Guide de rédaction : sinus et cosinus

🎯 Le principe du chapitre

Avec sinus et cosinus, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la formule ou la valeur remarquable justifiant chaque égalité ;
• la solution générale complète (deux familles, $+2k\pi$) ;
• la sélection explicite des solutions de l'intervalle ;
• la justification de la parité et de la période avant de réduire l'étude ;
• l'intervalle précisé quand on étudie le signe de $\sin$ ou de $\cos$.

Situation 1 : une valeur exacte avec les angles associés.

« $\cos\dfrac{5\pi}6=\cos\left(\pi-\dfrac\pi6\right)=-\cos\dfrac\pi6=-\dfrac{\sqrt3}2$. $\sin\dfrac{11\pi}6=\sin\left(-\dfrac\pi6+2\pi\right)=\sin\left(-\dfrac\pi6\right)=-\dfrac12$ (périodicité, puis imparité). »

⚠️ Nomme la propriété utilisée : angles associés, périodicité, parité.

Situation 2 : $\cos^2+\sin^2=1$ avec le signe.

« $\cos^2x+\sin^2x=1$, donc $\cos^2x=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}$, soit $\cos x=\pm\dfrac45$. Or $x\in\left[\dfrac\pi2\,;\pi\right]$ : le cosinus y est négatif. Donc $\cos x=-\dfrac45$. »

⚠️ Sans l'intervalle, tu n'as pas le droit de choisir le signe.

Situation 3 : duplication et addition.

« $\cos\dfrac\pi4=2\cos^2\dfrac\pi8-1$, donc $\cos^2\dfrac\pi8=\dfrac{2+\sqrt2}4$. Comme $\dfrac\pi8\in\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$, $\cos\dfrac\pi8>0$. Donc $\cos\dfrac\pi8=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$. »

Situation 4 : l'équation $\cos x=\cos a$, sur $\R$.

« Comme $\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$, l'équation s'écrit $\cos x=\cos\dfrac\pi3$. Donc $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$. »

Situation 5 : l'équation $\sin x=\sin a$, sur $\R$.

« Comme $\sin\left(-\dfrac\pi4\right)=-\dfrac{\sqrt2}2$, l'équation s'écrit $\sin x=\sin\left(-\dfrac\pi4\right)$. Donc $x=-\dfrac\pi4+2k\pi$ ou $x=\pi-\left(-\dfrac\pi4\right)+2k\pi=\dfrac{5\pi}4+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$. »

Situation 6 : sélectionner les solutions dans un intervalle ($\sin x=\dfrac{\sqrt3}2$ sur $[0\,;2\pi]$).

« $\sin x=\sin\dfrac\pi3\iff x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=\dfrac{2\pi}3+2k\pi$.

Pour $k=0$ : $\dfrac\pi3$ et $\dfrac{2\pi}3$, tous deux dans $[0\,;2\pi]$.

Pour $k=1$ : $\dfrac{7\pi}3$ et $\dfrac{8\pi}3$, hors de l'intervalle.

Pour $k=-1$ : négatifs, hors de l'intervalle.

Donc $S=\left\{\dfrac\pi3\,;\dfrac{2\pi}3\right\}$. »

💡 Écris la sélection : les valeurs de $k$ testées et pourquoi on les garde ou on les rejette.

Situation 7 : une équation du second degré en $\sin x$ ou $\cos x$.

« On pose $X=\sin x$, avec $-1\le X\le1$. L'équation $2\sin^2x-\sin x-1=0$ devient $2X^2-X-1=0$. $(2X+1)(X-1)=0$, donc $X=-\dfrac12$ ou $X=1$. Ces deux valeurs appartiennent à $[-1\,;1]$. Donc $\sin x=-\dfrac12$ ou $\sin x=1$… »

⚠️ Écarte explicitement les valeurs de $X$ en dehors de $[-1\,;1]$.

Situation 8 : une inéquation avec le cercle trigonométrique.

« $\cos x=\dfrac{\sqrt2}2$ sur $]-\pi\,;\pi]$ pour $x=\pm\dfrac\pi4$. Sur le cercle trigonométrique, les points d'abscisse supérieure ou égale à $\dfrac{\sqrt2}2$ forment l'arc entre $-\dfrac\pi4$ et $\dfrac\pi4$. Donc $S=\left[-\dfrac\pi4\,;\dfrac\pi4\right]$. »

Situation 9 : parité et périodicité.

« Pour tout $x\in\R$, $-x\in\R$ et $f(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{2+\cos(-x)}=-f(x)$ : $f$ est impaire.

Pour tout $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$ : $f$ est $2\pi$-périodique.

On étudie donc $f$ sur $[0\,;\pi]$, puis on complète par symétrie par rapport à l'origine et par translations de $2\pi$. »

Situation 10 : dérivée et signe sur l'intervalle d'étude.

