Logique, ensembles et listes Python

Le programme officiel de maths demande trois choses transversales, qui servent dans tous les chapitres : le vocabulaire des ensembles, la logique (implication, contraposée, absurde) et les listes en Python. Cette page les rassemble avec des exemples courts.

Tu y trouveras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

🎯 Comment utiliser cette page

Lis chaque partie une fois, puis fais les exercices en cachant les corrections.
Retiens surtout les phrases-types : elles reviennent dans les corrections de tous les chapitres.
Reviens ici dès qu'un mot te bloque dans un énoncé (« réciproque », « contre-exemple », « par l'absurde »...).

1. Le vocabulaire des ensembles

$x\in A$ : $x$ appartient à l'ensemble $A$ . $x\notin A$ : il n'y appartient pas.
$A\subset B$ : $A$ est inclus dans $B$ (tout élément de $A$ est dans $B$ ).
$A\cap B$ : l'intersection (les éléments communs). $A\cup B$ : la réunion (les éléments d'au moins un des deux).
$\overline A$ : le complémentaire de $A$ (ce qui n'est pas dans $A$ , dans l'ensemble de référence).
$\varnothing$ : l'ensemble vide. $A\setminus B$ : les éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$ .
$A\times B$ : le produit cartésien, l'ensemble des couples $(a\,;\,b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$ .

Exemple (intervalles). $A=[1\,;\,5]$ et $B=]3\,;\,8]$ . Alors $A\cap B=]3\,;\,5]$ et $A\cup B=[1\,;\,8]$ .

Exemple (complémentaire). Dans $\mathbb{R}$ , le complémentaire de $]-\infty\,;\,2]$ est $]2\,;\,+\infty[$ .

Exemple (produit cartésien). $\{1\,;\,2\}\times\{a\,;\,b\}=\{(1\,;\,a)\,;\,(1\,;\,b)\,;\,(2\,;\,a)\,;\,(2\,;\,b)\}$ : $2\times2=4$ couples.

⚠️ Pièges :

Un élément appartient ( $\in$ ) ; un ensemble est inclus ( $\subset$ ). On écrit $2\in\{1\,;\,2\}$ et $\{2\}\subset\{1\,;\,2\}$ .
Le couple $(1\,;\,2)$ est ordonné : $(1\,;\,2)\neq(2\,;\,1)$ . L'ensemble $\{1\,;\,2\}$ ne l'est pas.
Un crochet ouvert ne contient pas la borne : $]3\,;\,8]$ ne contient pas $3$ .

😄 Confondre $\in$ et $\subset$ , c'est dire « le chat est inclus dans la maison » : on comprend, mais le prof grince.

2. Implication, réciproque, contraposée, équivalence

Implication $P\Rightarrow Q$ : « si $P$ , alors $Q$ ». $P$ est une condition suffisante pour $Q$ ; $Q$ est une condition nécessaire pour $P$ .
Réciproque de $P\Rightarrow Q$ : $Q\Rightarrow P$ . Elle n'a aucune raison d'être vraie en même temps.
Contraposée de $P\Rightarrow Q$ : $\text{non}\,Q\Rightarrow\text{non}\,P$ . Elle est toujours équivalente à l'implication de départ.
Équivalence $P\iff Q$ : les deux implications sont vraies ( $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$ ).

Exemple. « Si $x=2$ , alors $x^2=4$ » est vraie. Sa réciproque « si $x^2=4$ , alors $x=2$ » est fausse : $x=-2$ convient aussi.

Exemple. « Si $n$ est un multiple de $4$ , alors $n$ est pair » est vraie. Sa contraposée « si $n$ est impair, alors $n$ n'est pas un multiple de $4$ » est vraie aussi.

Négation et quantificateurs. $\forall$ se lit « pour tout » et $\exists$ se lit « il existe ». Pour nier une phrase, on change le quantificateur et on nie la propriété :

la négation de « $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2>x$ » est « $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2\leqslant x$ » ;
la négation de « $\exists n\in\mathbb{N},\ n^2=2$ » est « $\forall n\in\mathbb{N},\ n^2\neq2$ ».

Contre-exemple. Pour réfuter une phrase commençant par « pour tout », un seul exemple suffit. « Tous les nombres premiers sont impairs » est fausse : $2$ est premier et pair.

Exemple. « $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2>x$ » est fausse : pour $x=\dfrac12$ , $x^2=\dfrac14<\dfrac12$ .

💡 Astuce. Devant une affirmation « pour tout », teste d'abord $0$ , $1$ et $-1$ . Un contre-exemple se cache souvent là.

