Fiche 3 : études de fonctions avec ln

Limites

En $0^+$ : $\ln x\to-\infty$, donc $(\ln x)^2\to+\infty$. En $+\infty$ : $\ln x\to+\infty$, donc $(\ln x)^2\to+\infty$.

✅ $\lim f=+\infty$ aux deux bornes (par composition avec la fonction carré).

Variations

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{2\ln x}x$. Comme $x>0$, $f'(x)$ est du signe de $\ln x$ : négatif sur $]0\,;1[$, positif sur $]1\,;+\infty[$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ (de $+\infty$ à $f(1)=0$) et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Minimum : $f(1)=0$.

Convexité

$f''(x)=\dfrac{2\left[\frac1x\times x-\ln x\times1\right]}{x^2}$

✅ $f''(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}$

Du signe de $1-\ln x$ : positif pour $x<e$.

✅ $f$ est convexe sur $]0\,;e]$ et concave sur $[e\,;+\infty[$.

✅ Point d'inflexion : $(e\,;f(e))=(e\,;1)$

Limites

En $0^+$ : $f(x)=x\ln x-x$. Par croissances comparées, $x\ln x\to0$, et $x\to0$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=0$

En $+\infty$ : $\ln x-1\to+\infty$ et $x\to+\infty$, donc, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Variations

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $f'(x)=(\ln x-1)+x\times\dfrac1x$.

✅ $f'(x)=\ln x$

Donc $f'<0$ sur $]0\,;1[$ et $f'>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ (de $0$ à $f(1)=-1$) et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Minimum : $f(1)=-1$.

Zéros

$f(x)=0\iff x(\ln x-1)=0\iff\ln x=1$ (car $x>0$) $\iff x=e$.

✅ La courbe coupe l'axe des abscisses uniquement en $e$.

Et $f(x)<0$ sur $]0\,;e[$, $f(x)>0$ sur $]e\,;+\infty[$.

Convexité

$f''(x)=\dfrac1x>0$.

✅ $f$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$.

Domaine et parité

Pour tout $x\in\R$, $x^2+1>0$ : $f$ est définie sur $\R$. Pour tout $x$, $f(-x)=\ln\left((-x)^2+1\right)=\ln\left(x^2+1\right)=f(x)$.

✅ $f$ est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Limites

Quand $x\to\pm\infty$, $x^2+1\to+\infty$ et $\ln$ est de limite $+\infty$ en $+\infty$. Par composition :

✅ $\lim f=+\infty$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Variations

$f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$. Comme $x^2+1>0$, $f'(x)$ est du signe de $x$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, avec un minimum $f(0)=\ln1=0$.

Convexité

$f''(x)=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2x\times2x}{\left(x^2+1\right)^2}$

✅ $f''(x)=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$, du signe de $1-x^2$.

✅ $f$ est convexe sur $[-1\,;1]$ et concave sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[1\,;+\infty[$.

✅ La courbe a deux points d'inflexion : $(-1\,;\ln2)$ et $(1\,;\ln2)$.

Inégalité

On sait que $\ln u\le u-1$ pour $u>0$. Avec $u=x^2+1>0$ : $\ln\left(x^2+1\right)\le x^2$.

✅ Donc $f(x)\le x^2$ pour tout $x\in\R$.

Question 1

$f(x)$ existe si et seulement si $\dfrac{1+x}{1-x}>0$. Par un tableau de signes, cela équivaut à $-1<x<1$.

✅ $D=]-1\,;1[$, symétrique par rapport à $0$.

Pour tout $x\in D$ :

✅ $f$ est impaire.

Question 2

En $1^-$ : $1+x\to2$ et $1-x\to0^+$, donc $\dfrac{1+x}{1-x}\to+\infty$. Par composition :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f=+\infty$

En $-1^+$ : $1+x\to0^+$ et $1-x\to2$, donc le quotient tend vers $0^+$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-1^+}f=-\infty$

✅ Les droites $x=1$ et $x=-1$ sont asymptotes verticales.

Question 3

Pour $x\in D$, $f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)$, dérivable, et :

car $1-x^2>0$ sur $D$.

✅ $f$ est strictement croissante sur $D$, de $-\infty$ à $+\infty$.

Puis $f''(x)=\dfrac{4x}{\left(1-x^2\right)^2}$, du signe de $x$.

✅ $f$ est concave sur $]-1\,;0]$ et convexe sur $[0\,;1[$.

✅ Le point d'inflexion est $O(0\,;0)$ (également centre de symétrie, $f$ étant impaire).

Comme $f'(0)=2$ :

✅ la tangente en $O$ a pour équation $y=2x$.

Question 4

$f$ est continue et strictement croissante sur $]-1\,;1[$, de $-\infty$ à $+\infty$. D'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution pour tout $k$.

Explicitement :

$\dfrac{1+x}{1-x}=e^k\iff1+x=e^k(1-x)\iff x\left(1+e^k\right)=e^k-1$

✅ La solution est $x=\dfrac{e^k-1}{e^k+1}$.

Limites

En $0^+$ : $1+\ln x\to-\infty$ et $\dfrac1x\to+\infty$, donc, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=-\infty$ (asymptote verticale $x=0$)

En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac1x+\dfrac{\ln x}x$, avec $\dfrac1x\to0$ et $\dfrac{\ln x}x\to0$ (croissances comparées).

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=0$ (asymptote horizontale $y=0$)

Variations

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme quotient. $f'(x)=\dfrac{\frac1x\times x-(1+\ln x)}{x^2}$.

✅ $f'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^2}$

Du signe de $-\ln x$ : positif sur $]0\,;1[$, négatif sur $]1\,;+\infty[$.

✅ $f$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$ (de $-\infty$ à $f(1)=1$) et strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ (de $1$ à $0$).

Maximum : $f(1)=1$.

Signe

$f(x)=0\iff1+\ln x=0\iff x=\dfrac1e$.

✅ $f(x)<0$ sur $\left]0\,;\dfrac1e\right[$ et $f(x)>0$ sur $\left]\dfrac1e\,;+\infty\right[$.

Tangente en $\dfrac1e$

$f\left(\dfrac1e\right)=0$ et $f'\left(\dfrac1e\right)=\dfrac{-\ln\frac1e}{\left(\frac1e\right)^2}=\dfrac1{\frac1{e^2}}=e^2$. La tangente a pour équation $y=e^2\left(x-\dfrac1e\right)$.

✅ $y=e^2x-e$

Limites

En $0^+$ : $x^2\to0$ et $-2\ln x\to+\infty$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=+\infty$

En $+\infty$ : $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{2\ln x}{x^2}\right)$. Avec $\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac{\ln x}x\times\dfrac1x\to0$, donc $1-\dfrac{2\ln x}{x^2}\to1$. