Fiche 4 : loi des grands nombres et échantillonnage

Si la pièce est équilibrée, $E(F_n)=0{,}5$ et $V(F_n)=\dfrac{0{,}25}n$. D'après l'inégalité de concentration avec $\delta=0{,}04$ :

$P\big(|F_n-0{,}5|\ge0{,}04\big)\le\dfrac{0{,}25}{n\times0{,}0016}$

Question 1

Pour $n=1\,000$ : $\dfrac{0{,}25}{1\,000\times0{,}0016}=0{,}15625$.

✅ $P\big(|F_{1000}-0{,}5|\ge0{,}04\big)\le0{,}156$

Un écart de $0{,}04$ peut se produire avec une probabilité allant jusqu'à $15{,}6\,\%$ : ce n'est pas assez petit pour douter.

❌ On ne peut pas douter de l'équilibre de la pièce.

Question 2

Pour $n=10\,000$ : $\dfrac{0{,}25}{10\,000\times0{,}0016}=0{,}015625$.

✅ $P\big(|F_{10000}-0{,}5|\ge0{,}04\big)\le0{,}0156$

Un écart de $0{,}04$ aurait au plus $1{,}6\,\%$ de chances de se produire pour une pièce équilibrée.

✅ Il est raisonnable de douter de l'équilibre de la pièce.

Question 1

Pour un lancer : $\mu=\dfrac72$ et $V=\dfrac{35}{12}$. D'après l'inégalité de concentration avec $\delta=0{,}1$ :

$P\big(|M_n-3{,}5|\ge0{,}1\big)\le\dfrac{35/12}{n\times0{,}01}=\dfrac{35}{0{,}12\,n}=\dfrac{875}{3\,n}$

✅ $P\big(|M_n-3{,}5|\ge0{,}1\big)\le\dfrac{875}{3n}\approx\dfrac{291{,}7}n$

Question 2

Pour tout $n\ge1$ : $0\le P\big(|M_n-3{,}5|\ge0{,}1\big)\le\dfrac{875}{3n}$. Comme $\dfrac{875}{3n}\to0$, d'après le théorème des gendarmes :

✅ $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P\big(|M_n-3{,}5|\ge0{,}1\big)=0$

C'est la loi faible des grands nombres.

Question 3

$\dfrac{875}{3n}\le0{,}05\iff n\ge\dfrac{875}{0{,}15}\approx5\,833{,}3$

✅ Il suffit de $n=5\,834$ lancers.

Le nombre de réalisations suit $\mathcal B(n,p)$, donc $E(F_n)=p$ et $V(F_n)=\dfrac{p(1-p)}n\le\dfrac1{4n}$.

D'après l'inégalité de concentration avec $\delta=0{,}01$ :

$P\big(|F_n-p|\ge0{,}01\big)\le\dfrac{1}{4n\times0{,}0001}=\dfrac{2\,500}n$

On veut $\dfrac{2\,500}n\le0{,}05\iff n\ge\dfrac{2\,500}{0{,}05}=50\,000$.

✅ Il suffit de $n=50\,000$ simulations.

Remarque : pour une précision dix fois meilleure ($\delta=0{,}001$), il faudrait cent fois plus de simulations ($5\times10^6$) : la précision ne progresse qu'en $\dfrac1{\sqrt n}$.

Question 1

$E(X)=300$ et $V(X)=1\,000\times0{,}3\times0{,}7=210$.

✅ $E(F)=0{,}3$

✅ $V(F)=\dfrac{210}{10^6}=0{,}00021$

Question 2

D'après l'inégalité avec $\delta=0{,}05$ :

$P\big(|F-0{,}3|\ge0{,}05\big)\le\dfrac{0{,}00021}{0{,}0025}=0{,}084$

Par événement contraire :

✅ $P(0{,}25<F<0{,}35)\ge1-0{,}084=0{,}916$

Question 3

La valeur exacte $0{,}9994$ est bien supérieure au minorant $0{,}916$ : l'inégalité est vraie mais prudente. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne demande que $E$ et $V$, pas la loi.

Question 1

On répète $1\,000$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « le contrat déclare un sinistre », de probabilité $0{,}02$.

✅ $N$ suit $\mathcal B(1\,000\,;0{,}02)$.

✅ $E(N)=1\,000\times0{,}02=20$

✅ $V(N)=1\,000\times0{,}02\times0{,}98=19{,}6$

Question 2

$N\ge40$ entraîne $N-20\ge20$, donc $|N-20|\ge20$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=20$ :

$P(N\ge40)\le P\big(|N-20|\ge20\big)\le\dfrac{19{,}6}{400}$

✅ $P(N\ge40)\le0{,}049$

Question 3

La compagnie a au plus $4{,}9\,\%$ de risque d'avoir au moins deux fois plus de sinistres que prévu. La valeur exacte est de l'ordre de $4\times10^{-5}$ : la majoration est prudente, mais garantie sans calcul de loi binomiale.

Question 1

La fonction simule $n$ lancers d'une pièce équilibrée (avec random.random() < 0.5) et renvoie la fréquence de « pile ». Pour $n=10\,000$, c'est une réalisation de $F_{10000}$.

Question 2

$E(F_n)=0{,}5$ et $V(F_n)=\dfrac{0{,}25}{10\,000}$. D'après l'inégalité de concentration avec $\delta=0{,}02$ :

$P\big(|F_n-0{,}5|\ge0{,}02\big)\le\dfrac{0{,}25}{10\,000\times0{,}0004}=0{,}0625$

✅ $P(0{,}48<F_n<0{,}52)\ge1-0{,}0625=0{,}9375$

Conclusion : le résultat du script est, avec une probabilité d'au moins $93{,}75\,\%$, strictement compris entre $0{,}48$ et $0{,}52$.

Affirmation 1

La loi des grands nombres dit que la probabilité d'un écart supérieur à $\delta$ tend vers $0$ : $M_n$ reste aléatoire, seulement de plus en plus concentrée autour de $E(X)$.

❌ Faux.

Affirmation 2

Les lancers sont indépendants : la pièce n'a pas de mémoire. La probabilité de « face » reste $\dfrac12$.

❌ Faux.

Affirmation 3

$\sigma(M_n)=\dfrac\sigma{\sqrt n}$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

C'est le résultat de l'exercice 3.

✅ Vrai.