Terminale Spé Maths / Chapitre 3 : Continuité et TVI

Continuité et TVI : le cours

Une fonction continue, c'est une fonction dont la courbe se trace sans lever le crayon.

Cette image simple cache un théorème puissant : le théorème des valeurs intermédiaires.

Il garantit qu'une équation a une solution sans avoir besoin de la calculer.

C'est l'outil de base de tous les exercices « montrer que l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution ».

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Continuité en un point

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Cela revient à dire que :

La limite à gauche, la limite à droite et la valeur en $a$ coïncident.

2. Continuité sur un intervalle et fonctions usuelles

Une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Sont continues sur leur ensemble de définition :

• les polynômes ;
• les fractions rationnelles ;
• la racine carrée (sur $[0\,;+\infty[$) ;
• la valeur absolue ;
• l'exponentielle ;
• le cosinus et le sinus.

Opérations : la somme, le produit et la composée de fonctions continues sont continues. Le quotient de deux fonctions continues est continu là où le dénominateur ne s'annule pas.

Dérivabilité : toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$. La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en $0$ mais n'est pas dérivable en $0$.

3. Fonctions définies par morceaux et prolongement par continuité

Fonction par morceaux. Pour étudier la continuité en un point de raccordement $a$, on calcule les trois nombres :

• $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f$ ;
• $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f$ ;
• $f(a)$.

La fonction est continue en $a$ si et seulement s'ils sont égaux. Un paramètre s'obtient en écrivant cette égalité.

Prolongement par continuité. Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais que $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ (un réel), on peut prolonger $f$ par continuité en posant $f(a)=\ell$.

Par exemple, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ n'est pas définie en $3$. Mais pour $x\neq3$, $f(x)=x+3$, donc $\displaystyle\lim_{x\to3}f=6$. On prolonge en posant $f(3)=6$.

4. Continuité, limites et suites

Si $f$ est continue en $a$ et si $u_n\to a$, alors $f(u_n)\to f(a)$. En particulier, pour une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ :

• si $u_n\to\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $u_{n+1}\to f(\ell)$ ;
• comme $(u_{n+1})$ tend aussi vers $\ell$, on obtient $\ell=f(\ell)$.

C'est exactement la justification de la méthode « la limite $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$ » du chapitre Suites.

5. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Version avec des limites. Le théorème s'étend aux intervalles ouverts, y compris infinis : on remplace $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ aux bornes.

6. Le corollaire du TVI : existence et unicité

7. La méthode « existence et unicité d'une solution »

Plusieurs solutions. Si $f$ n'est pas monotone sur tout l'intervalle, on découpe l'intervalle en morceaux où $f$ est strictement monotone.

On applique le corollaire sur chacun.

Le nombre de solutions est la somme des nombres de solutions trouvées.

8. Encadrer une solution : balayage, dichotomie et Python

Balayage. On calcule $f$ en des points régulièrement espacés (pas $0{,}1$, puis $0{,}01$) jusqu'à trouver un changement de signe. Comme $f$ est strictement monotone, la solution est dans l'intervalle où le signe change.

Dichotomie. On coupe l'intervalle en deux, on garde la moitié où le signe change, et on recommence. La largeur de l'intervalle est divisée par $2$ à chaque étape : après $n$ étapes, elle vaut $\dfrac{b-a}{2^n}$.

def dichotomie(f, a, b, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b)/2
        if f(m)*f(a) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

9. Les 10 pépites du chapitre

Complément du programme : la méthode de Newton

La dichotomie divise l'intervalle par deux à chaque étape. La méthode de Newton va beaucoup plus vite : on remplace la courbe par sa tangente.

Exemple. $f(x)=x^3+x-1$ s'annule une seule fois sur $[0\,;\,1]$ (elle est continue et strictement croissante, avec $f(0)=-1<0<1=f(1)$). On a $f'(x)=3x^2+1$ et on part de $x_0=1$.

x = 1
for k in range(4):
    x = x - (x**3 + x - 1) / (3 * x**2 + 1)
    print(k + 1, x)

On lit $0{,}75$ ; $0{,}686047$ ; $0{,}682340$ ; $0{,}682328$ : quatre étapes suffisent pour $5$ décimales correctes, alors que la dichotomie en demande environ dix-sept.

Variante : la méthode de la sécante. On remplace la tangente par la droite qui passe par $(a\,;\,f(a))$ et $(b\,;\,f(b))$ : elle coupe l'axe des abscisses en $x=a-f(a)\,\dfrac{b-a}{f(b)-f(a)}$. Elle évite le calcul de $f'$.

10. Ce qui peut tomber au bac

• Une équation $f(x)=k$ dont il faut montrer qu'elle a une unique solution, puis qu'on encadre à $10^{-2}$ (fiches 2 et 3).
• Des fonctions définies par morceaux avec un paramètre (fiche 1).
• Un lien suites et continuité : limite d'une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, ou suite définie comme solution d'une équation.
• Un algorithme de dichotomie à compléter ou à interpréter (fiche 3).

Tu as maintenant le cours. Passe aux trois fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.