Terminale Spé Maths / Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace

Vecteurs, droites et plans de l'espace : exercices type bac

Trois exercices complets, dans le style de l'épreuve du bac :

un cube muni d'un repère : coordonnées, parallélogramme, coplanarité, droites sécantes et non coplanaires ;
un tétraèdre et sa base : centre de gravité, alignement, droites sécantes ;
deux droites avec un paramètre, un plan, et un script Python.

Les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une excellente copie de bac :

vecteurs et coordonnées écrits ;
relation de colinéarité ou de coplanarité exhibée ;
système résolu et troisième équation vérifiée ;
position relative nommée, point d'intersection donné ;
conclusion en contexte.

Elles suivent le Guide de rédaction général et celui du chapitre. Durée conseillée : 30 minutes par exercice, sur papier, sans regarder la correction.

💡 Comment t'entraîner efficacement

Chronomètre-toi et rédige tout, comme le jour du bac.
Pour chaque question sur des points ou des droites, commence par écrire les coordonnées des vecteurs dont tu as besoin.
Pour un système, écris les trois équations, résous-en deux, vérifie la troisième.
À la fin de chaque exercice, ouvre « Points clés attendus » : c'est la liste de ce que le correcteur cherche.

Exercice 1 : un cube, un repère, des milieux

$ABCDEFGH$ est un cube. On munit l'espace du repère $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ . On note $I$ le milieu de $[EH]$ , $J$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[CG]$ .

1. Donner les coordonnées des points $I$ , $J$ , $K$ .

2. Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{EB}$ . En déduire la nature du quadrilatère $EIJB$ et le parallélisme de $(IJ)$ et $(EB)$ .

3. Les points $A$ , $I$ , $J$ , $K$ sont-ils coplanaires ?

4. Donner une représentation paramétrique des droites $(IJ)$ et $(AG)$ . Montrer qu'elles sont sécantes et préciser leur point d'intersection $\Omega$ .

5. Étudier la position relative des droites $(IJ)$ et $(BG)$ .

✏️ Correction de la question 1

Dans le repère $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ : $A(0\,;0\,;0)$ , $B(1\,;0\,;0)$ , $C(1\,;1\,;0)$ , $D(0\,;1\,;0)$ , $E(0\,;0\,;1)$ , $F(1\,;0\,;1)$ , $G(1\,;1\,;1)$ , $H(0\,;1\,;1)$ .

$I$ est le milieu de $[EH]$ : $I\left(\dfrac{0+0}2\,;\dfrac{0+1}2\,;\dfrac{1+1}2\right)$ .

✅ $I\left(0\,;\dfrac12\,;1\right)$

$J$ est le milieu de $[BC]$ : $J\left(\dfrac{1+1}2\,;\dfrac{0+1}2\,;\dfrac{0+0}2\right)$ .

✅ $J\left(1\,;\dfrac12\,;0\right)$

$K$ est le milieu de $[CG]$ : $K\left(\dfrac{1+1}2\,;\dfrac{1+1}2\,;\dfrac{0+1}2\right)$ .

✅ $K\left(1\,;1\,;\dfrac12\right)$

✏️ Correction de la question 2

$\overrightarrow{IJ}\left(1-0\,;\dfrac12-\dfrac12\,;0-1\right)=(1\,;0\,;-1)$ .

$\overrightarrow{EB}(1-0\,;0-0\,;0-1)=(1\,;0\,;-1)$ .

✅ $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{EB}$

Donc $EIJB$ est un parallélogramme. Comme il est plan, les points $E$ , $I$ , $J$ , $B$ sont coplanaires. Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{EB}$ sont égaux, donc colinéaires.

✅ $EIJB$ est un parallélogramme et $(IJ)\parallel(EB)$ .

✏️ Correction de la question 3

$\overrightarrow{AI}\left(0\,;\dfrac12\,;1\right)$ et $\overrightarrow{AJ}\left(1\,;\dfrac12\,;0\right)$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles). On a $\overrightarrow{AK}\left(1\,;1\,;\dfrac12\right)$ .

