Bac 2026, Asie : exercice 4

Question 1. Affirmation 1 : fausse.

La fonction $f$ est une fonction polynôme (puissance d'une fonction affine), donc deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

On dérive comme une composée $u^{5}$, avec $u(x)=-\dfrac{1}{2}x+3$ et $u'(x)=-\dfrac{1}{2}$ : $(u^{5})'=5u'u^{4}$.

Pour tout réel $x$ :

On dérive de nouveau, avec $(u^{4})'=4u'u^{3}$ :

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive ou nulle sur cet intervalle.

Or pour $x=8$ :

Donc $f''$ n'est pas positive sur $\mathbb{R}$ : la fonction $f$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$.

Plus précisément, $f''(x)\geqslant 0\Longleftrightarrow 3-\dfrac{x}{2}\geqslant 0\Longleftrightarrow x\leqslant 6$ : $f$ est convexe sur $]-\infty ; 6]$ et concave sur $[6 ; +\infty[$.

L'affirmation 1 est fausse.

Question 2. Affirmation 2 : vraie.

Un tirage est une partie à $5$ éléments de l'ensemble des $32$ jetons (tirage simultané, ordre sans importance).

Le nombre total de tirages est donc :

Parmi les numéros de $1$ à $32$, les multiples de $8$ sont $8$, $16$, $24$ et $32$ : il y en a $4$, donc $32-4=28$ jetons ne portent pas un multiple de $8$.

Le nombre de tirages ne contenant aucun multiple de $8$ est le nombre de parties à $5$ éléments de ces $28$ jetons :

Les tirages contenant au moins un multiple de $8$ sont les tirages qui ne sont pas dans le cas précédent, donc :

L'affirmation 2 est vraie.

Question 3. Affirmation 3 : fausse.

On lit sur l'arbre : $P(A)=\dfrac{2}{5}$, $P_A(B)=\dfrac{1}{4}$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})=\dfrac{7}{10}$.

On en déduit :

Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers : d'après la formule des probabilités totales,

Donc :

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(B)\neq 0$) :

Comme $\dfrac{9}{14}\neq\dfrac{9}{50}$, l'affirmation 3 est fausse. La valeur $\dfrac{9}{50}$ est la probabilité de l'intersection $P(\overline{A}\cap B)$, et non la probabilité conditionnelle $P_B(\overline{A})$.

Question 4. Affirmation 4 : vraie.

La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On applique la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=\mathrm{e}^{-x}$, $u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$, $v(x)=\sin(x)$, $v'(x)=\cos(x)$ :

Donc, pour tout réel $x$ :

La fonction $h$ vérifie l'équation $(E)$ sur $\mathbb{R}$ : l'affirmation 4 est vraie.

Question 4 (suite). Affirmation 5 : fausse.

Il suffit d'un contre-exemple. Pour $C=0$, la fonction $k$ est la fonction nulle.

On a alors $k'(x)+k(x)=0$ pour tout réel $x$, alors que $\mathrm{e}^{-x}\cos(x)$ n'est pas la fonction nulle (par exemple, en $x=0$ : $\mathrm{e}^{0}\cos(0)=1\neq 0$).

La fonction nulle n'est donc pas solution de $(E)$, alors qu'elle est de la forme proposée : l'affirmation 5 est fausse.

Remarque : l'ensemble des solutions de $(E)$ est obtenu en ajoutant à la solution particulière $h$ les solutions $x\mapsto C\,\mathrm{e}^{-x}$ de l'équation homogène $y'+y=0$ : ce sont les fonctions $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}\sin(x)+C\,\mathrm{e}^{-x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Points clés attendus

• Pour la convexité : calculer $f''$ et justifier qu'elle prend une valeur strictement négative, ou étudier son signe.

• Pour le dénombrement : combinaisons, passage par l'évènement contraire (aucun multiple de $8$).

• Pour l'arbre : compléter les branches manquantes, citer la formule des probabilités totales et la définition de $P_B(\overline{A})$.

• Pour vérifier qu'une fonction est solution : dériver, puis calculer $h'+h$.

• Pour réfuter une affirmation : produire un contre-exemple précis.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.