Sommes de variables aléatoires et concentration : exercices type bac

La somme des probabilités vaut $0{,}7+0{,}2+0{,}1=1$ ✓.

$E(X)=-2\times0{,}7+4\times0{,}2+10\times0{,}1=-1{,}4+0{,}8+1$

✅ $E(X)=0{,}4$

$E\left(X^2\right)=4\times0{,}7+16\times0{,}2+100\times0{,}1=2{,}8+3{,}2+10=16$

$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=16-0{,}16$

✅ $V(X)=15{,}84$

✅ $\sigma(X)=\sqrt{15{,}84}\approx3{,}98$

Interprétation : le joueur gagne en moyenne $0{,}40$ € par partie : le jeu lui est légèrement favorable.

$S=X_1+X_2+\dots+X_{1000}$ où les $X_i$ sont les gains des parties. Les parties sont indépendantes et les $X_i$ suivent la loi de $X$.

Par linéarité de l'espérance : $E(S)=1\,000\times E(X)$

✅ $E(S)=400$

Par indépendance : $V(S)=1\,000\times V(X)$

✅ $V(S)=15\,840$

✅ $\sigma(S)=\sqrt{15\,840}\approx125{,}9$

On veut minorer $P(0<S<800)$. Or $0<S<800\iff|S-400|<400$.

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\mu=400$, $V=15\,840$ et $\delta=400$ :

$P\big(|S-400|\ge400\big)\le\dfrac{15\,840}{400^2}=\dfrac{15\,840}{160\,000}$

✅ $P\big(|S-400|\ge400\big)\le0{,}099$

Par événement contraire :

✅ $P(0<S<800)\ge1-0{,}099=0{,}901$

Conclusion : avec une probabilité d'au moins $90{,}1\,\%$, le joueur termine avec un gain total strictement positif.

valeurs = [-2, 4, 10]
probas = [0.7, 0.2, 0.1]

E = sum(x * p for x, p in zip(valeurs, probas))
V = sum(p * (x - E)**2 for x, p in zip(valeurs, probas))
print(E, V)

Le script affiche environ 0.4 15.84 (aux arrondis près).

• Q1 : $E(X)$, $E(X^2)$, König-Huygens, écart-type, interprétation en contexte.

• Q2 : indépendance des parties justifiée, linéarité pour $E(S)$, additivité de la variance pour $V(S)$.

• Q3 : traduction de « strictement compris entre $0$ et $800$ » en $|S-400|<400$ ; inégalité citée avec $\mu$, $V$, $\delta$ ; événement contraire.

• Q4 : script correct pour $E$ et $V$.

On répète $500$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « la puce est défectueuse », de probabilité $0{,}04$.

✅ $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(500\,;0{,}04)$.

$E(X)=500\times0{,}04$

✅ $E(X)=20$

$V(X)=500\times0{,}04\times0{,}96$

✅ $V(X)=19{,}2$

✅ $\sigma(X)=\sqrt{19{,}2}\approx4{,}38$

Avec $\mu=20$, $V=19{,}2$ et $\delta=10$, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

$P\big(|X-20|\ge10\big)\le\dfrac{19{,}2}{100}=0{,}192$

Par événement contraire, $P\big(|X-20|<10\big)\ge1-0{,}192=0{,}808$. Or $|X-20|<10\iff10<X<30$.

✅ $P(10<X<30)\ge0{,}808$

$F=\dfrac{X}{500}$ est une transformation linéaire de $X$.

$E(F)=\dfrac{E(X)}{500}$

✅ $E(F)=0{,}04$

$V(F)=\dfrac{V(X)}{500^2}=\dfrac{19{,}2}{250\,000}$

✅ $V(F)=0{,}0000768$

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=0{,}02$ :

$P\big(|F-0{,}04|\ge0{,}02\big)\le\dfrac{0{,}0000768}{0{,}0004}$

✅ $P\big(|F-0{,}04|\ge0{,}02\big)\le0{,}192$

(On retrouve la même borne qu'à la question 2 : les deux événements sont identiques.)

