Guide de rédaction : ce que le correcteur attend

🎯 Le principe

Chaque affirmation doit être justifiée par un calcul, une propriété ou un théorème que tu nommes, dont tu as vérifié les hypothèses.

Si tu peux remplacer ta phrase par « on voit que… », c'est qu'il manque une justification.

Raisonnement par récurrence. « Soit $P(n)$ la propriété … Initialisation : … donc $P(n_0)$ est vraie.

Hérédité : soit $k\ge n_0$ un entier fixé tel que $P(k)$ est vraie.

Montrons que $P(k+1)$ est vraie. … (utilisation de l'hypothèse de récurrence) … Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion : $P(n_0)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge n_0$. »

Convergence monotone. « La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $M$. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, elle converge. » (Ou décroissante et minorée.)

Passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$. « La suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, et $\ell$ appartient à l'intervalle $I$ (car $u_n\in I$ pour tout $n$).

La fonction $f$ est continue sur $I$.

En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, on obtient $\ell=f(\ell)$. »

Comparaison. « Pour tout $n\ge n_0$, $u_n\ge v_n$, et $\lim v_n=+\infty$. Donc, d'après le théorème de comparaison, $\lim u_n=+\infty$. »

Gendarmes. « Pour tout $n\ge n_0$, $v_n\le u_n\le w_n$, avec $\lim v_n=\lim w_n=\ell$. Donc, d'après le théorème des gendarmes, $\lim u_n=\ell$. »

Opérations sur les limites. « Par somme… », « Par produit… », « Par quotient… ». Pour un quotient, précise que la limite du dénominateur est non nulle, ou étudie son signe si elle est nulle.

Composition. « Comme $\displaystyle\lim_{x\to a}u(x)=b$ et $\displaystyle\lim_{y\to b}v(y)=c$, par composition $\displaystyle\lim_{x\to a}v(u(x))=c$. »

Croissances comparées. « Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0$. »

Asymptote. « Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=B$, la droite d'équation $y=B$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal C$ en $+\infty$. » (De même pour $x=a$ avec une limite infinie en $a$.)

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. « La fonction $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$, et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$. »

Dérivabilité. « La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s'annule pas. »

Signe et variations. « Pour tout réel $x$, $e^x>0$. Donc $f'(x)$ est du signe de … Ainsi $f'(x)>0$ sur $I$, donc $f$ est strictement croissante sur $I$. »

Convexité. « $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et $f''(x)=\dots\ge0$. Donc $f$ est convexe sur $I$. Sa courbe est au-dessus de ses tangentes. »

Équation trigonométrique. « Comme $\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$, l'équation s'écrit $\cos x=\cos\dfrac\pi3$. Donc $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$. Dans $]-\pi\,;\pi]$, les solutions sont … »

Parité et périodicité. « $f$ est définie sur $\R$, et pour tout $x$, $f(-x)=-f(x)$ : $f$ est impaire. De plus $f(x+2\pi)=f(x)$ : $f$ est $2\pi$-périodique. On étudie donc $f$ sur $[0\,;\pi]$. »

Primitive. « $f$ est de la forme $u'u^n$ avec $u(x)=\dots$ et $u'(x)=\dots$. Donc les primitives de $f$ sont les fonctions $F(x)=\dots+C$, avec $C\in\R$. » Vérifie en dérivant.

Équation différentielle. « L'équation équivaut à $y'=ay+b$ avec $a=\dots$ et $b=\dots$. Les solutions sont les fonctions $y(x)=Ce^{ax}-\dfrac ba$, avec $C\in\R$. La condition $y(x_0)=y_0$ donne $C=\dots$ »

Intégrale. « $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et $F$ est une primitive de $f$. Donc $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$. »

Aire. « $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$. Donc l'aire du domaine est $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ unités d'aire. » Entre deux courbes : « haut $-$ bas », après avoir justifié la position relative.

Intégration par parties. « On pose $u'(x)=\dots$ et $v(x)=\dots$. Alors $u(x)=\dots$ et $v'(x)=\dots$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$. Par intégration par parties : $\displaystyle\int_a^bu'v=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^buv'$. »

Modèle. « On tire simultanément $4$ boules parmi $12$ : sans ordre, sans répétition. Il y a $\dbinom{12}4$ tirages. »

Principe multiplicatif. « On choisit successivement … ($n_1$ choix), puis … ($n_2$ choix). D'après le principe multiplicatif, il y a $n_1\times n_2$ possibilités. »

Complémentaire. « Le contraire de « au moins un » est « aucun ». Il y a … cas sans aucun, donc … cas avec au moins un. »

Probabilité. « Le tirage est fait au hasard : les issues sont équiprobables. $|\Omega|=\dots$, $|A|=\dots$, donc $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dots$ »

Probabilités totales. « $\left(A,\overline A\right)$ est une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, $P(B)=P(A)P_A(B)+P\left(\overline A\right)P_{\overline A}(B)$. »

Loi binomiale. « On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ (succès : …).

Soit $X$ le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$. » Puis $P(X=k)=\dbinom nk\,p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.

Variance d'une somme. « Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$. » Les variances s'additionnent, jamais les écarts-types.

