Terminale Spé Maths / Chapitre 8 : Calcul intégral

Fiche 2 : les aires

Neuf exercices pour maîtriser tous les calculs d'aires du programme :

aire sous une courbe ;
aire entre deux courbes, avec recherche des points d'intersection ;
fonction de signe variable ;
domaine délimité par une courbe et des droites ;
aire et limite quand une borne tend vers l'infini ;
recherche d'un paramètre ;
symétrie ;
encadrement par des rectangles ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend au bac :

signe étudié et justifié ;
intersections calculées ;
« haut moins bas » écrit ;
primitive et crochet ;
conclusion en unités d'aire (puis en cm² si demandé).

💡 Le modèle de rédaction d'un calcul d'aire

« Les courbes se coupent en $x=0$ et $x=1$ ( $x^2=x\iff x(x-1)=0$ ). Sur $[0\,;1]$ , $x\ge x^2$ , donc la courbe de $f:x\mapsto x$ est au-dessus de celle de $g:x\mapsto x^2$ . L'aire du domaine est :

$A=\displaystyle\int_0^1\left(x-x^2\right)dx=\left[\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_0^1=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ u.a. »

Calcule les abscisses d'intersection quand on parle d'aire entre deux courbes.
Justifie la position relative (« haut » et « bas »).
Écris $A=\displaystyle\int(\text{haut}-\text{bas})$ , primitive, crochet, résultat en u.a.

⚠️ Les pièges classiques

Calculer $\displaystyle\int f$ pour une fonction qui change de signe et l'appeler « aire ».
Oublier de justifier quelle courbe est au-dessus de l'autre.
Oublier l'unité d'aire, ou la conversion demandée en cm².
Prendre les mauvaises bornes : celles de l'énoncé, ou les abscisses d'intersection.

😄 Une aire négative, ça n'existe pas : si tu en trouves une, c'est que tu as soustrait dans le mauvais sens (ou que tu dois retourner ton sujet).

Exercice 1 (★) : aire sous une courbe et conversion

Le plan est muni d'un repère orthogonal d'unités :

$2$ cm sur l'axe des abscisses ;

$3$ cm sur l'axe des ordonnées.

Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe de $f$ et les droites $x=a$ et $x=b$ :

1. $f(x)=x^2$ , $a=0$ , $b=3$

2. $f(x)=\dfrac1x$ , $a=1$ , $b=e$

3. $f(x)=\sin x$ , $a=0$ , $b=\pi$

4. $f(x)=e^x$ , $a=0$ , $b=\ln3$

Donner ensuite l'aire du 1. en cm².

✏️ Correction de l'exercice 1

Méthode

Ces quatre fonctions sont continues et positives sur l'intervalle des bornes. L'aire est $A=\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ .

Question 1

$A=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3=9-0$

✅ $A=9$ u.a.

Question 2

$A=\Big[\ln x\Big]_1^e=1-0$

✅ $A=1$ u.a.

Question 3

$A=\Big[-\cos x\Big]_0^\pi=1+1$

✅ $A=2$ u.a.

Question 4

$A=\Big[e^x\Big]_0^{\ln3}=3-1$

✅ $A=2$ u.a.

Conversion

Une unité d'aire est l'aire d'un rectangle de $2$ cm sur $3$ cm, soit $6$ cm². Pour l'aire du 1. : $9\times6$

✅ $54$ cm²

Exercice 2 (★★) : aire entre deux courbes

Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes de $f$ et $g$ :

1. $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$

2. $f(x)=\sqrt x$ et $g(x)=x^2$

3. $f(x)=e^x$ et $g(x)=x+1$ , pour $x\in[0\,;1]$

4. $f(x)=4-x^2$ et $g(x)=x+2$

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

Intersection : $x=x^2\iff x(x-1)=0$ , donc $x=0$ ou $x=1$ . Sur $[0\,;1]$ , $x\ge x^2$ : la courbe de $f$ est au-dessus.

A=\int_0^1\left(x-x^2\right)dx=\left[\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]_0^1=\frac12-\frac13

✅ $A=\dfrac16$ u.a.

Question 2

Intersection : $\sqrt x=x^2\iff x=x^4$ ( $x\ge0$ ) $\iff x\left(1-x^3\right)=0$ . Donc $x=0$ ou $x=1$ . Sur $[0\,;1]$ , $\sqrt x\ge x^2$ (par exemple en $\dfrac14$ : $\dfrac12\ge\dfrac1{16}$ ).

A=\int_0^1\left(\sqrt x-x^2\right)dx=\left[\frac23x\sqrt x-\frac{x^3}3\right]_0^1=\frac23-\frac13

✅ $A=\dfrac13$ u.a.