« $f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient dont le dénominateur ne s'annule pas. $f'(x)=\dfrac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}$.

Comme $(2+\cos x)^2>0$, $f'(x)$ est du signe de $2\cos x+1$.

Sur $[0\,;\pi]$, $2\cos x+1>0\iff\cos x>-\dfrac12\iff x<\dfrac{2\pi}3$. (Le cosinus est strictement décroissant sur $[0\,;\pi]$.) »

⚠️ « Le cosinus est décroissant sur $[0\,;\pi]$ » : précise l'intervalle, sinon l'argument est faux.

Situation 11 : le tableau et le prolongement à $\R$.

Le tableau sur $[0\,;\pi]$ donne les variations et les valeurs. Puis :

« Par imparité, sur $[-\pi\,;0]$, les variations sont les mêmes que sur $[0\,;\pi]$.

Par $2\pi$-périodicité, la courbe se déduit de celle sur $[-\pi\,;\pi]$ par translations de vecteur $2k\pi\,\vec\imath$.

Donc $|f(x)|\le\dfrac{\sqrt3}3$ pour tout réel $x$. »

Situation 12 : limites avec $\sin$ et $\cos$.

« Pour $x>0$, $-1\le\sin x\le1$ donne $-\dfrac1x\le\dfrac{\sin x}x\le\dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $0$. D'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}x=0$. »

En $0$ : « $\dfrac{\sin(3x)}x=3\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}$. Comme $3x\to0$, $\dfrac{\sin(3x)}{3x}\to1$. Par produit, la limite est $3$. »

⚠️ Ne jamais écrire « $\lim\sin x=\dots$ » en $\pm\infty$.

Situation 13 : inégalités par études successives.

« Soit $g_1(x)=x-\sin x$. $g_1'(x)=1-\cos x\ge0$, donc $g_1$ est croissante, et $g_1(0)=0$ : $\sin x\le x$ pour $x\ge0$.

Soit $g_2(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}2$. $g_2'(x)=x-\sin x=g_1(x)\ge0$, donc $g_2$ est croissante, et $g_2(0)=0$ : $\cos x\ge1-\dfrac{x^2}2$. »

Situation 14 : une suite $u_{n+1}=\cos(u_n)$.

« On admet que $(u_n)$ converge vers $\ell\in[0\,;1]$.

La fonction cosinus est continue.

En passant à la limite dans $u_{n+1}=\cos(u_n)$, on obtient $\ell=\cos\ell$.

Comme $\alpha$ est l'unique solution de $\cos x=x$ dans $[0\,;1]$, $\ell=\alpha$. »

a) Une équation.

❌ « $\cos x=\dfrac12$ donc $x=\dfrac\pi3$. »

✅ « $\cos x=\cos\dfrac\pi3\iff x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$. Dans $]-\pi\,;\pi]$, $S=\left\{-\dfrac\pi3\,;\dfrac\pi3\right\}$. »

Ce qui manque à la première : la deuxième famille, le « $+2k\pi$ », la sélection dans l'intervalle.

b) Le signe d'une dérivée.

❌ « $2\cos x+1>0$ donc $x<\dfrac{2\pi}3$. »

✅ « Sur $[0\,;\pi]$, le cosinus est strictement décroissant et $\cos\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12$. Donc $2\cos x+1>0\iff\cos x>-\dfrac12\iff x<\dfrac{2\pi}3$. »

c) Une limite.

❌ « $\dfrac{\sin x}x\to0$ car $\sin x$ est borné. »

✅ « Pour $x>0$, $-\dfrac1x\le\dfrac{\sin x}x\le\dfrac1x$, et les deux bornes tendent vers $0$. D'après le théorème des gendarmes, la limite est $0$. »

d) Une parité.

❌ « $f$ est impaire. »

✅ « $f$ est définie sur $\R$, symétrique par rapport à $0$, et $f(-x)=\dfrac{-\sin x}{2+\cos x}=-f(x)$. Donc $f$ est impaire. »

• Chaque égalité s'appuie sur une formule ou une valeur nommée.
• Ma solution générale contient deux familles et $+2k\pi$ avec $k\in\mathbb Z$.
• J'ai écrit la sélection des solutions de l'intervalle.
• Pour une équation du second degré, j'ai posé $X$ et écarté les valeurs hors de $[-1\,;1]$.
• J'ai justifié la parité et la période avant de réduire l'intervalle d'étude.
• Chaque signe de $\sin$ ou $\cos$ cite son intervalle et la monotonie utilisée.
• Mes limites utilisent les gendarmes ou $\dfrac{\sin X}X\to1$ avec $X\to0$.
• Ma calculatrice est en radians.

😄 En trigonométrie, oublier « $+2k\pi$ », c'est comme rendre un devoir sans nom : le contenu est peut-être bon, mais personne ne sait à qui l'attribuer.