Terminale Spé Maths / Chapitre 5 : Fonction logarithme

Fonction logarithme : le cours

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : elle « défait » ce que fait $e^x$ .

Elle transforme les produits en sommes et les puissances en produits.

Elle permet de résoudre des équations où l'inconnue est en exposant.

C'est un chapitre très présent au bac :

études de fonctions ;
équations ;
seuils de suites ;
inégalités.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

🎯 Comment utiliser ce cours

Lis une partie, puis fais tout de suite la fiche correspondante.
Les propriétés algébriques (partie 2) et les croissances comparées (partie 4) sont à connaître par cœur.
Avant toute équation avec $\ln$ , pense à la condition d'existence : c'est le piège numéro un.

1. Définition et propriétés immédiates

Pour tout réel $x>0$ , l'équation $e^y=x$ admet une unique solution $y$ . (L'exponentielle est continue, strictement croissante, de $0$ à $+\infty$ .) Cette solution s'appelle le logarithme népérien de $x$ , noté $\ln x$ . La fonction $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ .

Réciprocité :

pour tout $x>0$ , $e^{\ln x}=x$ ;
pour tout réel $x$ , $\ln(e^x)=x$ .

Valeurs : $\ln1=0$ et $\ln e=1$ .

Signe :

$\ln x<0$ si $0<x<1$ ;
$\ln x>0$ si $x>1$ .

Monotonie : $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ . Donc, pour $a,b>0$ :

$\ln a=\ln b\iff a=b$ ;
$\ln a<\ln b\iff a<b$ .

⚠️ Pièges

$\ln$ n'est définie que pour $x>0$ : $\ln0$ et $\ln(-3)$ n'existent pas.
$\ln$ et $\exp$ se compensent, mais dans un seul ensemble de définition : $e^{\ln x}=x$ exige $x>0$ .

😄 Le logarithme est un peu susceptible : donne-lui un nombre négatif, et il refuse de répondre.

2. Les propriétés algébriques

Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ et tout entier $n$ :

$\boldsymbol{\ln(ab)=\ln a+\ln b}$
$\boldsymbol{\ln\dfrac1a=-\ln a}$
$\boldsymbol{\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b}$
$\boldsymbol{\ln(a^n)=n\ln a}$
$\boldsymbol{\ln(\sqrt a)=\dfrac12\ln a}$

Démonstration de $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

On a $e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=ab$ . Donc $\ln a+\ln b$ est l'unique réel dont l'exponentielle vaut $ab$ . C'est $\ln(ab)$ .

⚠️ Pièges

$\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ . Aucune formule ne simplifie $\ln(a+b)$ .
$\ln(a\times b)$ est une somme, mais $\ln a\times\ln b$ n'est pas $\ln(a+b)$ : ne mélange pas.
Pour $a<0$ , $\ln(a^2)=2\ln|a|$ , et pas $2\ln a$ (qui n'existe pas). Les formules exigent $a,b>0$ .

💡 Astuce : pour exprimer un logarithme à partir de $\ln2$ et $\ln3$ , décompose le nombre en produit de puissances de $2$ et de $3$ :

\ln72=\ln\left(2^3\times3^2\right)=3\ln2+2\ln3

3. Dérivée et variations

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $(\ln x)'=\dfrac1x$ .

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ , alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et :

(\ln u)'=\frac{u'}{u}

$\ln$ est strictement croissante (car $\dfrac1x>0$ ) et concave (car $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$ ).

Exemples.

$\big(\ln(3x+2)\big)'=\dfrac3{3x+2}$

$\big(\ln(x^2+1)\big)'=\dfrac{2x}{x^2+1}$

$(x\ln x)'=\ln x+1$

💡 Astuce : $(\ln u)'=\dfrac{u'}u$ : « la dérivée du haut sur le bas ». Vérifie toujours que $u>0$ avant d'écrire $\ln u$ .