Question 3

Sur $[0\,;1]$ , $e^x\ge x+1$ . C'est l'inégalité de convexité : la courbe de $\exp$ est au-dessus de sa tangente en $0$ .

A=\int_0^1\left(e^x-x-1\right)dx=\left[e^x-\frac{x^2}2-x\right]_0^1=\left(e-\frac12-1\right)-1

✅ $A=e-\dfrac52\approx0{,}218$ u.a.

Question 4

Intersection : $4-x^2=x+2\iff x^2+x-2=0\iff(x+2)(x-1)=0$ . Donc $x=-2$ ou $x=1$ . Sur $[-2\,;1]$ : $(4-x^2)-(x+2)=-x^2-x+2=-(x+2)(x-1)\ge0$ . La parabole est au-dessus de la droite.

A=\int_{-2}^1\left(2-x-x^2\right)dx=\left[2x-\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]_{-2}^1=\left(2-\frac12-\frac13\right)-\left(-4-2+\frac83\right)=\frac76+\frac{10}3

✅ $A=\dfrac92$ u.a.

Exercice 3 (★★★) : une fonction de signe variable

Pour chaque fonction, calculer $\displaystyle\int_a^bf$ , puis l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ :

1. $f(x)=x^3-x$ sur $[-1\,;1]$

2. $f(x)=\sin x$ sur $[0\,;2\pi]$

3. $f(x)=x^2-1$ sur $[0\,;2]$

✏️ Correction de l'exercice 3

Méthode

Quand $f$ change de signe, l'aire est $\displaystyle\int_a^b|f|$ . On découpe aux points où $f$ s'annule. On change le signe des parties négatives.

Question 1

$\displaystyle\int_{-1}^1\left(x^3-x\right)dx=\left[\frac{x^4}4-\frac{x^2}2\right]_{-1}^1=\left(\frac14-\frac12\right)-\left(\frac14-\frac12\right)$

✅ $=0$ ( $f$ est impaire)

Étude du signe : $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ . Sur $[-1\,;0]$ , $f\ge0$ . Sur $[0\,;1]$ , $f\le0$ . Par symétrie :

A=2\int_0^1\left(x-x^3\right)dx=2\left[\frac{x^2}2-\frac{x^4}4\right]_0^1=2\times\left(\frac12-\frac14\right)

✅ $A=\dfrac12$ u.a.

Question 2

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_0^{2\pi}=-1+1$

✅ $=0$

Sur $[0\,;\pi]$ , $\sin x\ge0$ . Sur $[\pi\,;2\pi]$ , $\sin x\le0$ .

A=\int_0^\pi\sin x\,dx-\int_\pi^{2\pi}\sin x\,dx=2+2

✅ $A=4$ u.a.

Question 3

$\displaystyle\int_0^2\left(x^2-1\right)dx=\left[\frac{x^3}3-x\right]_0^2=\frac83-2$

✅ $=\dfrac23$

Étude du signe : $x^2-1\le0$ sur $[0\,;1]$ et $\ge0$ sur $[1\,;2]$ .

A=\int_0^1\left(1-x^2\right)dx+\int_1^2\left(x^2-1\right)dx=\left[x-\frac{x^3}3\right]_0^1+\left[\frac{x^3}3-x\right]_1^2=\frac23+\left(\frac23+\frac23\right)

✅ $A=2$ u.a.

Conclusion : l'intégrale n'est pas l'aire quand $f$ change de signe.

Exercice 4 (★★) : le logarithme et un domaine borné

1. Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $\ln$ , l'axe des abscisses et la droite $x=e$ .

2. Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $\ln$ , la droite $y=1$ et l'axe des ordonnées, pour $1\le x\le e$ .

✏️ Correction de l'exercice 4

Méthode

On utilise la primitive $x\ln x-x$ de $\ln$ . On l'établit par dérivation : $(x\ln x-x)'=\ln x+1-1=\ln x$ .

Question 1

Sur $[1\,;e]$ , $\ln x\ge0$ .

A=\int_1^e\ln x\,dx=\Big[x\ln x-x\Big]_1^e=(e-e)-(0-1)

✅ $A=1$ u.a.

Question 2

Sur $[1\,;e]$ , $\ln x\le1$ (car $\ln$ est croissante et $\ln e=1$ ). La droite $y=1$ est donc au-dessus.

A=\int_1^e(1-\ln x)\,dx=(e-1)-1

✅ $A=e-2\approx0{,}72$ u.a.