Pour $n$ puces, $F_n=\dfrac{X_n}n$ avec $X_n\sim\mathcal B(n\,;0{,}04)$ : $E(F_n)=0{,}04$ et $V(F_n)=\dfrac{0{,}04\times0{,}96}n=\dfrac{0{,}0384}n$.

D'après l'inégalité avec $\delta=0{,}01$ :

$P\big(|F_n-0{,}04|\ge0{,}01\big)\le\dfrac{0{,}0384}{n\times0{,}0001}$

On veut ce majorant inférieur ou égal à $0{,}05$ :

$\dfrac{0{,}0384}{0{,}0001\,n}\le0{,}05\iff n\ge\dfrac{0{,}0384}{0{,}0001\times0{,}05}=7\,680$

✅ Un lot de $n=7\,680$ puces suffit.

Alors $P\big(|F_n-0{,}04|<0{,}01\big)\ge0{,}95$.

La valeur exacte $P\big(|X-20|\ge10\big)\approx0{,}0293$ est très inférieure à la majoration $0{,}192$.

✅ L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est vraie mais large : elle est environ $6$ fois trop grande ici. Son intérêt est de s'appliquer sans connaître la loi complète, et de dimensionner un échantillon avec certitude.

• Q1 : loi binomiale justifiée (identique, indépendant, succès), $E$, $V$, $\sigma$.

• Q2 : traduction $|X-20|<10\iff10<X<30$, inégalité citée avec $\mu$, $V$, $\delta$, événement contraire.

• Q3 : $E(F)$ et $V(F)$ par transformation linéaire ($V(F)=\dfrac{V(X)}{500^2}$).

• Q4 : $V(F_n)=\dfrac{p(1-p)}n$, inéquation en $n$, résultat arrondi à l'entier supérieur (ici exact).

• Q5 : comparaison quantitative de la valeur exacte et de la majoration.

On répète $20$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « le composant fonctionne », de probabilité $0{,}95$.

✅ $N$ suit la loi binomiale $\mathcal B(20\,;0{,}95)$.

$E(N)=20\times0{,}95$

✅ $E(N)=19$

$V(N)=20\times0{,}95\times0{,}05$

✅ $V(N)=0{,}95$

✅ $\sigma(N)=\sqrt{0{,}95}\approx0{,}975$

$P(N=20)=\dbinom{20}{20}\times0{,}95^{20}\times0{,}05^0=0{,}95^{20}$

✅ $P(N=20)\approx0{,}358$

Le satellite est opérationnel si $N\ge18$. On passe à l'événement contraire $N\le17$ (avec la calculatrice) :

$P(N\le17)\approx0{,}0755$

✅ $P(N\ge18)=1-P(N\le17)\approx0{,}9245$

Conclusion : le satellite est opérationnel avec une probabilité d'environ $92{,}5\,\%$.

Comme $N\le20$, l'événement $18\le N\le20$ équivaut à $N\ge18$, c'est-à-dire à $|N-19|<2$ (car $N\in\{0,\dots,20\}$, donc $N-19\le1<2$ et $N>17$).

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\mu=19$, $V=0{,}95$ et $\delta=2$ :

$P\big(|N-19|\ge2\big)\le\dfrac{0{,}95}4=0{,}2375$

Par événement contraire :

✅ $P(18\le N\le20)\ge1-0{,}2375=0{,}7625$

La valeur exacte $\approx0{,}9245$ est supérieure au minorant $0{,}7625$ : les deux résultats sont cohérents.

✅ L'inégalité est vraie mais prudente : elle garantit au moins $76{,}25\,\%$ alors que la probabilité réelle est $92{,}45\,\%$.

• Q1 : loi binomiale justifiée, $E$, $V$, $\sigma$.

• Q2-Q3 : formule de $P(X=k)$, événement contraire pour $P(N\ge18)$, conclusion en contexte.

• Q4 : traduction de $18\le N\le20$ en $|N-19|<2$ avec la justification du domaine de $N$, inégalité citée, événement contraire.

• Q5 : comparaison qui reste prudente (majoration, pas valeur exacte).