Guide de rédaction : limites de fonctions

🎯 Le principe du chapitre

Avec les limites de fonctions, un correcteur regarde surtout quatre choses :

• la règle nommée à chaque limite (somme, produit, quotient, composition, comparaison, gendarmes, croissances comparées) ;
• le signe justifié quand le dénominateur tend vers $0$ ;
• le côté ($x\to a^+$ ou $x\to a^-$) ;
• la phrase de conclusion qui traduit la limite en asymptote.

Situation 1 : fraction rationnelle en $\pm\infty$ ($f(x)=\dfrac{2x^2+x-1}{(x-2)^2}$).

« Pour tout $x\neq0$ et $x\neq2$, $f(x)=\dfrac{x^2\left(2+\frac1x-\frac1{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac2x\right)^2}=\dfrac{2+\frac1x-\frac1{x^2}}{\left(1-\frac2x\right)^2}$.

Quand $x$ tend vers $+\infty$ (ou $-\infty$), $\dfrac1x$ et $\dfrac1{x^2}$ tendent vers $0$.

Par somme, le numérateur tend vers $2$ et $1-\dfrac2x$ tend vers $1$, donc $\left(1-\dfrac2x\right)^2$ tend vers $1$ par produit.

Par quotient, $\lim f=2$ en $+\infty$ et en $-\infty$. »

Situation 2 : racine carrée en $+\infty$ (quantité conjuguée) ($g(x)=\sqrt{x^2+x}-x$).

« Pour tout $x>0$, $g(x)=\dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac x{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}$, en divisant par $x=\sqrt{x^2}>0$. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac1x\to0$, donc $\sqrt{1+\frac1x}\to1$ par composition. Par somme et quotient, $\lim g=\dfrac12$. »

Situation 3 : racine carrée en $-\infty$ (la valeur absolue) ($h(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}x$).

« Pour tout $x\neq0$, $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}=|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}$. En $-\infty$, $x<0$ donc $|x|=-x$, et $h(x)=-\sqrt{1+\frac1{x^2}}$. Par composition et par produit, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x)=-1$. »

⚠️ Piège : écrire $\sqrt{x^2}=x$ en $-\infty$ est faux et donne le mauvais signe. Écris toujours $|x|$, puis précise son signe.

Situation 4 : dénominateur qui tend vers $0$, avec le signe ($f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-4}$, limite en $2^+$).

« Quand $x\to2^+$, $2x-1\to3>0$. De plus $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ; pour $x>2$, $x-2>0$ et $x+2>0$, donc $x^2-4>0$, et $x^2-4$ tend vers $0$. Ainsi $x^2-4$ tend vers $0^+$. Par quotient, $\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$. »

💡 Astuce : écris un mini tableau de signes du dénominateur et recopie-le dans ta phrase. Pour $x\to2^-$, $x-2<0$ et $x+2>0$ donnent $0^-$ et la limite est $-\infty$.

Situation 5 : la forme $\frac00$ (limite en $2$ de $\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$).

« En $2$, le numérateur et le dénominateur tendent vers $0$ : c'est une forme indéterminée.

Pour $x\neq2$ et $x\neq1$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Donc le quotient vaut $\dfrac{x+2}{x-1}$.

Par quotient, sa limite en $2$ est $\dfrac41=4$. $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=4$. »

Situation 6 : limite d'une fonction composée ($\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}$).

« Quand $x\to+\infty$, $-x^2\to-\infty$. Comme $\displaystyle\lim_{y\to-\infty}e^y=0$, par composition, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}=0$. »

⚠️ Avec $e^{1/x}$ en $0$, distingue les côtés : en $0^+$, $\dfrac1x\to+\infty$ et la limite est $+\infty$ ; en $0^-$, $\dfrac1x\to-\infty$ et la limite est $0$.

Situation 7 : comparaison et gendarmes.

Comparaison. « Pour tout $x$, $\sin x\ge-1$, donc $f(x)=x+\sin x\ge x-1$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty$, d'après le théorème de comparaison, $\lim f=+\infty$. »

Gendarmes. « Pour tout $x>0$, $-1\le\sin x\le1$, donc $-\dfrac1x\le\dfrac{\sin x}x\le\dfrac1x$. Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(-\dfrac1x\right)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$. D'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}x=0$. »

⚠️ « Pour tout $x>0$ » : cette précision justifie la division par $x$. Ne divise jamais sans connaître le signe.

