Terminale Spé Maths / Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration

Sommes de variables aléatoires et concentration : le cours

Le dernier chapitre du programme répond à une question très naturelle : que se passe-t-il quand on répète une expérience un grand nombre de fois ? La moyenne des résultats se stabilise. Ce chapitre explique pourquoi, et surtout avec quelle précision.

Trois idées, dans l'ordre :

• l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires ;
• l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui contrôle l'écart à l'espérance ;
• la loi des grands nombres, qui en découle.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Espérance, variance, écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1,\dots,x_r$ avec les probabilités $p_1,\dots,p_r$.

• Espérance : $E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^rp_ix_i$ (la valeur moyenne).
• Variance : $V(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^rp_i\big(x_i-E(X)\big)^2$ (l'écart quadratique moyen à l'espérance).
• Écart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Transformation affine. Pour $a$ et $b$ réels :

La variable $Z=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$ est centrée réduite : $E(Z)=0$ et $V(Z)=1$.

2. Somme de variables aléatoires

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même univers.

3. Indépendance de variables aléatoires

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes si, pour toutes valeurs $x_i$ de $X$ et $y_j$ de $Y$ :

4. Loi de Bernoulli et loi binomiale

Une variable $X$ de Bernoulli de paramètre $p$ prend la valeur $1$ (avec la probabilité $p$) ou $0$ (avec la probabilité $1-p$).

Une variable $X$ de loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ : $X=X_1+\dots+X_n$.

5. Échantillon, somme, moyenne

Un échantillon de taille $n$ de la variable $X$ est une liste $(X_1,\dots,X_n)$ de variables indépendantes qui suivent toutes la même loi que $X$. On note :

Cela explique le principe fondamental : la moyenne d'un échantillon est moins dispersée que chaque observation. Son écart-type est divisé par $\sqrt n$.

6. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pourquoi ? Pour tout résultat, $(X-\mu)^2\ge\delta^2$ lorsque $|X-\mu|\ge\delta$, et $(X-\mu)^2\ge0$ sinon. En prenant l'espérance : $V(X)=E\left((X-\mu)^2\right)\ge\delta^2\,P(|X-\mu|\ge\delta)$.

Forme complémentaire : $P\big(|X-\mu|<\delta\big)\ge1-\dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

Inégalité de concentration (pour la moyenne). Appliquée à $M_n$ (d'espérance $\mu$ et de variance $\dfrac{V(X)}n$) :

7. Loi des grands nombres

Cas d'un succès de probabilité $p$. La fréquence $F_n=\dfrac{X_n}n$ de succès sur $n$ épreuves (avec $X_n\sim\mathcal B(n,p)$) vérifie $E(F_n)=p$ et $V(F_n)=\dfrac{p(1-p)}n$. Donc :

8. Python

import random

def esperance(valeurs, probas):
    return sum(x * p for x, p in zip(valeurs, probas))

def variance(valeurs, probas):
    m = esperance(valeurs, probas)
    return sum(p * (x - m)**2 for x, p in zip(valeurs, probas))

def moyenne_des(n):
    return sum(random.randint(1, 6) for _ in range(n)) / n

9. Les 10 pépites du chapitre

Complément du programme : pourquoi $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

Pour deux variables indépendantes, on admet que $E(XY)=E(X)\,E(Y)$. On en déduit la formule de la variance d'une somme.

Sans indépendance, il reste le terme $2\left[E(XY)-E(X)E(Y)\right]$, qu'on appelle covariance (hors programme).

10. Ce qui peut tomber au bac

• L'espérance, la variance, l'écart-type, la transformation affine (fiche 1).
• Les sommes de variables, l'indépendance et la loi binomiale comme somme (fiche 2).
• L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à une variable ou à une loi binomiale (fiche 3).
• La loi des grands nombres, l'échantillonnage et la simulation avec Python (fiche 4 et exercices type bac).

Tu as maintenant le cours. Passe aux quatre fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.