Guide de rédaction : calcul intégral

🎯 Le principe du chapitre

Avec le calcul intégral, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la primitive écrite et le crochet avant tout remplacement ;
• la justification du signe ou de la position relative avant une aire ;
• la rédaction complète d'une intégration par parties ($u'$, $v$, $u$, $v'$, régularité, crochet) ;
• la citation des propriétés (linéarité, Chasles, croissance) ;
• la conclusion avec l'unité d'aire.

Situation 1 : calculer une intégrale.

« $f$ est continue sur $[0\,;1]$. Elle est de la forme $\dfrac{u'}u$ avec $u(x)=x^2+1>0$. Donc $F(x)=\ln\left(x^2+1\right)$ est une primitive de $f$. Alors :

$\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\Big[\ln\left(x^2+1\right)\Big]_0^1=\ln2-\ln1=\ln2$. »

💡 Continuité, primitive, crochet, résultat.

Situation 2 : utiliser la linéarité et la relation de Chasles.

« Par linéarité de l'intégrale : $\displaystyle\int_0^2(2f-3g)=2\int_0^2f-3\int_0^2g=2\times3-3\times(-1)=9$.

D'après la relation de Chasles : $\displaystyle\int_0^5f=\int_0^2f+\int_2^5f=3+4=7$. »

💡 Nomme la propriété que tu utilises.

Situation 3 : signe et comparaison d'intégrales.

« Pour $x\in[0\,;1]$, $x^2\ge0$ donc $e^{x^2}\ge1$. Par croissance de l'intégrale ($0\le1$) : $\displaystyle\int_0^1e^{x^2}dx\ge\int_0^11\,dx=1$. »

⚠️ Vérifie que les bornes sont dans l'ordre avant d'appliquer une inégalité.

Situation 4 : encadrer une intégrale.

« Pour $x\in[0\,;1]$, $\dfrac12\le\dfrac1{1+x^2}\le1$. D'après l'inégalité de la moyenne sur $[0\,;1]$ (longueur $1$) : $\dfrac12\le\displaystyle\int_0^1\dfrac1{1+x^2}\,dx\le1$. »

Situation 5 : la valeur moyenne.

« La valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;3]$ est $\mu=\dfrac1{3-0}\displaystyle\int_0^3x^2\,dx=\dfrac13\times\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3=3$. »

⚠️ N'oublie pas le facteur $\dfrac1{b-a}$.

Situation 6 : l'aire sous une courbe.

« $f$ est continue et positive sur $[0\,;3]$ ($x^2\ge0$). L'aire du domaine est $A=\displaystyle\int_0^3x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3=9$ u.a. Comme une unité d'aire vaut $2\times3=6$ cm², $A=54$ cm². »

Situation 7 : l'aire entre deux courbes.

« Les courbes se coupent en $x=0$ et $x=1$ ($x^2=x\iff x(x-1)=0$). Sur $[0\,;1]$, $x\ge x^2$, donc la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$. L'aire est $A=\displaystyle\int_0^1\left(x-x^2\right)dx=\left[\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_0^1=\dfrac16$ u.a. »

💡 Intersections, position relative, haut $-$ bas, primitive, crochet, résultat en u.a.

Situation 8 : une fonction de signe variable.

« $\sin x\ge0$ sur $[0\,;\pi]$ et $\sin x\le0$ sur $[\pi\,;2\pi]$. L'aire est $A=\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx-\int_\pi^{2\pi}\sin x\,dx=2+2=4$ u.a. (alors que $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0$). »

⚠️ Découpe aux points d'annulation et change le signe des parties négatives.

Situation 9 : une intégration par parties.

« On pose $u'(x)=e^x$ et $v(x)=x$. Alors $u(x)=e^x$ et $v'(x)=1$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[0\,;1]$. Par intégration par parties :

$\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx=\Big[xe^x\Big]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1$. »

💡 Écris $u'$, $v$, $u$, $v'$, puis la formule avec son crochet.

Situation 10 : deux intégrations par parties, ou le cas cyclique.