Contrôle : les deux aires $1$ et $e-2$ se complètent dans le rectangle $[1\,;e]\times[0\,;1]$ d'aire $e-1$ . $1+(e-2)=e-1$ ✓

Exercice 5 (★★★) : une aire qui dépend d'une borne

On note $A(a)$ l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses, la droite d'abscisse de départ et la droite $x=a$ . Déterminer $A(a)$ et sa limite quand $a\to+\infty$ :

1. $f(x)=e^{-x}$ sur $[0\,;a]$

2. $f(x)=\dfrac1{x^2}$ sur $[1\,;a]$

3. $f(x)=\dfrac1x$ sur $[1\,;a]$

4. $f(x)=\dfrac1{\sqrt x}$ sur $[1\,;a]$

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$A(a)=\Big[-e^{-x}\Big]_0^a=1-e^{-a}$ . Comme $e^{-a}\to0$ :

✅ $A(a)\to1$ (l'aire reste bornée)

Question 2

$A(a)=\left[-\dfrac1x\right]_1^a=1-\dfrac1a$ . Comme $\dfrac1a\to0$ :

✅ $A(a)\to1$

Question 3

$A(a)=\Big[\ln x\Big]_1^a=\ln a$ . Comme $\ln a\to+\infty$ :

✅ $A(a)\to+\infty$ (l'aire n'est pas bornée)

Question 4

$A(a)=\Big[2\sqrt x\Big]_1^a=2\sqrt a-2$ . Comme $\sqrt a\to+\infty$ :

✅ $A(a)\to+\infty$

À retenir : un domaine infiniment long peut avoir une aire finie (cas 1 et 2) ou infinie (cas 3 et 4).

Exercice 6 (★★★) : trouver un paramètre

1. Déterminer $a>0$ tel que l'aire du domaine sous la courbe de $x\mapsto x^2$ sur $[0\,;a]$ soit égale à $9$ u.a.

2. Déterminer $a>0$ tel que l'aire du domaine sous la courbe de $\exp$ sur $[0\,;a]$ soit égale à $5$ u.a.

3. Pour $a>0$ , la parabole $y=ax^2$ et la droite $y=x$ délimitent un domaine. Déterminer $a$ pour que son aire soit égale à $\dfrac1{24}$ u.a.

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

$\displaystyle\int_0^ax^2dx=\dfrac{a^3}3$ . $\dfrac{a^3}3=9\iff a^3=27$

✅ $a=3$

Question 2

$\displaystyle\int_0^ae^xdx=e^a-1$ . $e^a-1=5\iff e^a=6$

✅ $a=\ln6$

Question 3

Intersection : $ax^2=x\iff x(ax-1)=0$ . Donc $x=0$ ou $x=\dfrac1a$ . Sur $\left[0\,;\dfrac1a\right]$ , $x\ge ax^2$ (car $x(1-ax)\ge0$ ).

L'aire est :

A=\int_0^{1/a}\left(x-ax^2\right)dx=\left[\frac{x^2}2-\frac{ax^3}3\right]_0^{1/a}=\frac1{2a^2}-\frac1{3a^2}=\frac1{6a^2}

On veut $\dfrac1{6a^2}=\dfrac1{24}$ , soit $a^2=4$ . Comme $a>0$ :

✅ $a=2$

Exercice 7 (★★) : une aire par symétrie

Calculer l'aire du domaine compris entre la parabole d'équation $y=1-x^2$ et l'axe des abscisses.

✏️ Correction de l'exercice 7

La parabole coupe l'axe des abscisses en $x=-1$ et $x=1$ ( $1-x^2=0$ ). Et $1-x^2\ge0$ sur $[-1\,;1]$ .

Comme la fonction est paire :

A=\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)dx=2\int_0^1\left(1-x^2\right)dx=2\left[x-\frac{x^3}3\right]_0^1=2\times\frac23

✅ $A=\dfrac43$ u.a.

Exercice 8 (★★★) : encadrer une aire avec des rectangles

On considère $f(x)=x^2$ sur $[0\,;1]$ , que l'on partage en $n=4$ intervalles de même longueur.

Calculer :

la somme $S_g$ des aires des rectangles « inférieurs » ;

la somme $S_d$ des rectangles « supérieurs ».

Puis encadrer l'aire $A$ sous la courbe. Vérifier avec le calcul exact.

✏️ Correction de l'exercice 8

Les données

La fonction $f$ est croissante sur $[0\,;1]$ , et $h=\dfrac14$ . Les rectangles inférieurs ont pour hauteurs $f(0)$ , $f\left(\dfrac14\right)$ , $f\left(\dfrac12\right)$ , $f\left(\dfrac34\right)$ . Les supérieurs ont pour hauteurs $f\left(\dfrac14\right)$ , $f\left(\dfrac12\right)$ , $f\left(\dfrac34\right)$ , $f(1)$ .