Situation 8 : croissances comparées ($g(x)=(x+2)e^{-x}$ en $+\infty$).

« Pour tout $x$, $g(x)=xe^{-x}+2e^{-x}$. Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$. Par composition, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$. Par somme, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$. »

💡 Cite le résultat par son nom : « par croissances comparées ». Sans lui, « $\infty\times0=0$ » est faux.

Situation 9 : asymptotes.

Horizontale. « Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3$, la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal C$ en $+\infty$. »

Verticale. « Comme $\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$, la droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal C$. »

⚠️ Une asymptote se conclut toujours à partir d'une limite écrite juste avant. Ne la donne jamais « à l'œil ».

Situation 10 : position relative de la courbe et d'une asymptote.

« Pour tout $x\neq2$, $f(x)-2=\dfrac{9(x-1)}{(x-2)^2}$.

Comme $(x-2)^2>0$, $f(x)-2$ est du signe de $x-1$.

Donc, pour $x>1$ ($x\neq2$), $\mathcal C$ est au-dessus de la droite d'équation $y=2$ ; pour $x<1$, $\mathcal C$ est en dessous ; pour $x=1$, $\mathcal C$ coupe la droite. »

Situation 11 : le plan d'une étude de fonction complète.

1. Domaine de définition : « La fonction $f$ est définie sur … car … ».
2. Limites aux bornes : chacune avec sa règle nommée.
3. Asymptotes : une phrase par asymptote, appuyée sur une limite.
4. Dérivabilité et dérivée : « $f$ est dérivable sur … comme quotient (produit, composée) de fonctions dérivables… Pour tout $x$, $f'(x)=\dots$ ».
5. Signe de $f'(x)$ : chaque facteur est justifié ($e^x>0$, carré positif).
6. Tableau de variations : flèches, limites aux bornes et valeurs remarquables.
7. Conclusion : équation, inégalité ou position demandée.

Situation 12 : le tableau de variations.

Le tableau doit contenir :

• les bornes de l'ensemble de définition ;
• le signe de $f'(x)$ ;
• les flèches ;
• les limites aux bornes ;
• les valeurs aux extremums (par exemple $g(-1)=e$).

Un tableau sans limites est un tableau incomplet.

Situation 13 : vrai/faux et contre-exemple.

« L'affirmation est fausse.

Contre-exemple : $f(x)=\dfrac{\sin x}x$ tend vers $0$ en $+\infty$ mais coupe l'axe des abscisses en chaque multiple de $\pi$.

Une courbe peut donc couper son asymptote horizontale. »

a) Une limite avec racine en $-\infty$.

❌ « $\dfrac{\sqrt{x^2+1}}x\to\dfrac{\sqrt{x^2}}x=\dfrac xx=1$. »

✅ « En $-\infty$, $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac1{x^2}}$. Donc le quotient vaut $-\sqrt{1+\frac1{x^2}}$ et tend vers $-1$. »

b) Un dénominateur nul.

❌ « $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{3x+1}{x-1}=\dfrac40=+\infty$. »

✅ « Quand $x\to1$, $3x+1\to4>0$.

En $1^+$, $x-1\to0^+$, donc la limite est $+\infty$ ; en $1^-$, $x-1\to0^-$, donc la limite est $-\infty$.

La limite en $1$ n'existe pas, mais la droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale. »

c) Une croissance comparée.

❌ « $xe^{-x}=\infty\times0=0$. »

✅ « Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$. »

• J'ai indiqué le domaine et j'ai cherché les limites aux bornes.
• Chaque limite est justifiée par une règle nommée.
• Pour un dénominateur nul, j'ai écrit le signe et le côté.
• Pour une forme indéterminée, j'ai écrit la transformation (factorisation, conjuguée, terme dominant).
• En $-\infty$, j'ai fait attention à $|x|=-x$ et à la parité des exposants.
• Chaque asymptote est appuyée sur une limite écrite.
• Dans le tableau de variations, j'ai mis les limites aux bornes et les valeurs des extremums.
• J'ai vérifié une limite avec une valeur numérique (par exemple $f(1000)$).

😄 Une limite sans règle nommée, c'est un but marqué sans que l'arbitre l'ait vu : pas de but, pas de point.