Bac 2025, Nouvelle-Calédonie : exercice 1

On se place dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\,;\,\overrightarrow{\mathrm{AB}},\,\overrightarrow{\mathrm{AD}},\,\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$.

Le cube est d'arête 1, donc :

On a $\overrightarrow{\mathrm{FB}}(0\,;0\,;-1)$ et $\overrightarrow{\mathrm{FI}}=\dfrac13\overrightarrow{\mathrm{FB}}$, donc $\overrightarrow{\mathrm{FI}}\left(0\,;0\,;-\dfrac13\right)$.

Par conséquent, $\mathrm{I}\left(1\,;0\,;1-\dfrac13\right)$, soit $\mathrm{I}\left(1\,;0\,;\dfrac23\right)$.

Affirmation 1. Fausse.

On calcule les trois côtés du triangle HAC :

Donc :

Le triangle HAC a trois côtés de même longueur : il est équilatéral, et ses trois angles mesurent $60^\circ$.

Un triangle équilatéral n'a pas d'angle droit. On le confirme par le produit scalaire :

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ne sont pas orthogonaux, donc le triangle n'est pas rectangle en A. Le même calcul conduit au même résultat aux deux autres sommets.

Donc l'affirmation 1 est fausse : le triangle HAC n'est pas rectangle.

Affirmation 2. Vraie.

Un vecteur directeur de (HF) est $\overrightarrow{\mathrm{HF}}(1\,;-1\,;0)$, et un vecteur directeur de (DI) est $\overrightarrow{\mathrm{DI}}\left(1\,;-1\,;\dfrac23\right)$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : leurs deux premières coordonnées sont égales, alors que leurs troisièmes coordonnées diffèrent ($0\neq\dfrac23$). Donc les droites (HF) et (DI) ne sont pas parallèles.

Cherchons un éventuel point commun. Représentations paramétriques, avec $s$ et $t$ réels :

Un point commun correspond à un couple $(s\,;t)$ vérifiant le système

La troisième équation donne $t=\dfrac32$, et la première donne $s=\dfrac32$. La deuxième équation est alors vérifiée : $1-\dfrac32=1-\dfrac32$.

Le système admet donc une solution, et le point commun a pour coordonnées $\left(\dfrac32\,;-\dfrac12\,;1\right)$.

Les droites (HF) et (DI) ont un point commun et ne sont pas parallèles (donc non confondues) : elles sont sécantes.

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Fausse.

Comme $\alpha\in\,]0\,;\pi[$, on a $\sin\alpha>0$. De plus, $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ et $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$.

Donc :

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AC}}(1\,;1\,;0)$ est un vecteur du plan (FAC), puisque A et C sont deux points de ce plan. Calculons :

Comme $\sin\alpha>0$, on a $\vec u\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\neq0$ : le vecteur $\vec u$ n'est pas orthogonal à un vecteur du plan (FAC). Il n'est donc pas normal à ce plan.

Remarque : un vecteur normal à (FAC) est $\vec n(1\,;-1\,;-1)$. En effet, $\overrightarrow{\mathrm{AF}}(1\,;0\,;1)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}(1\,;1\,;0)$ ne sont pas colinéaires, $\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AF}}=1-1=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=1-1=0$.

Donc l'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4. Fausse.

Un segment est déterminé par le choix de 2 sommets distincts parmi les 8 sommets du cube, sans tenir compte de l'ordre (le segment $[\mathrm{AB}]$ est le même que $[\mathrm{BA}]$). Le nombre de segments est donc le nombre de parties à 2 éléments d'un ensemble à 8 éléments :

Or $\dfrac{8^2}{2}=\dfrac{64}{2}=32$, et $32\neq28$.

Donc l'affirmation 4 est fausse.

Points clés attendus

• Choisir le repère $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$, donner les coordonnées des sommets et du point I.

• Affirmation 1 : comparer les longueurs ou calculer un produit scalaire, et conclure par une phrase.

• Affirmation 2 : vérifier la non-colinéarité des vecteurs directeurs, puis résoudre le système pour trouver le point d'intersection.

• Affirmation 3 : simplifier les sinus (angles associés), puis tester l'orthogonalité avec un vecteur du plan.

• Affirmation 4 : reconnaître un nombre de parties à 2 éléments, $\binom{8}{2}=28$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.