Cherchons $a$ , $b$ tels que $\overrightarrow{AK}=a\overrightarrow{AI}+b\overrightarrow{AJ}$ :

$1=b$ , $1=\dfrac12a+\dfrac12b$ , $\dfrac12=a$

La première et la troisième donnent $b=1$ et $a=\dfrac12$ . La deuxième donne $\dfrac12\times\dfrac12+\dfrac12\times1=\dfrac34\neq1$ : elle n'est pas vérifiée.

Le système n'a pas de solution.

✅ Les points $A$ , $I$ , $J$ , $K$ ne sont pas coplanaires.

✏️ Correction de la question 4

La droite $(IJ)$ passe par $I\left(0\,;\dfrac12\,;1\right)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IJ}(1\,;0\,;-1)$ .

✅ $(IJ):\ \begin{cases}x=t\\y=\dfrac12\\z=1-t\end{cases}\quad t\in\R$

La droite $(AG)$ passe par $A(0\,;0\,;0)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AG}(1\,;1\,;1)$ .

✅ $(AG):\ \begin{cases}x=s\\y=s\\z=s\end{cases}\quad s\in\R$

Les vecteurs directeurs $(1\,;0\,;-1)$ et $(1\,;1\,;1)$ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.

Point commun. On résout $t=s$ , $\dfrac12=s$ , $1-t=s$ .

La deuxième donne $s=\dfrac12$ . La première donne $t=\dfrac12$ . La troisième est vérifiée : $1-\dfrac12=\dfrac12$ .

✅ Les droites $(IJ)$ et $(AG)$ sont sécantes au point $\Omega\left(\dfrac12\,;\dfrac12\,;\dfrac12\right)$ , le centre du cube.

✏️ Correction de la question 5

La droite $(BG)$ passe par $B(1\,;0\,;0)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{BG}(0\,;1\,;1)$ .

✅ $(BG):\ \begin{cases}x=1\\y=s\\z=s\end{cases}\quad s\in\R$

Les vecteurs $(1\,;0\,;-1)$ et $(0\,;1\,;1)$ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.

On résout $t=1$ , $\dfrac12=s$ , $1-t=s$ . La première donne $t=1$ , la deuxième $s=\dfrac12$ . La troisième donne $1-1=0\neq\dfrac12$ : elle n'est pas vérifiée.

Le système n'a pas de solution.

✅ Les droites $(IJ)$ et $(BG)$ sont non coplanaires.

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 1

• Q1 : coordonnées des milieux calculées avec la formule.

• Q2 : coordonnées des deux vecteurs, égalité, conclusion « parallélogramme donc plan », parallélisme.

• Q3 : vecteurs $\overrightarrow{AI}$ , $\overrightarrow{AJ}$ non colinéaires, système écrit avec trois équations, la troisième non vérifiée, conclusion.

• Q4 : deux représentations paramétriques, vecteurs directeurs non colinéaires, deux paramètres différents, système résolu, troisième équation vérifiée, point donné.

• Q5 : même méthode, contradiction, conclusion « non coplanaires ».

Exercice 2 : un tétraèdre et son centre de gravité

$ABCD$ est un tétraèdre. On note $I$ le milieu de $[BC]$ , $J$ le milieu de $[AD]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $BCD$ , c'est-à-dire le point vérifiant $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec0$ .

On note $K$ le point défini par $\overrightarrow{AK}=\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$ .

1. Justifier que $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ est une base de l'espace.

2. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\dfrac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$ .

3. Montrer que les points $A$ , $K$ , $G$ sont alignés et exprimer $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{AG}$ .

4. Montrer que $K$ est le milieu de $[IJ]$ .

5. En déduire que les droites $(AG)$ et $(IJ)$ sont sécantes en $K$ .

✏️ Correction de la question 1

Les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont les sommets d'un tétraèdre : ils ne sont pas coplanaires. Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas coplanaires.

✅ $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ est une base de l'espace.

