Fiche 3 : intersections, projetés orthogonaux et distances

Le vecteur normal à $P$ est $\vec n(2\,;-1\,;1)$.

La droite $d_1$

Le vecteur directeur $\vec u_1(1\,;2\,;-1)$ vérifie $\vec u_1\cdot\vec n=2-2-1=-1\neq0$ : $d_1$ n'est pas parallèle à $P$.

On remplace dans l'équation de $P$ :

$2(1+t)-2t+(2-t)-3=0$

$2+2t-2t+2-t-3=0$

$1-t=0$

Donc $t=1$. On reporte : $x=2$, $y=2$, $z=1$.

✅ $d_1$ coupe $P$ au point $(2\,;2\,;1)$.

Vérification : $2\times2-2+1-3=0$ ✓

La droite $d_2$

Le vecteur directeur $\vec u_2(1\,;2\,;0)$ vérifie $\vec u_2\cdot\vec n=2-2+0=0$ : $d_2$ est parallèle à $P$. Dans l'équation : $2t-2t+0-3=0$, soit $-3=0$ : impossible.

✅ $d_2$ est strictement parallèle à $P$.

La droite $d_3$

Le vecteur directeur est le même, $\vec u_3=\vec u_2$ : $d_3$ est parallèle à $P$. Dans l'équation : $2t-2t+3-3=0$, soit $0=0$ : vrai pour tout $t$.

✅ $d_3$ est incluse dans $P$.

Question 1

Les vecteurs normaux $\vec n_1(1\,;1\,;1)$ et $\vec n_2(1\,;-1\,;2)$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).

✅ Les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants suivant une droite.

Question 2

Un point $M(x\,;y\,;z)$ est dans les deux plans si et seulement si :

$x+y+z=3$

$x-y+2z=2$

En additionnant : $2x+3z=5$, donc $x=\dfrac52-\dfrac32z$.

En reportant dans la première : $y=3-x-z=3-\dfrac52+\dfrac32z-z=\dfrac12+\dfrac12z$.

On prend $z=2s$ comme paramètre :

✅ $\Delta:\ x=\dfrac52-3s,\quad y=\dfrac12+s,\quad z=2s\qquad(s\in\R)$

Vérification dans $P_2$ : $\left(\dfrac52-3s\right)-\left(\dfrac12+s\right)+2\times2s-2=2-4s+4s-2=0$ ✓

Question 3

Le vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec u(-3\,;1\,;2)$.

$\vec u\cdot\vec n_1=-3+1+2=0$ ✓

$\vec u\cdot\vec n_2=-3-1+4=0$ ✓

✅ $\vec u$ est orthogonal à $\vec n_1$ et à $\vec n_2$, comme il se doit pour une droite contenue dans les deux plans.

Question 1

$\vec n(2\,;-2\,;1)$ est normal à $P$. On pose $H=A+k\vec n=(2+2k\,;\,3-2k\,;\,4+k)$. Comme $H\in P$ :

$2(2+2k)-2(3-2k)+(4+k)-3=0$

$4+4k-6+4k+4+k-3=0$

$9k-1=0$

Donc $k=\dfrac19$.

✅ $H\left(\dfrac{20}9\,;\dfrac{25}9\,;\dfrac{37}9\right)$

La distance est $AH=|k|\,\|\vec n\|=\dfrac19\times\sqrt{4+4+1}=\dfrac19\times3$.

✅ $d(A,P)=\dfrac13$

Contrôle avec la formule : $\dfrac{|2\times2-2\times3+4-3|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{|-1|}3=\dfrac13$ ✓

Question 2

$\vec n(2\,;1\,;-1)$ est normal à $Q$. On pose $K=M+k\vec n=(1+2k\,;\,1+k\,;\,1-k)$. Comme $K\in Q$ :

$2(1+2k)+(1+k)-(1-k)+3=0$

$2+4k+1+k-1+k+3=0$

$6k+5=0$

Donc $k=-\dfrac56$.

✅ $K\left(-\dfrac23\,;\dfrac16\,;\dfrac{11}6\right)$

La distance est $MK=|k|\,\|\vec n\|=\dfrac56\times\sqrt6$.

✅ $d(M,Q)=\dfrac{5\sqrt6}6\approx2{,}04$

Contrôle avec la formule : $\dfrac{|2+1-1+3|}{\sqrt6}=\dfrac5{\sqrt6}=\dfrac{5\sqrt6}6$ ✓

Méthode

$d(M_0,P)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Question 1

$d(O,(ABC))=\dfrac{|-13|}{\sqrt{25+9+16}}=\dfrac{13}{\sqrt{50}}=\dfrac{13}{5\sqrt2}$

✅ $d(O,(ABC))=\dfrac{13\sqrt2}{10}\approx1{,}84$

Question 2

$d(B,R)=\dfrac{|1-4+6-1|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac23$

✅ $d(B,R)=\dfrac23$

Question 3

$d(C,S)=\dfrac{|10|}{\sqrt{9+0+16}}=\dfrac{10}5$

✅ $d(C,S)=2$

Question 1

Un point de $d$ s'écrit $H(1\,;t\,;t)$. On veut $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$. $\overrightarrow{MH}(-1\,;t-3\,;t-1)$.

