Fiche 2 : dérivées, limites et inégalités avec ln

Méthode

On utilise $(\ln u)'=\dfrac{u'}u$ pour $u$ dérivable et strictement positive.

Question 1

Pour $x>-\dfrac23$, $3x+2>0$. $f$ est dérivable sur $\left]-\dfrac23\,;+\infty\right[$.

✅ $f'(x)=\dfrac3{3x+2}$

Question 2

Pour tout $x\in\R$, $x^2+1>0$ : $g$ est dérivable sur $\R$.

✅ $g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$

Question 3

$h$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme et produit. $h'(x)=\ln x+x\times\dfrac1x-1=\ln x+1-1$.

✅ $h'(x)=\ln x$

Question 4

$k$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme quotient dont le dénominateur ne s'annule pas. $k'(x)=\dfrac{\frac1x\times x-\ln x\times1}{x^2}$.

✅ $k'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

Question 5

Pour tout $x$, $1+e^x>0$ : $m$ est dérivable sur $\R$.

✅ $m'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}$

Question 6

La fonction $p$ est définie et dérivable là où $\ln x>0$, c'est-à-dire sur $]1\,;+\infty[$. Avec $\left(\sqrt u\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ et $u(x)=\ln x$ :

✅ $p'(x)=\dfrac{\frac1x}{2\sqrt{\ln x}}=\dfrac1{2x\sqrt{\ln x}}$

Question 7

Avec $(u^2)'=2u'u$ et $u(x)=\ln x$, sur $]0\,;+\infty[$ :

✅ $q'(x)=\dfrac{2\ln x}x$

Question 1

Forme « $+\infty-\infty$ ». Pour $x>0$ : $x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)$. Par croissances comparées, $\dfrac{\ln x}x\to0$, donc $1-\dfrac{\ln x}x\to1$. Par produit :

✅ $\lim=+\infty$

Question 2

Pour $x>0$ : $\dfrac{\ln x}{\sqrt x}=2\,\dfrac{\ln\sqrt x}{\sqrt x}$. Comme $X=\sqrt x\to+\infty$, par croissances comparées $\dfrac{\ln X}X\to0$. Par composition et produit :

✅ $\lim=0$

Question 3

Par croissances comparées ($n=2$) :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0$

Question 4

C'est le nombre dérivé de $\ln$ en $1$ : $\dfrac{\ln x-\ln1}{x-1}\to\ln'(1)=1$.

✅ $\lim=1$

Question 5

C'est le nombre dérivé de $x\mapsto\ln(1+x)$ en $0$ : $\dfrac{\ln(1+x)-\ln1}x\to\dfrac1{1+0}=1$.

✅ $\lim=1$

Question 6

Pour $x>3$ : $\dfrac{2x+1}{x-3}=\dfrac{2+\frac1x}{1-\frac3x}\to2$. Comme $\ln$ est continue en $2$, par composition :

✅ $\lim=\ln2$

Question 7

Pour $x>0$ : $\ln(x+1)-\ln x=\ln\dfrac{x+1}x=\ln\left(1+\dfrac1x\right)$. Comme $1+\dfrac1x\to1$ et $\ln$ est continue en $1$ :

✅ $\lim=\ln1=0$

Question 8

Quand $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$ et $\dfrac1x\to+\infty$. Par produit :

✅ $\lim=-\infty$

Limites

En $0^+$ : par croissances comparées :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=0$

En $+\infty$ : $x\to+\infty$ et $\ln x\to+\infty$, donc, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Variations

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme produit. $f'(x)=\ln x+x\times\dfrac1x$.

✅ $f'(x)=\ln x+1$

$\ln x+1>0\iff\ln x>-1\iff x>e^{-1}$. Donc $f'<0$ sur $\left]0\,;\dfrac1e\right[$, $f'\left(\dfrac1e\right)=0$, $f'>0$ sur $\left]\dfrac1e\,;+\infty\right[$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $\left]0\,;\dfrac1e\right]$ (de $0$ à $f\left(\dfrac1e\right)$) et strictement croissante sur $\left[\dfrac1e\,;+\infty\right[$ (jusqu'à $+\infty$).

Son minimum est $f\left(\dfrac1e\right)=\dfrac1e\ln\dfrac1e$.

✅ Le minimum est $-\dfrac1e$.

Convexité

$f''(x)=\dfrac1x>0$ sur $]0\,;+\infty[$.

✅ $f$ est convexe.

Limites

En $0^+$ : $\ln x\to-\infty$ et $\dfrac1x\to+\infty$, donc, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=-\infty$

La droite $x=0$ est asymptote verticale.

En $+\infty$ : par croissances comparées :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=0$

La droite $y=0$ est asymptote horizontale.

Variations

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme quotient. $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$. Comme $x^2>0$, $f'(x)$ est du signe de $1-\ln x$, positif pour $x<e$.

✅ $f$ est strictement croissante sur $]0\,;e]$ (de $-\infty$ à $f(e)=\dfrac1e$) et strictement décroissante sur $[e\,;+\infty[$ (de $\dfrac1e$ à $0$).

Maximum : $f(e)=\dfrac1e$.

Convexité

✅ $f''(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}$

Pour $x>0$, $f''(x)$ est du signe de $2\ln x-3$, positif pour $x>e^{3/2}$.

✅ $f$ est concave sur $\left]0\,;e^{3/2}\right]$ et convexe sur $\left[e^{3/2}\,;+\infty\right[$.

✅ La courbe a un point d'inflexion en $\left(e^{3/2}\,;\dfrac32e^{-3/2}\right)$.