4. Limites et croissances comparées

Aux bornes :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$

Croissances comparées :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}x=0$
pour tout entier $n\ge1$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0$
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$

Nombres dérivés :

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1$
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1$ (nombre dérivé de $\ln$ en $1$ , qui vaut $1$ )

💡 Astuces

Le logarithme croît plus lentement que toute puissance de $x$ en $+\infty$ . En $0^+$ , $x\ln x$ tend vers $0$ : la puissance « gagne » contre le logarithme.
Pour une limite avec $\ln$ en $+\infty$ , mets en facteur le terme dominant ( $x$ , ou $x^n$ ).

⚠️ Piège : écrire « $x\ln x=0\times(-\infty)=0$ » sans citer les croissances comparées : c'est une forme indéterminée.

5. Convexité et inégalités

La fonction $\ln$ est concave : sa courbe est en dessous de ses tangentes. La tangente en $1$ a pour équation $y=x-1$ . Donc $\ln x\le x-1$ pour tout $x>0$ .

En appliquant cette inégalité à $\dfrac1x$ : $\ln x\ge1-\dfrac1x$ . On obtient l'encadrement :

1-\frac1x\le\ln x\le x-1

avec égalité seulement en $x=1$ .

6. Équations et inéquations avec $\ln$

Ensemble de définition : chaque expression dans un $\ln$ doit être strictement positive.
Transformer : regrouper avec les propriétés ( $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ ). Puis utiliser $\ln A=\ln B\iff A=B$ , ou $\ln A=k\iff A=e^k$ .
Résoudre l'équation obtenue.
Vérifier que les solutions sont dans l'ensemble de définition, et conclure.

Inéquations : comme $\ln$ est strictement croissante :

$\ln A<\ln B\iff A<B$ (avec $A,B>0$ ) ;
$\ln A<k\iff0<A<e^k$ .

Le sens de l'inégalité est conservé.

Changement de variable : une équation du second degré en $\ln x$ se pose $X=\ln x$ , et en $e^x$ se pose $X=e^x$ (avec $X>0$ ).

⚠️ Piège : résoudre $\ln x+\ln(x-1)=\ln6$ en trouvant $x^2-x-6=0$ , donc $x=3$ ou $x=-2$ , et garder les deux. La condition $x>1$ élimine $-2$ .

😄 Une solution qui ne respecte pas l'ensemble de définition, c'est un invité qui se présente à une fête où il n'est pas sur la liste.

7. Équations exponentielles et seuils

$e^x=k$ ( $k>0$ ) $\iff x=\ln k$ . Il n'y a aucune solution si $k\le0$ .
Pour un réel $q>0$ : $q^n\ge A\iff n\ln q\ge\ln A$ .
Si $q>1$ , $\ln q>0$ et on obtient $n\ge\dfrac{\ln A}{\ln q}$ .
Si $0<q<1$ , $\ln q<0$ et l'inégalité change de sens : $n\le\dfrac{\ln A}{\ln q}$ .

Exemple. Cherchons le plus petit entier $n$ tel que $1{,}05^n\ge2$ . Comme $\ln1{,}05>0$ :

n\ge\frac{\ln2}{\ln1{,}05}\approx14{,}2

Donc $n=15$ .

⚠️ Piège : avec $0{,}9^n<0{,}25$ , on obtient $n\ln0{,}9<\ln0{,}25$ . Comme $\ln0{,}9<0$ , on divise en retournant l'inégalité :

n>\frac{\ln0{,}25}{\ln0{,}9}\approx13{,}2

donc $n=14$ .

8. L'étude d'une fonction avec $\ln$

Domaine : les expressions dans $\ln$ strictement positives.
Limites aux bornes avec les croissances comparées.
Dérivée avec $(\ln u)'=\dfrac{u'}u$ , factorisée ; signe justifié.
Tableau de variations avec limites et valeurs (souvent en $1$ ou en $e$ ).
Convexité, tangentes, équation selon les questions.

