Fiche 1 : principes de dénombrement, k-uplets, permutations

Question 1

On choisit successivement l'entrée, le plat, le dessert.

Il y a $3$, puis $4$, puis $2$ possibilités, quels que soient les choix précédents.

D'après le principe multiplicatif : $3\times4\times2$.

✅ Il y a $24$ menus.

Question 2

On choisit un tee-shirt ($5$), un pantalon ($4$), des chaussures ($3$). $5\times4\times3$.

✅ Il y a $60$ tenues.

Question 3

Une plaque est une suite de $4$ lettres et de $3$ chiffres, avec répétitions possibles. Chaque lettre a $26$ choix, chaque chiffre a $10$ choix. $26^4\times10^3=456\,976\times1\,000$.

✅ Il y a $456\,976\,000$ plaques.

Question 1

Un code est un $4$-uplet de chiffres, avec répétitions possibles. $10^4$.

✅ Il y a $10\,000$ codes.

Question 2

On passe au complémentaire.

Les codes sans aucun $7$ sont des $4$-uplets de $\{0{,}1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}8{,}9\}$, soit $9$ chiffres. $9^4=6\,561$.

Donc les codes contenant au moins un $7$ sont au nombre de $10\,000-6\,561$.

✅ Il y a $3\,439$ codes avec au moins un $7$.

Question 3

Un mot est un $5$-uplet de lettres. $26^5$.

✅ Il y a $11\,881\,376$ mots.

Question 4

Une application est déterminée par l'image de chacun des $4$ éléments de départ. Chaque image a $3$ choix. $3^4$.

✅ Il y a $81$ applications.

Méthode

L'ordre compte (les rangs ou les postes sont différents). Il n'y a pas de répétition. Ce sont donc des $k$-uplets d'éléments distincts.

Question 1

$8$ choix pour le 1er, puis $7$ pour le 2e, puis $6$ pour le 3e. $8\times7\times6$.

✅ Il y a $336$ podiums.

Question 2

$12\times11\times10$

✅ Il y a $1\,320$ bureaux.

Question 3

$26\times25\times24\times23$

✅ Il y a $358\,800$ mots.

Question 1

Une file est une permutation des $6$ personnes. $6!$.

✅ Il y a $720$ files.

Question 2

Il y a deux schémas d'alternance : FGFGFG ou GFGFGF. Dans chaque schéma :

• $3!$ façons de placer les $3$ filles ;
• $3!$ façons de placer les $3$ garçons.

$2\times3!\times3!=2\times36$

✅ Il y a $72$ files.

Question 3

On regroupe $A$ et $B$ en un bloc.

On permute alors $5$ objets (le bloc et les $4$ autres personnes) : $5!=120$ façons.

Dans le bloc, $A$ et $B$ peuvent être dans $2$ ordres. $5!\times2$.

✅ Il y a $240$ files.

Question 4

Par complémentaire : $720-240$.

✅ Il y a $480$ files.

Question 1

Le premier chiffre ne peut pas être $0$ : $9$ choix.

Le deuxième est différent du premier, mais peut être $0$ : $9$ choix.

Le troisième est différent des deux premiers : $8$ choix. $9\times9\times8$.

✅ Il y a $648$ nombres.

Question 2

On commence par la contrainte.

Le dernier chiffre est pair : $2$, $4$ ou $6$, soit $3$ choix.

Le premier chiffre : $5$ choix (les six chiffres sauf celui déjà utilisé).

Le deuxième : $4$ choix. $3\times5\times4$.

✅ Il y a $60$ nombres pairs.

Question 3

Un multiple de $5$ se termine par $0$ ou $5$ : $2$ choix. Le premier chiffre est non nul : $9$ choix. Le deuxième chiffre : $10$ choix. $9\times10\times2$.

✅ Il y a $180$ multiples de $5$.

Question 1

$|A\cup E|=|A|+|E|-|A\cap E|=18+15-5$

✅ $28$ élèves font au moins une langue.

Question 2

L'événement contraire de « au moins une langue » est « aucune ». $30-28$.

✅ $2$ élèves ne font aucune langue.

Question 3

Ce sont les élèves de $A$ qui ne sont pas dans $E$. $|A|-|A\cap E|=18-5$.

✅ $13$ élèves font uniquement de l'anglais.

Question 1

Il y a $26^6$ mots au total. Ceux qui ne contiennent aucun A sont des $6$-uplets de $25$ lettres : $25^6$. Par complémentaire : $26^6-25^6=308\,915\,776-244\,140\,625$.

✅ Il y a $64\,775\,151$ mots avec au moins un A.

Question 2

Les chiffres sont distincts : $10\times9\times8\times7$.

✅ Il y a $5\,040$ codes.

Question 3

« Au moins deux chiffres identiques » est le contraire de « tous distincts ». $10\,000-5\,040$.

✅ Il y a $4\,960$ codes.

Question 1

Chacun des $4$ éléments de $E$ a $3$ images possibles. $3^4$.

✅ Il y a $81$ applications.

Question 2

Une injection associe à $1$, $2$, $3$ des images deux à deux distinctes. $5\times4\times3$.

✅ Il y a $60$ injections.

Question 3

Une bijection de $E$ dans $E$ est une permutation de $E$. $4!$.

✅ Il y a $24$ bijections.

Question 4

Pour chaque élément de $E$, on choisit « dans la partie » ou « pas dans la partie ». $2^4$.

✅ $E$ a $16$ parties.

Question 5

Une injection de $E$ ($4$ éléments) dans $F$ ($3$ éléments) enverrait $4$ éléments distincts sur $3$ éléments seulement. C'est impossible. On retrouve $3\times2\times1\times0=0$.

❌ Non, il n'existe pas d'application injective de $E$ dans $F$.

Question 1

$\dfrac{n!}{(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}$

✅ $\dfrac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)$ (pour $n\ge2$)

$\dfrac{(n+2)!}{n!}=\dfrac{(n+2)(n+1)\,n!}{n!}$

✅ $\dfrac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)$

Question 2

$(n+1)!-n!=(n+1)\,n!-n!=n!\big((n+1)-1\big)$

✅ $(n+1)!-n!=n\times n!$

Question 3

$n(n-1)=42$ équivaut à $n^2-n-42=0$, soit $(n-7)(n+6)=0$. Comme $n$ est un entier naturel :

✅ $n=7$

Pour $n(n-1)(n-2)=60$ : la fonction $n\mapsto n(n-1)(n-2)$ est strictement croissante sur les entiers $n\ge2$. Et $5\times4\times3=60$.

✅ $n=5$ (unique solution)

Affirmation 1

$n!=n\times(n-1)\times\dots\times1=n\times(n-1)!$

✅ Vrai.

Affirmation 2

Par convention, $0!=1$. C'est ce qui rend valides les formules avec $n!$ et $0!$, comme $\dbinom n0=\dfrac{n!}{0!\,n!}=1$.

❌ Faux.

Affirmation 3

$26^3$ compte tous les mots de $3$ lettres, avec répétitions. Avec des lettres distinctes : $26\times25\times24=15\,600$.

❌ Faux.

Affirmation 4

Les $k$-uplets d'éléments distincts sont des $k$-uplets particuliers. Plus précisément, $n(n-1)\dots(n-k+1)\le n^k$, car chaque facteur est $\le n$.

✅ Vrai.

Affirmation 5

Cette égalité n'est vraie que si $A$ et $B$ sont disjoints. En général : $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

❌ Faux.

Affirmation 6

Chacun des $10$ éléments est dans la partie ou n'y est pas. $2^{10}=1\,024$.

✅ Vrai.