✏️ Correction de la question 2

D'après Chasles, $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$ , et de même pour $C$ et $D$ . La relation $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec0$ devient :

$3\,\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec0$

Comme $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AG}$ :

$3\,\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$

✅ $\overrightarrow{AG}=\dfrac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$

✏️ Correction de la question 3

On a $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\,\overrightarrow{AG}$ . Donc :

$\overrightarrow{AK}=\dfrac14\times3\,\overrightarrow{AG}=\dfrac34\overrightarrow{AG}$

Les vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont colinéaires.

✅ Les points $A$ , $K$ , $G$ sont alignés, et $\overrightarrow{AK}=\dfrac34\overrightarrow{AG}$ .

✏️ Correction de la question 4

$I$ est le milieu de $[BC]$ : $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ .

$J$ est le milieu de $[AD]$ : $\overrightarrow{AJ}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ .

Le milieu $P$ de $[IJ]$ vérifie :

$\overrightarrow{AP}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}\right)=\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AK}$

✅ $P=K$ : $K$ est le milieu de $[IJ]$ .

✏️ Correction de la question 5

D'après la question 3, $K\in(AG)$ . D'après la question 4, $K\in(IJ)$ .

✅ Le point $K$ est commun aux droites $(AG)$ et $(IJ)$ .

Ces droites ne sont pas confondues. En effet, $\overrightarrow{AG}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac13\,;\dfrac13\,;\dfrac13\right)$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ . Et $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac12\,;-\dfrac12\,;\dfrac12\right)$ .

Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles (le rapport $-\dfrac32$ pour les deux premières, $\dfrac32$ pour la troisième). Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

✅ Les droites $(AG)$ et $(IJ)$ sont sécantes en $K$ .

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 2

• Q1 : non-coplanarité des sommets d'un tétraèdre citée.

• Q2 : Chasles utilisé pour faire apparaître $\overrightarrow{AG}$ à partir de la définition de $G$ .

• Q3 : relation $\overrightarrow{AK}=\dfrac34\overrightarrow{AG}$ écrite, conclusion « colinéaires donc alignés ».

• Q4 : milieux exprimés dans la base, calcul du milieu de $[IJ]$ .

• Q5 : point commun et vecteurs directeurs non colinéaires (unicité de la décomposition dans la base).

Exercice 3 : deux droites avec un paramètre, un plan et Python

Dans un repère de l'espace, on considère les droites :

$d_1$ : $\begin{cases}x=1+t\\y=-t\\z=2+2t\end{cases}$ , $t\in\R$

$d_2$ : $\begin{cases}x=2s\\y=3+ms\\z=1-s\end{cases}$ , $s\in\R$ , où $m$ est un réel.

1. Montrer que, quel que soit $m$ , les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

2. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $d_1$ et $d_2$ sont sécantes. Donner alors les coordonnées de leur point d'intersection $I$ .

3. Pour cette valeur de $m$ , on note $\Pi$ le plan contenant $d_1$ et $d_2$ . Le point $F(1\,;10\,;7)$ appartient-il à $\Pi$ ? Le point $G(2\,;3\,;4)$ ?

4. On complète la fonction Python ci-dessous.

Quelles valeurs renvoie sur_droite((5,0,1), (1,-2,3), (2,1,-1)) et sur_droite((2,0,1), (1,-2,3), (2,1,-1)) ?

Interpréter.
from fractions import Fraction

def sur_droite(M, A, u):
    for i in range(3):
        if u[i] != 0:
            t = Fraction(M[i] - A[i], u[i])
            break
    return all(A[j] + t*u[j] == M[j] for j in range(3))

✏️ Correction de la question 1

Les vecteurs directeurs sont $\vec u_1(1\,;-1\,;2)$ et $\vec u_2(2\,;m\,;-1)$ .

S'ils étaient colinéaires, il existerait $k$ tel que $\vec u_2=k\,\vec u_1$ . La première coordonnée donnerait $k=2$ . La troisième donnerait $-1=2k=4$ : contradiction.