Limites

En $0^+$ : $x\to0$ et $-\ln x\to+\infty$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=+\infty$

En $+\infty$ : $f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)$ et $\dfrac{\ln x}x\to0$ (croissances comparées).

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Variations

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}x$.

Comme $x>0$, $f'(x)$ est du signe de $x-1$. $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Elle admet un minimum en $1$, égal à $f(1)=1-\ln1=1$.

Conséquence

Pour tout $x>0$, $f(x)\ge1$, soit $x-\ln x\ge1$.

✅ $\ln x\le x-1$, avec égalité uniquement en $x=1$.

Question 1

Pour $x>0$ : $\ln x=mx\iff\dfrac{\ln x}x=m$. C'est $f(x)=m$ avec $f(x)=\dfrac{\ln x}x$.

D'après l'exercice 4, $f$ est continue, strictement croissante sur $]0\,;e]$ de $-\infty$ à $\dfrac1e$, et strictement décroissante sur $[e\,;+\infty[$ de $\dfrac1e$ à la limite $0$ (non atteinte : $f(x)>0$ pour $x>1$).

• Si $m>\dfrac1e$ : aucune solution ($f\le\dfrac1e$).

• Si $m=\dfrac1e$ : une unique solution, $x=e$.

• Si $0<m<\dfrac1e$ : d'après le corollaire du TVI, une unique solution dans $]0\,;e[$ et une unique solution dans $]e\,;+\infty[$.

✅ Deux solutions.

• Si $m\le0$ : sur $]0\,;e]$, $m$ est compris entre $-\infty$ et $\dfrac1e$, donc une unique solution ($x=1$ si $m=0$) ; sur $[e\,;+\infty[$, $f(x)>0\ge m$, donc aucune solution.

✅ Une seule solution.

Question 2

Comme $e<\pi$ et que $f$ est strictement décroissante sur $[e\,;+\infty[$ : $f(\pi)<f(e)$, c'est-à-dire $\dfrac{\ln\pi}\pi<\dfrac1e$.

En multipliant par $e\pi>0$ : $e\ln\pi<\pi$, soit $\ln\left(\pi^e\right)<\ln\left(e^\pi\right)$, puisque $\ln\left(e^\pi\right)=\pi$.

Comme $\ln$ est strictement croissante :

✅ $\pi^e<e^\pi$

Question 1

$\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $\ln'(x)=\dfrac1x$.

En $1$ : $\ln1=0$ et $\ln'(1)=1$, donc $y=0+1(x-1)$.

✅ $y=x-1$

En $e$ : $\ln e=1$ et $\ln'(e)=\dfrac1e$, donc $y=1+\dfrac1e(x-e)$.

✅ $y=\dfrac xe$

Question 2

La tangente au point d'abscisse $a>0$ a pour équation :

Elle passe par $O$ si et seulement si $0=\ln a-1$, soit $\ln a=1$, c'est-à-dire $a=e$.

✅ La seule tangente passant par l'origine est $y=\dfrac xe$, la tangente en $e$.

Question 1

Soit $x>0$. Alors $\dfrac1x>0$, et l'inégalité admise appliquée à $\dfrac1x$ donne $\ln\dfrac1x\le\dfrac1x-1$. Or $\ln\dfrac1x=-\ln x$. Donc $-\ln x\le\dfrac1x-1$.

✅ $\ln x\ge1-\dfrac1x$

Question 2

Soit $n\ge1$ et $x=1+\dfrac1n>0$. L'inégalité admise donne $\ln\left(1+\dfrac1n\right)\le\dfrac1n$. La question 1 donne :

✅ $\dfrac1{n+1}\le\ln\left(1+\dfrac1n\right)\le\dfrac1n$

Question 3

Pour $k\ge1$ : $\ln\left(1+\dfrac1k\right)=\ln\dfrac{k+1}k=\ln(k+1)-\ln k$. En sommant de $k=1$ à $n$, les termes se simplifient (télescopage) :

✅ $\displaystyle\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1)$

D'après la question 2, $\dfrac1k\ge\ln\left(1+\dfrac1k\right)$ pour tout $k$. En sommant : $H_n\ge\ln(n+1)$. Comme $\lim\ln(n+1)=+\infty$, d'après le théorème de comparaison :

✅ $\lim H_n=+\infty$

Donc la série harmonique diverge.

Question 1

Pour $n\ge1$ :

Avec $h=\dfrac1n\to0$ : $n\ln\left(1+\dfrac1n\right)=\dfrac{\ln(1+h)}h$. Comme $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\ln(1+h)}h=1$ :

✅ $n\ln\left(1+\dfrac1n\right)\to1$

Autre méthode : l'exercice 8 donne $\dfrac n{n+1}\le n\ln\left(1+\dfrac1n\right)\le1$. Comme $\dfrac n{n+1}\to1$, les gendarmes concluent.

Question 2

L'exponentielle est continue en $1$. Par composition :

✅ $\lim\left(1+\dfrac1n\right)^n=e^1=e$

Question 3

$\left(1+\dfrac2n\right)^n=e^{n\ln\left(1+\frac2n\right)}$. $n\ln\left(1+\dfrac2n\right)=2\times\dfrac{\ln(1+h)}h$ avec $h=\dfrac2n\to0$, donc $n\ln\left(1+\dfrac2n\right)\to2$. Par composition :

✅ $\lim\left(1+\dfrac2n\right)^n=e^2$

De même $\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{n\ln\left(1-\frac1n\right)}$. $n\ln\left(1-\dfrac1n\right)=-\dfrac{\ln(1+h)}h$ avec $h=-\dfrac1n\to0$, donc $n\ln\left(1-\dfrac1n\right)\to-1$.

✅ $\lim\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}$