Fiche 1 : dérivées, composées et tangentes

Question 1

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme composée de $x\mapsto2x+1$ et de $x\mapsto x^5$, dérivables sur $\R$. Avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$ et $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ :

✅ $f'(x)=5\times2\times(2x+1)^4=10(2x+1)^4$

Question 2

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de fonctions dérivables. Avec $u(x)=x^2-3x+1$, $u'(x)=2x-3$, $n=4$ :

✅ $g'(x)=4(2x-3)(x^2-3x+1)^3$

Question 3

Pour tout $x\in\R$, $x^2+1>0$. Donc $h$ est dérivable sur $\R$ comme inverse d'une fonction dérivable qui ne s'annule pas. Avec $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$ et $\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ :

✅ $h'(x)=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}$

Question 4

Pour $x>\dfrac23$, $3x-2>0$, donc $k$ est dérivable sur $\left]\dfrac23\,;+\infty\right[$. On écrit $k(x)=(3x-2)^{-3}$. Avec $u(x)=3x-2$, $u'(x)=3$ et $n=-3$ : $k'(x)=-3\times3\times(3x-2)^{-4}$.

✅ $k'(x)=\dfrac{-9}{(3x-2)^4}$

Question 1

Pour $x>-\dfrac12$, $2x+1>0$. Donc $f$ est dérivable sur $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$ comme composée de $x\mapsto2x+1$ (strictement positive) et de la racine carrée. Avec $(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ :

✅ $f'(x)=\dfrac2{2\sqrt{2x+1}}=\dfrac1{\sqrt{2x+1}}$

Question 2

Pour tout $x\in\R$, $x^2+1>0$, donc $g$ est dérivable sur $\R$.

✅ $g'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}$

Question 3

La fonction $h$ est définie pour $x^2-4x\ge0$, c'est-à-dire $x\le0$ ou $x\ge4$. Elle est dérivable là où $x^2-4x>0$, soit sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]4\,;+\infty[$. Sur ces intervalles :

✅ $h'(x)=\dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x}}=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x}}$

Question 4

La fonction $k$ est dérivable sur $]-1\,;+\infty[$ comme produit de $x\mapsto x$ et de $x\mapsto\sqrt{x+1}$, dérivables sur cet intervalle. Avec $(uv)'=u'v+uv'$ :

✅ $k'(x)=\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}$

Méthode. On utilise $(e^u)'=u'e^u$.

Question 1

$f$ est dérivable sur $\R$ comme composée. Avec $u(x)=3x-1$, $u'(x)=3$ :

✅ $f'(x)=3e^{3x-1}$

Question 2

Avec $u(x)=-x^2$, $u'(x)=-2x$ :

✅ $g'(x)=-2xe^{-x^2}$

Question 3

La fonction $h$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (et sur $]-\infty\,;0[$), car $x\mapsto\dfrac1x$ y est dérivable. Avec $u(x)=\dfrac1x$, $u'(x)=-\dfrac1{x^2}$ :

✅ $h'(x)=-\dfrac{e^{1/x}}{x^2}$

Question 4

$k$ est dérivable sur $\R$ comme produit. $(uv)'$ avec $u(x)=x$, $v(x)=e^{2x}$, $v'(x)=2e^{2x}$ : $k'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}$.

✅ $k'(x)=(1+2x)e^{2x}$

Question 5

$m$ est dérivable sur $\R$ comme produit. Avec $u(x)=x^2+x$, $v(x)=e^{-x}$, $v'(x)=-e^{-x}$ :

✅ $m'(x)=(-x^2+x+1)e^{-x}$

Méthode. On utilise $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Question 1

Pour tout $x$, $e^x+1>0$, donc $f$ est dérivable sur $\R$. Avec $u=e^x-1$, $v=e^x+1$, $u'=v'=e^x$ :

✅ $f'(x)=\dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}$

Question 2

La fonction $g$ est dérivable sur $]-\infty\,;1[$ et sur $]1\,;+\infty[$. Avec $u=x^2+1$, $v=x-1$ :

✅ $g'(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$

Question 3

Pour tout $x$, $x^2+1>0$, donc $h$ est dérivable sur $\R$.