✅ Quel que soit $m$ , $\vec u_1$ et $\vec u_2$ ne sont pas colinéaires : $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

✏️ Correction de la question 2

On cherche $t$ et $s$ tels que :

$1+t=2s$ , $-t=3+ms$ , $2+2t=1-s$

La première et la troisième équation ne contiennent pas $m$ . La première donne $t=2s-1$ . La troisième devient $2+2(2s-1)=1-s$ , soit $4s=1-s$ , donc $s=\dfrac15$ et $t=-\dfrac35$ .

La deuxième équation s'écrit alors $\dfrac35=3+\dfrac m5$ , donc $m=-12$ .

✅ Les droites sont sécantes si et seulement si $m=-12$ .

Pour $t=-\dfrac35$ : $I\left(1-\dfrac35\,;\,\dfrac35\,;\,2-\dfrac65\right)$ .

✅ $I\left(\dfrac25\,;\dfrac35\,;\dfrac45\right)$

Vérification avec $s=\dfrac15$ : $\left(\dfrac25\,;\,3-\dfrac{12}5\,;\,1-\dfrac15\right)=\left(\dfrac25\,;\dfrac35\,;\dfrac45\right)$ ✓

✏️ Correction de la question 3

Pour $m=-12$ , $d_1$ et $d_2$ sont sécantes en $I$ , non parallèles. Le plan $\Pi$ passe par $A(1\,;0\,;2)$ et est dirigé par $\vec u_1(1\,;-1\,;2)$ et $\vec u_2(2\,;-12\,;-1)$ .

Le point $F$ . $\overrightarrow{AF}(0\,;10\,;5)$ . On cherche $a$ , $b$ tels que $\overrightarrow{AF}=a\vec u_1+b\vec u_2$ :

$0=a+2b$ , $10=-a-12b$ , $5=2a-b$

La première donne $a=-2b$ . La troisième devient $5=-4b-b$ , donc $b=-1$ et $a=2$ . La deuxième est vérifiée : $-2+12=10$ ✓.

✅ $F\in\Pi$ .

Le point $G$ . $\overrightarrow{AG}(1\,;3\,;2)$ . On cherche $a$ , $b$ :

$1=a+2b$ , $3=-a-12b$ , $2=2a-b$

La première et la troisième donnent $a=1$ et $b=0$ . La deuxième donne $-1\neq3$ : elle n'est pas vérifiée.

✅ $G\notin\Pi$ .

✏️ Correction de la question 4

Pour le premier appel, $M(5\,;0\,;1)$ , $A(1\,;-2\,;3)$ , $u(2\,;1\,;-1)$ : la première coordonnée donne $t=\dfrac{5-1}2=2$ . On vérifie : $-2+2\times1=0$ ✓ et $3+2\times(-1)=1$ ✓.

✅ Le premier appel renvoie True.

Pour le second, $M(2\,;0\,;1)$ : $t=\dfrac{2-1}2=\dfrac12$ . La deuxième coordonnée : $-2+\dfrac12=-\dfrac32\neq0$ .

✅ Le second appel renvoie False.

Interprétation : le point $(5\,;0\,;1)$ est sur la droite, le point $(2\,;0\,;1)$ n'y est pas. On retrouve le résultat de la fiche 3 (exercice 1).

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 3

• Q1 : non-colinéarité justifiée pour tout $m$ (la contradiction ne dépend pas de $m$ ).

• Q2 : système écrit, résolution avec les deux équations sans $m$ , puis la deuxième équation pour $m$ , point d'intersection vérifié.

• Q3 : plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, système avec trois équations pour chaque point, conclusion pour chacun.

• Q4 : valeurs renvoyées justifiées et interprétées.

🎯 Les réflexes à retenir

Une coplanarité se démontre en exhibant $\vec w=a\vec u+b\vec v$ ; une non-coplanarité avec un système sans solution.
Deux droites non parallèles ne sont sécantes que si le système a une solution : écris-le, résous-le, vérifie.
Un paramètre se trouve avec les équations qui n'en dépendent pas, puis la dernière équation.
Dans un tétraèdre, la base $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ donne l'unicité de la décomposition.
Conclus chaque question avec la position relative ou la propriété.

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