Bienaymé-Tchebychev. « $X$ a pour espérance $\mu$ et pour variance $V$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour $\delta>0$, $P\big(|X-\mu|\ge\delta\big)\le\dfrac V{\delta^2}$. Par événement contraire, $P\big(|X-\mu|<\delta\big)\ge1-\dfrac V{\delta^2}$. »

Colinéarité et alignement. « $\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}$, donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Ainsi les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. »

Coplanarité. « Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires et $\vec w=a\vec u+b\vec v$. Donc $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires. »

Non-coplanarité. « Supposons $\vec w=a\vec u+b\vec v$. On obtient un système sans solution : c'est une contradiction. Donc $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ ne sont pas coplanaires. »

Droite paramétrée. « La droite $d$ passe par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et a pour vecteur directeur $\vec u(a\,;b\,;c)$. Une représentation paramétrique est $x=x_A+ta$, $y=y_A+tb$, $z=z_A+tc$, avec $t\in\R$. »

Vecteur normal et équation de plan. « Le repère est orthonormé. $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$, avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires : $\vec n$ est normal au plan $(ABC)$.

Une équation est $ax+by+cz+d=0$, avec $d$ obtenu grâce à $A$.

Vérification avec $B$ et $C$. »

Distance d'un point à un plan. « $d(M,P)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. On recoupe avec le projeté orthogonal $H=M+k\vec n$, $H\in P$. »

Deux droites sécantes. « Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

On cherche $t$ et $s$ tels que les coordonnées coïncident.

Le système admet pour unique solution $(t\,;s)=\dots$ Donc les droites sont sécantes en $I(\dots)$. »

a) Une convergence et sa limite. Suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.

❌ Rédaction insuffisante : « $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc sa limite est $2$. »

✅ Rédaction attendue : « La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle converge vers un réel $\ell$, avec $0\le\ell\le2$.

La fonction $f:x\mapsto\sqrt{x+2}$ est continue sur $[0\,;2]$.

En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, on obtient $\ell=\sqrt{\ell+2}$.

Comme $\ell\ge0$, cela entraîne $\ell^2=\ell+2$, soit $(\ell-2)(\ell+1)=0$.

Comme $\ell\ge0$, on conclut $\ell=2$. »

Ce qui manque à la première : le théorème (convergence $\neq$ limite = majorant), la continuité, l'équation, l'élimination de la solution négative.

b) Une limite avec forme indéterminée.

❌ « $\displaystyle\lim\frac{n^2-3n}{n^2+1}=\frac\infty\infty=1$. »

✅ « Pour tout $n\ge1$, $\dfrac{n^2-3n}{n^2+1}=\dfrac{1-\frac3n}{1+\frac1{n^2}}$. Comme $\dfrac3n\to0$ et $\dfrac1{n^2}\to0$, par somme puis par quotient, la limite vaut $\dfrac11=1$. »

c) Une étude de variations. $f(x)=\dfrac{3e^x-1}{e^x+1}$.

❌ « $f'(x)=\dfrac{4e^x}{(e^x+1)^2}$, donc $f$ est croissante. »

✅ « La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur $e^x+1$ ne s'annule pas.

Pour tout $x$ réel, $f'(x)=\dfrac{3e^x(e^x+1)-(3e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{4e^x}{(e^x+1)^2}$.

Or $e^x>0$ et $(e^x+1)^2>0$.

Donc $f'(x)>0$ pour tout $x$, et $f$ est strictement croissante sur $\R$. »

d) Une asymptote.

❌ « La courbe a une asymptote en $y=3$. »

✅ « Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3$, la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal C$ en $+\infty$. »

e) Une équation trigonométrique.

❌ « $\cos x=\dfrac12$ donc $x=\dfrac\pi3$. »

✅ « $\cos x=\cos\dfrac\pi3\iff x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$. Dans $]-\pi\,;\pi]$, $S=\left\{-\dfrac\pi3\,;\dfrac\pi3\right\}$. »

f) Une intégrale.

❌ « $\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln\left(x^2+1\right)=\ln2$. »

✅ « $\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\Big[\ln\left(x^2+1\right)\Big]_0^1=\ln2-\ln1=\ln2$. »

g) Trois points alignés.

❌ « Les points $A$, $B$, $C$ semblent alignés. »

✅ « $\overrightarrow{AB}(2\,;3\,;6)$ et $\overrightarrow{AC}(-2\,;-3\,;-6)$. Donc $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$. Les vecteurs sont colinéaires : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. »

• J'ai indiqué le domaine de définition quand il est utile.
• Pour chaque théorème cité, j'ai écrit et vérifié les hypothèses.
• Mes quantificateurs sont corrects (« pour tout », « soit … fixé »).
• Chaque limite est justifiée par une règle nommée.
• Chaque question se termine par une phrase de conclusion, et les résultats sont encadrés.
• J'ai vérifié mes formules avec $n=0$ ou une valeur numérique.
• Ma copie est lisible : questions numérotées, pas de rature illisible, résultats faciles à trouver.

Le correcteur est un lecteur pressé, mais bienveillant : facilite-lui la vie, il te le rendra en points.