✅ $h'(x)=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$

Comme $h'(x)\ge0$, la fonction $h$ est croissante sur $\R$.

Question 1

$f$ est dérivable sur $\R$ comme composée. Avec $(\cos u)'=-u'\sin u$, $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$ :

✅ $f'(x)=-2\sin(2x+1)$

Question 2

$g=u^2$ avec $u(x)=\sin x$, $u'(x)=\cos x$. Avec $(u^2)'=2u'u$ :

✅ $g'(x)=2\sin x\cos x$

Question 3

$h$ est un produit de fonctions dérivables. $h'(x)=e^x\cos x+e^x(-\sin x)$.

✅ $h'(x)=e^x(\cos x-\sin x)$

Question 4

Avec $(\sin u)'=u'\cos u$, $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$ :

✅ $k'(x)=2x\cos(x^2)$

Méthode. La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Question 1

$f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x$.

En $0$ : $f(0)=0$ et $f'(0)=1$. La tangente a pour équation $y=0+1(x-0)$.

✅ $y=x$

En $1$ : $f(1)=e$ et $f'(1)=2e$. La tangente a pour équation $y=e+2e(x-1)$.

✅ $y=2ex-e$

Question 2

$g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $g'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$. En $4$ : $g(4)=2$ et $g'(4)=\dfrac14$. La tangente a pour équation $y=2+\dfrac14(x-4)$.

✅ $y=\dfrac x4+1$

Question 1

$f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=2x-3$. On cherche $a$ tel que $f'(a)=1$ : $2a-3=1$, donc $a=2$. On a $f(2)=4-6+1=-1$. La tangente a pour équation $y=-1+1(x-2)$.

✅ $y=x-3$

Question 2

$g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)=2x$. La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation :

Elle passe par $O(0\,;0)$ si et seulement si $0=a^2+1-2a^2$, soit $a^2=1$. Donc $a=1$ ou $a=-1$.

Pour $a=1$ : $g(1)=2$, $g'(1)=2$.

✅ $y=2x$

Pour $a=-1$ : $g(-1)=2$, $g'(-1)=-2$.

✅ $y=-2x$

Il y a donc deux tangentes passant par l'origine.

Question 1

Pour $x\neq a$ :

Quand $x\to a$, cette quantité tend vers $2a$.

✅ Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=2a$.

Question 2

Pour $x>0$ :

Cette quantité tend vers $+\infty$ quand $x\to0^+$. La limite est infinie.

❌ $g$ n'est pas dérivable en $0$.

La courbe admet en $0$ une tangente verticale (l'axe des ordonnées).

Question 3

Pour $x\neq0$ :

Cette quantité tend vers $0$ quand $x\to0$.

✅ Donc $h$ est dérivable en $0$ et $h'(0)=0$.

La dérivée. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit. Pour tout $x$ :

Les conditions.

• La courbe passe par $A(0\,;1)$ : $f(0)=b=1$.

• La tangente en $A$ est horizontale : $f'(0)=a-b=0$, donc $a=b=1$.

✅ Donc $a=1$ et $b=1$, et $f(x)=(x+1)e^{-x}$.

Vérification : $f(0)=1$ ✓ et $f'(x)=-xe^{-x}$, donc $f'(0)=0$ ✓

La dérivée. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme composée de $x\mapsto x^2-2x$ et de l'exponentielle. Avec $u(x)=x^2-2x$, $u'(x)=2x-2$ :

✅ $f'(x)=(2x-2)e^{x^2-2x}=2(x-1)e^{x^2-2x}$

Le signe. Comme $e^{x^2-2x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $x-1$ : $f'(x)<0$ si $x<1$, $f'(1)=0$, $f'(x)>0$ si $x>1$.

✅ La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Elle admet un minimum en $x=1$, égal à $f(1)=e^{-1}$.

✅ Le minimum est $\dfrac1e$.