9. Les 10 pépites du chapitre

Ensemble de définition d'abord, toujours, avant de toucher à une équation ou à une dérivée.
$\ln a=\ln b\iff a=b$ : le moyen le plus rapide de transformer une équation.
$\ln A=k\iff A=e^k$ ; $e^x=k\iff x=\ln k$ .
Signe de $\ln x$ : négatif avant $1$ , positif après $1$ . Utilise-le pour étudier des signes.
$(\ln u)'=\dfrac{u'}u$ : compare avec la dérivée de $e^u$ , qui est $u'e^u$ .
Croissances comparées : $\dfrac{\ln x}x\to0$ en $+\infty$ , $x\ln x\to0$ en $0^+$ .
Pour $\dfrac{\ln(1+x)}x$ en $0$ et $\dfrac{\ln x}{x-1}$ en $1$ : pense au nombre dérivé.
$\ln x\le x-1$ est l'inégalité la plus utile du chapitre, avec son jumeau $\ln x\ge1-\dfrac1x$ .
Seuils : $n\ln q\ge\ln A$ , en retournant le sens si $q<1$ .
Vérifie tes résultats avec une valeur simple : $\ln1=0$ , $\ln e=1$ , $\ln(e^2)=2$ .

Complément du programme : démontrer la dérivée de $\ln$ et une limite

Dérivée du logarithme. Pour $x>0$ , $(\ln x)'=\dfrac1x$ (on admet que $\ln$ est dérivable).

Démonstration. Pour tout $x>0$ , $e^{\ln x}=x$ . On dérive les deux membres : $\left(e^{\ln x}\right)'=(\ln x)'\,e^{\ln x}=(\ln x)'\times x$ .

Le membre de droite se dérive en $1$ : $(\ln x)'\times x=1$ , donc $(\ln x)'=\dfrac1x$ . $\square$

Limite en $0$ . $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$ .

Démonstration. On pose $X=\dfrac1x$ , qui tend vers $+\infty$ quand $x\to0^+$ . Alors $x\ln x=\dfrac1X\ln\dfrac1X=-\dfrac{\ln X}X$ .

Par croissance comparée, $\dfrac{\ln X}X\to0$ quand $X\to+\infty$ . Donc $x\ln x\to0$ . $\square$

Complément du programme : $\ln$ et $\exp$ sont réciproques

Pour tout $x>0$ , $e^{\ln x}=x$ et pour tout réel $x$ , $\ln\left(e^x\right)=x$ : les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre.

Les courbes de exp et de ln sont symétriques par rapport à la droite y = x

Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ : le point $(a\,;\,b)$ est sur la courbe de $\exp$ si et seulement si le point $(b\,;\,a)$ est sur celle de $\ln$ .

Exemple. $(0\,;\,1)$ est sur la courbe de $\exp$ , donc $(1\,;\,0)$ est sur celle de $\ln$ ( $\ln1=0$ ).

Complément du programme : l'algorithme de Briggs

Briggs calcule $\ln a$ avec des racines carrées successives. Pour $h$ proche de $0$ , $a^h=e^{h\ln a}\approx1+h\ln a$ , donc $\ln a\approx\dfrac{a^h-1}h$ .

En prenant $h=\dfrac1{2^{10}}$ (dix racines carrées de $a$ ), on obtient :

a = 2
n = 2 ** 10
print(n * (a ** (1 / n) - 1))   # affiche environ 0.69338

La valeur exacte est $\ln2\approx0{,}69315$ : l'approximation a trois décimales correctes.

10. Ce qui peut tomber au bac

Des propriétés algébriques, équations et inéquations avec $\ln$ et $\exp$ (fiche 1).
Des dérivées, limites et croissances comparées avec $\ln$ (fiche 2).
Des études de fonctions complètes avec $\ln$ (fiche 3).
Des suites et seuils avec $\ln$ , dont le célèbre $\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e$ (fiche 4).

Tu as maintenant le cours. Passe aux quatre fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.

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