⚠️ Pièges :

Vérifier sur des exemples ne prouve rien : cela ne fait que rendre la phrase plausible.
La négation de « tous » n'est pas « aucun » : c'est « au moins un ne vérifie pas ».
Ne confonds pas réciproque et contraposée. La contraposée a toujours la même valeur de vérité que l'implication.

😄 « Tous les cygnes que j'ai vus sont blancs » ne prouve pas que tous les cygnes sont blancs. Il suffit d'un cygne noir.

3. Trois raisonnements à connaître

La disjonction de cas. On sépare toutes les situations possibles et on traite chacune.

Exemple. Montrer que, pour tout entier $n$ , $n(n+1)$ est pair.

Si $n$ est pair, $n(n+1)$ contient le facteur pair $n$ : le produit est pair.

Si $n$ est impair, $n+1$ est pair : le produit est pair.

Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair. $\square$

Le raisonnement par contraposée. Pour prouver $P\Rightarrow Q$ , on prouve $\text{non}\,Q\Rightarrow\text{non}\,P$ .

Exemple. Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Contraposée : si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. Avec $n=2k+1$ : $n^2=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1$ , qui est impair. $\square$

Le raisonnement par l'absurde. Pour prouver $P$ , on suppose non $P$ et on aboutit à une contradiction.

Exemple. Montrer que $\sqrt2$ est irrationnel.

Supposons $\sqrt2=\dfrac pq$ avec $p$ et $q$ entiers, la fraction étant irréductible.

Alors $p^2=2q^2$ , donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (contraposée ci-dessus) : $p=2m$ .

Alors $4m^2=2q^2$ , soit $q^2=2m^2$ , donc $q$ est pair.

$p$ et $q$ sont tous les deux pairs : la fraction n'est pas irréductible. C'est absurde. Donc $\sqrt2$ est irrationnel. $\square$

💡 Astuce. Dans un énoncé, les mots « montrer qu'il n'existe pas » ou « montrer que... est impossible » appellent presque toujours un raisonnement par l'absurde.

En Terminale : récurrence et quantificateurs. Une démonstration par récurrence prouve une phrase du type « $\forall n\in\mathbb{N},\ \mathcal{P}(n)$ » en deux étapes : l'initialisation ( $\mathcal{P}(0)$ est vraie) et l'hérédité (pour tout $n$ , $\mathcal{P}(n)\Rightarrow\mathcal{P}(n+1)$ ).

Attention à la négation. La négation de « la suite est croissante » n'est pas « elle est décroissante » : c'est « il existe un rang $n$ tel que $u_{n+1}<u_n$ ». Une suite peut n'être ni l'un ni l'autre.

4. Les listes en Python

Une liste range plusieurs valeurs entre crochets. Les éléments sont numérotés à partir de 0.

L = [3, 1, 4, 1, 5]
print(L[0])      # affiche 3 (premier élément)
print(L[-1])     # affiche 5 (dernier élément)
print(len(L))    # affiche 5 (nombre d'éléments)
L[1] = 7         # modifie le deuxième élément
print(L)         # affiche [3, 7, 4, 1, 5]

Ajouter un élément, supprimer, extraire.

L = [3, 1, 4]
L.append(9)      # ajoute à la fin : [3, 1, 4, 9]
L.remove(1)      # supprime la première valeur 1 : [3, 4, 9]
print(L[0:2])    # affiche [3, 4] (indices 0 et 1, pas le 2)
print(sum(L), max(L), min(L))   # affiche 16 9 3

Parcourir une liste. On peut prendre les éléments un par un, ou passer par les indices.

L = [3, 1, 4]
for x in L:
    print(x)             # affiche 3, puis 1, puis 4

for i in range(len(L)):
    print(i, L[i])       # affiche 0 3, puis 1 1, puis 2 4

Créer une liste par compréhension. C'est la façon la plus courte de fabriquer une liste.

carres = [k ** 2 for k in range(1, 6)]
print(carres)     # affiche [1, 4, 9, 16, 25]

pairs = [k for k in range(10) if k % 2 == 0]
print(pairs)      # affiche [0, 2, 4, 6, 8]

Un exemple de suite. On range les termes de $u_0=2$ , $u_{n+1}=3u_n-1$ dans une liste :

u = [2]
for n in range(5):
    u.append(3 * u[-1] - 1)
print(u)   # affiche [2, 5, 14, 41, 122, 365]

⚠️ Pièges :

Le premier indice est $0$ : une liste de $5$ éléments va de `L[0]` à `L[4]`.
`L[0:2]` s'arrête avant l'indice $2$ .
`range(1, 6)` donne $1, 2, 3, 4, 5$ : le dernier nombre n'est pas atteint.
Une liste se modifie en place : `L.append(9)` ne renvoie rien, il faut écrire `L.append(9)` et non `L = L.append(9)`.

