{,}5$ (le coefficient de $u_n$), pas $6$. Et $v_0$ n'est pas $u_0$.

Situation 6 : limite par transformation d'écriture.

Fraction rationnelle. « Pour tout $n\ge1$, $\dfrac{3n^2-5n+1}{n^2+2}=\dfrac{3-\frac5n+\frac1{n^2}}{1+\frac2{n^2}}$.

Comme $\dfrac5n$, $\dfrac1{n^2}$ et $\dfrac2{n^2}$ tendent vers $0$, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$.

Par quotient, la limite vaut $3$. »

Racines (quantité conjuguée). « Pour tout $n\in\N$, $\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$. Comme $\sqrt{n+1}+\sqrt n$ tend vers $+\infty$, son inverse tend vers $0$. La limite vaut $0$. »

Puissances. « Pour tout $n$, $3^n-2^n=3^n\left(1-\left(\dfrac23\right)^n\right)$. Comme $-1<\dfrac23<1$, $\left(\dfrac23\right)^n\to0$, donc $1-\left(\dfrac23\right)^n\to1$. Comme $3>1$, $3^n\to+\infty$. Par produit, la limite est $+\infty$. »

Situation 7 : comparaison et gendarmes.

Comparaison. « Pour tout $n\in\N$, $(-1)^n\ge-1$, donc $n+(-1)^n\ge n-1$. Or $\lim(n-1)=+\infty$. D'après le théorème de comparaison, $\lim\big(n+(-1)^n\big)=+\infty$. »

Gendarmes. « Pour tout $n\ge1$, $-1\le(-1)^n\le1$, donc $-\dfrac1n\le\dfrac{(-1)^n}n\le\dfrac1n$. Or $\lim\left(-\dfrac1n\right)=\lim\dfrac1n=0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\dfrac{(-1)^n}n=0$. »

💡 Écris les trois éléments : l'encadrement (avec « pour tout $n\ge\dots$ »), les deux limites égales, le nom du théorème.

Situation 8 : convergence, puis limite de $u_{n+1}=f(u_n)$.

« D'après les questions précédentes, $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$.

Donc, d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$.

Comme $0\le u_n\le3$ pour tout $n$, $\ell\in[0\,;3]$.

La fonction $f:x\mapsto\sqrt{x+6}$ est continue sur $[0\,;3]$. En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, on obtient $\ell=f(\ell)$, soit $\ell=\sqrt{\ell+6}$. Comme $\ell\ge0$, cela entraîne $\ell^2=\ell+6$, soit $(\ell-3)(\ell+2)=0$. Comme $\ell\ge0$, $\ell=3$. »

Situation 9 : somme de termes.

« Pour $q\neq1$, $1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$. Ici $q=\dfrac12$, et la somme contient $n+1$ termes :

Comme $\left(\dfrac12\right)^n\to0$, $\lim S_n=2$. »

Pour une somme de la forme $u_k=3k-6+9\left(\dfrac13\right)^k$, on sépare les trois parties (arithmétique, constante, géométrique), et on compte les termes.

Situation 10 : algorithmique.

def seuil():
    n = 0
    u = 1000
    while u < 2000:
        u = 1.05*u
        n = n + 1
    return n

« La boucle s'arrête dès que u >= 2000. Elle se termine car $u_n=1000\times1{,}05^n$ tend vers $+\infty$ ($1{,}05>1$). Par calcul, $u_{14}\approx1979{,}9<2000$ et $u_{15}\approx2078{,}9\ge2000$ : la fonction renvoie $15$. »

⚠️ La fonction renvoie $n$ (le rang), pas $u_n$. Et l'ordre des instructions dans la boucle peut changer le résultat.

Situation 11 : vrai/faux et contre-exemple.

« L'affirmation est fausse. Contre-exemple : la suite $u_n=(-1)^n$ est bornée ($-1\le u_n\le1$), mais elle ne converge pas. »

Pour une affirmation vraie, il faut une démonstration. Pour une affirmation fausse, un seul contre-exemple suffit, bien choisi et vérifié.

a) Une hérédité. Montrer que $u_n\le2$ pour $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.

❌ « $u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}\le2$, donc c'est bon. »

✅ « Soit $k\in\N$ tel que $u_k\le2$. Alors $u_k+2\le4$. La racine carrée étant croissante sur $[0\,;+\infty[$, $u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}\le\sqrt4=2$. »

L'hypothèse de récurrence est utilisée ($u_k\le2$), et la croissance de la racine est citée.

b) Une limite.

❌ « $\lim\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)=\infty-\infty=0$. »

✅ « Pour tout $n$, $\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite est $0$. »

c) Une comparaison.

❌ « $u_n=n+\sin n\le n+1$ et $n+1\to+\infty$ donc $u_n\to+\infty$. »

✅ « Pour tout $n$, $\sin n\ge-1$, donc $u_n\ge n-1$. Comme $n-1\to+\infty$, par comparaison $u_n\to+\infty$. »

On minore pour conclure à $+\infty$ : une majoration ne prouve rien.

• Mes quantificateurs sont justes (« pour tout $n\in\N$ », « soit $k\in\N$ fixé »).
• Dans chaque hérédité, j'ai utilisé l'hypothèse de récurrence, et j'ai conclu.
• Chaque conclusion de convergence nomme le théorème et vérifie ses deux hypothèses.
• Avant de résoudre $\ell=f(\ell)$, j'ai vérifié : convergence prouvée, $\ell$ dans l'intervalle, $f$ continue.
• Pour chaque limite, j'ai écrit la transformation (factorisation, conjuguée, terme dominant) puis la règle (somme, produit, quotient).
• J'ai vérifié mes formules avec $n=0$ et $n=1$.
• Dans une somme, j'ai compté le bon nombre de termes.
• Pour Python, j'ai testé mon script à la main sur les premières valeurs.

😄 Si ton hérédité ne mentionne jamais l'hypothèse de récurrence, c'est que tu as démontré autre chose. Tu peux le vérifier en 5 secondes.