« Une première IPP donne $I=-J$. Une seconde donne $J=\left(e^\pi+1\right)+I$. D'où $I=-\left(e^\pi+1\right)-I$, donc $2I=-\left(e^\pi+1\right)$ et $I=-\dfrac{e^\pi+1}2$. »

💡 Dans le cas cyclique, résous l'équation d'inconnue $I$.

Situation 11 : une fonction définie par une intégrale.

« La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\R$. Donc $F:x\mapsto\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ est la primitive de cette fonction qui s'annule en $0$. $F$ est dérivable et $F'(x)=e^{-x^2}>0$. $F$ est strictement croissante sur $\R$. »

Situation 12 : une suite d'intégrales.

« Pour $x\in[1\,;e]$, $0\le\ln x\le1$, donc $(\ln x)^{n+1}\le(\ln x)^n$. Par croissance de l'intégrale, $I_{n+1}\le I_n$ : la suite est décroissante. Elle est minorée par $0$ : elle converge. »

⚠️ Compare les fonctions sous l'intégrale, puis intègre.

Situation 13 : la méthode des rectangles.

« $g$ est croissante sur $[0\,;1]$. Sur chaque intervalle de longueur $h$ : $h\,g(x_k)\le\displaystyle\int g\le h\,g(x_{k+1})$. En additionnant : $S_g\le\mathcal A\le S_d$. L'amplitude est $S_d-S_g=h\big[g(1)-g(0)\big]$. »

Situation 14 : une équation à solution unique avec une aire.

« $A$ est dérivable et $A'=f>0$.

Donc $A$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, de $0$ à $3$.

Comme $2{,}5\in\,]0\,;3[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $A(x)=2{,}5$ admet une unique solution $\alpha$. »

a) Le calcul d'une intégrale.

❌ « $\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln\left(x^2+1\right)=\ln2$. »

✅ « $\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\Big[\ln\left(x^2+1\right)\Big]_0^1=\ln2-\ln1=\ln2$. »

La première a oublié le crochet et les bornes : elle ne calcule pas $F(1)-F(0)$.

b) Une aire entre deux courbes.

❌ « $A=\displaystyle\int_0^1\left(x^2-x\right)dx=-\dfrac16$, donc $A=\dfrac16$. »

✅ « Sur $[0\,;1]$, $x\ge x^2$. $A=\displaystyle\int_0^1\left(x-x^2\right)dx=\dfrac16$ u.a. »

Le premier a soustrait dans le mauvais sens puis pris l'opposé : le signe se justifie avant de calculer.

c) Une intégration par parties.

❌ « $\displaystyle\int xe^x\,dx=xe^x-e^x$. »

✅ « On pose $u'(x)=e^x$, $v(x)=x$ ; $u$, $v$ sont $C^1$ sur $[0\,;1]$. $\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx=\Big[xe^x\Big]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=1$. »

d) Une aire à convertir.

❌ « $A=9$. »

✅ « $A=9$ u.a. Comme $1$ u.a. $=2\text{ cm}\times3\text{ cm}=6$ cm², $A=54$ cm². »

• J'ai vérifié la continuité et écrit une primitive.
• J'ai écrit le crochet $\Big[F(x)\Big]_a^b$ avant de remplacer.
• Pour une aire, j'ai justifié le signe ou la position relative, écrit « haut $-$ bas » et donné le résultat en u.a.
• Pour une IPP, j'ai posé $u'$, $v$, $u$, $v'$ et cité la régularité $C^1$.
• J'ai nommé les propriétés utilisées (linéarité, Chasles, croissance).
• Pour une équation à solution unique, j'ai cité le corollaire du TVI avec ses hypothèses.
• Pour une suite d'intégrales, j'ai suivi le plan : premiers termes, récurrence, positivité, monotonie, limite.
• Ma conclusion donne la valeur exacte, la valeur approchée et l'unité.

😄 Une intégrale sans crochet, c'est un trajet sans ticket : peut-être arrivé à bon port, mais impossible de le prouver.