Les sommes

$S_g=\dfrac14\left(0+\dfrac1{16}+\dfrac4{16}+\dfrac9{16}\right)=\dfrac14\times\dfrac{14}{16}=\dfrac{14}{64}$

✅ $S_g=0{,}21875$

$S_d=\dfrac14\left(\dfrac1{16}+\dfrac4{16}+\dfrac9{16}+\dfrac{16}{16}\right)=\dfrac14\times\dfrac{30}{16}=\dfrac{30}{64}$

✅ $S_d=0{,}46875$

Encadrement

Comme $f$ est croissante et positive :

✅ $S_g\le A\le S_d$ , soit $0{,}21875\le A\le0{,}46875$

L'amplitude est $S_d-S_g=h\big[f(1)-f(0)\big]=\dfrac14$ .

Vérification

$A=\displaystyle\int_0^1x^2dx=\dfrac13\approx0{,}333$ . Ce nombre appartient bien à l'encadrement. ✓

Exercice 9 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et si $\displaystyle\int_a^bf=0$ , alors l'aire du domaine entre la courbe et l'axe est nulle.

2. L'aire du domaine entre les courbes de $f$ et $g$ sur $[a\,;b]$ est toujours $\displaystyle\int_a^b(f-g)$ .

3. Le domaine sous la courbe de $x\mapsto\dfrac1{x^2}$ sur $[1\,;+\infty[$ a une aire finie.

4. Deux fonctions qui ont la même intégrale sur $[a\,;b]$ ont la même courbe.

✏️ Correction de l'exercice 9

Affirmation 1

Contre-exemple : $f(x)=x$ sur $[-1\,;1]$ . Son intégrale est $0$ , mais l'aire du domaine vaut $1$ .

❌ Faux.

Affirmation 2

Cette formule n'est valable que si $f\ge g$ sur $[a\,;b]$ . Sinon, il faut découper (ou calculer $\displaystyle\int|f-g|$ ).

❌ Faux.

Affirmation 3

D'après l'exercice 5, l'aire sur $[1\,;a]$ vaut $1-\dfrac1a\to1$ quand $a\to+\infty$ .

✅ Vrai.

Affirmation 4

Contre-exemple : $f(x)=x$ et $g(x)=\dfrac12$ . Elles ont toutes deux pour intégrale $\dfrac12$ sur $[0\,;1]$ , mais des courbes différentes.

❌ Faux.

🎯 Ce qui peut tomber au bac sur les aires

L'aire sous une courbe avec conversion en cm² (exercice 1).
L'aire entre deux courbes avec intersections et position relative (exercice 2).
Une fonction de signe variable à découper (exercice 3).
Une aire dépendant d'un paramètre, avec limite ou équation (exercices 5 et 6).
Un encadrement par des rectangles (exercice 8).

QCM : vérifie tes acquis

10 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 10

Si $f\ge0$ sur $[a\,;b]$ , l'intégrale $\displaystyle\int_a^bf$ est :

Question 2 sur 10

L'aire entre deux courbes avec $f\ge g$ sur $[a\,;b]$ vaut :

Question 3 sur 10

Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine sous la courbe de $x\mapsto x^2$ entre $0$ et $3$ ?

Question 4 sur 10

Si $f\le0$ sur $[a\,;b]$ , l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses vaut :

Question 5 sur 10

Quelle est la valeur moyenne de $x\mapsto x^2$ sur $[0\,;3]$ ?

Question 6 sur 10

Dans l'exercice 2, quelle est l'aire entre les courbes de $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ ?

Question 7 sur 10

Dans l'exercice 3, avec $f(x)=x^3-x$ sur $[-1\,;1]$ , que vaut $\displaystyle\int_{-1}^1f(x)\,dx$ ?

Question 8 sur 10

Dans l'exercice 5, avec $f(x)=e^{-x}$ sur $[0\,;a]$ , quelle est la limite de l'aire $A(a)$ quand $a\to+\infty$ ?

Question 9 sur 10

Dans l'exercice 6, pour quelle valeur de $a>0$ l'aire sous la courbe de $x\mapsto x^2$ sur $[0\,;a]$ vaut-elle $9$ u.a. ?

Question 10 sur 10

Dans l'exercice 8, avec $f(x)=x^2$ sur $[0\,;1]$ partagé en $4$ rectangles, quel encadrement obtient-on pour l'aire $A$ ?

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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