$\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0\times(-1)+(t-3)+(t-1)=2t-4$

$2t-4=0$ donne $t=2$.

✅ $H(1\,;2\,;2)$

Question 2

$\overrightarrow{MH}(-1\,;-1\,;1)$.

$MH=\sqrt{1+1+1}$

✅ $d(M,d)=\sqrt3$

Les vecteurs normaux sont identiques : $\vec n(2\,;-2\,;1)$.

✅ $P$ et $P'$ sont parallèles.

Ils ne sont pas confondus : $(0\,;0\,;3)\in P$ ($3-3=0$) mais $\notin P'$ ($3+6\neq0$).

La distance entre $P$ et $P'$ est la distance d'un point quelconque de $P$ au plan $P'$. Avec $(0\,;0\,;3)\in P$ :

$d=\dfrac{|0-0+3+6|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac93$

✅ La distance entre les plans est $3$.

Question 1

D'après Chasles : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HN}$. Donc :

$MN^2=\|\overrightarrow{MN}\|^2=MH^2+2\,\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN}+HN^2$

Le vecteur $\overrightarrow{MH}$ est normal à $P$, et $\overrightarrow{HN}$ est un vecteur de $P$ (car $H$ et $N$ sont dans $P$). Donc $\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN}=0$.

✅ $MN^2=MH^2+HN^2$

Question 2

Comme $HN^2\ge0$, on a $MN^2\ge MH^2$, donc $MN\ge MH$. L'égalité a lieu si et seulement si $HN=0$, c'est-à-dire $N=H$.

✅ $MH$ est la plus courte distance de $M$ à un point de $P$. C'est la distance de $M$ au plan $P$.

Affirmation 1

Si $\vec u\cdot\vec n=0$, alors $\vec u$ est orthogonal à $\vec n$, donc parallèle à une base du plan : la droite est parallèle au plan ou incluse. Réciproquement, si $\vec u$ est combinaison linéaire d'une base du plan, il est orthogonal à $\vec n$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Deux plans sécants ont une droite en commun (exercice 2).

❌ Faux.

Affirmation 3

$d(M,P)=MH=0\iff M=H\iff M\in P$. Avec la formule : $ax_0+by_0+cz_0+d=0$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Si $M\in P$, alors $H=M$ vérifie $H\in P$ et $\overrightarrow{MH}=\vec0$ orthogonal à $P$.

✅ Vrai.

Affirmation 5

Sans valeur absolue, le numérateur peut être négatif. Exemple : le point $A(2\,;3\,;4)$ et le plan $2x-2y+z-3=0$ donnent $\dfrac{-1}3<0$.

❌ Faux. Il faut la valeur absolue.

Question 1

$\Omega A^2=(3-1)^2+(4-2)^2+(4-3)^2=4+4+1=9=3^2$, donc $A\in\mathcal{S}$.

$\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan tangent : $2(x-3)+2(y-4)+(z-4)=0$.

✅ Le plan tangent en $A$ a pour équation $2x+2y+z-18=0$.

Question 2

On remplace dans l'équation de $\mathcal{S}$ : $t^2+t^2+(1-3)^2=9\iff2t^2=5\iff t=\pm\sqrt{\dfrac52}$.

✅ $d_1$ coupe $\mathcal{S}$ en deux points, de paramètres $t=\pm\sqrt{\tfrac52}$.

Question 3

$t^2+t^2+(0-3)^2=9\iff2t^2=0\iff t=0$.

✅ Une seule solution : $d_2$ est tangente à $\mathcal{S}$ au point $(1\,;\,2\,;\,0)$.

Question 1

Un vecteur normal est $\vec n(1\,;\,2\,;\,2)$, donc $H(1+t\,;\,2+2t\,;\,3+2t)$.

$H\in\mathcal P\iff1+t+2(2+2t)+2(3+2t)-3=0\iff8+9t=0\iff t=-\dfrac89$.

$H\left(\dfrac19\,;\,\dfrac29\,;\,\dfrac{11}9\right)$ et $AH=\dfrac89\|\vec n\|=\dfrac89\times3=\dfrac83$.

✅ $AH=\dfrac83\approx2{,}67$.

Question 2

$3+0+0-3=0$ donc $B\in\mathcal P$. $AB^2=(3-1)^2+(0-2)^2+(0-3)^2=4+4+9=17$, donc $AB\approx4{,}12$.

✅ $AB\approx4{,}12>AH\approx2{,}67$ : le projeté orthogonal est bien le point de $\mathcal P$ le plus proche de $A$.