😄 Compter à partir de $0$ est la seule raison pour laquelle un programmeur ne rate pas son bus : il arrive toujours en retard d'un cran.

5. Quatre exercices

Exercice 1 (★) : intervalles et ensembles

Soient $A=[-2\,;\,3]$ et $B=]1\,;\,6[$ .

1. Déterminer $A\cap B$ et $A\cup B$ .

2. Déterminer le complémentaire de $A$ dans $\mathbb{R}$ .

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

$A\cap B$ : les nombres à la fois dans $[-2\,;\,3]$ et dans $]1\,;\,6[$ : ils sont supérieurs à $1$ (strictement) et inférieurs ou égaux à $3$ .

$A\cup B$ : de $-2$ (inclus) jusqu'à $6$ (exclu), sans trou.

✅ $A\cap B=]1\,;\,3]$ et $A\cup B=[-2\,;\,6[$ .

Question 2

✅ $\overline A=]-\infty\,;\,-2[\ \cup\ ]3\,;\,+\infty[$ .

Exercice 2 (★★) : réciproque, contraposée, négation

On considère l'implication « si $x>2$ , alors $x^2>4$ ».

1. Énoncer sa réciproque. Est-elle vraie ?

2. Énoncer sa contraposée. Est-elle vraie ?

3. Écrire la négation de « $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2>x$ » puis dire si la phrase de départ est vraie.

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

Réciproque : « si $x^2>4$ , alors $x>2$ ».

✅ Elle est fausse : $x=-3$ donne $x^2=9>4$ mais $x=-3<2$ .

Question 2

Contraposée : « si $x^2\leqslant4$ , alors $x\leqslant2$ ».

✅ Elle est vraie, comme l'implication de départ : si $x^2\leqslant4$ , alors $-2\leqslant x\leqslant2$ , donc $x\leqslant2$ .

Question 3

Négation : « $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2\leqslant x$ ».

✅ Cette négation est vraie ( $x=\dfrac12$ : $\dfrac14\leqslant\dfrac12$ ), donc la phrase de départ est fausse.

Exercice 3 (★★) : disjonction de cas et absurde

1. Montrer que, pour tout entier $n$ , $n^2+n$ est pair.

2. Montrer par l'absurde qu'il n'existe pas d'entier $n$ tel que $n^2+1$ soit divisible par $4$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

$n^2+n=n(n+1)$ . Si $n$ est pair, le produit est pair. Si $n$ est impair, $n+1$ est pair, donc le produit est pair.

✅ Dans tous les cas, $n^2+n$ est pair.

Question 2

Supposons qu'il existe $n$ avec $n^2+1=4k$ . Si $n$ est pair, $n=2m$ et $n^2+1=4m^2+1$ est impair : il n'est pas multiple de $4$ .

Si $n$ est impair, $n=2m+1$ et $n^2+1=4m^2+4m+2=4\left(m^2+m\right)+2$ : le reste dans la division par $4$ est $2$ .

✅ Dans les deux cas, on a une contradiction : aucun entier $n$ n'a un $n^2+1$ divisible par $4$ .

Exercice 4 (★★) : listes et suites

On définit $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ .

1. Écrire un script Python qui range $u_0,\dots,u_5$ dans une liste.

2. Quelle liste obtient-on ? En déduire $u_5$ .
u = [1]
for n in range(5):
    u.append(2 * u[-1] + 3)
print(u)

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

On part de la liste `[1]` puis on ajoute $5$ termes avec `append`, chacun calculé à partir du dernier élément `u[-1]`.

✅ Le script ci-dessus convient : `range(5)` fait cinq tours.

Question 2

$u_1=2\times1+3=5$ , $u_2=13$ , $u_3=29$ , $u_4=61$ , $u_5=125$ .

✅ Le script affiche `[1, 5, 13, 29, 61, 125]`, donc $u_5=125$ .

🎯 À retenir

Ensembles : $\in$ pour un élément, $\subset$ pour un ensemble ; $\cap$ pour « et », $\cup$ pour « ou ».
Implication : la contraposée a toujours la même valeur de vérité ; la réciproque non.
Pour réfuter un « pour tout » : un seul contre-exemple.
Pour nier : $\forall\leftrightarrow\exists$ et on nie la propriété.
Python : indices à partir de $0$ , `append`, parcours avec `for`, compréhension.

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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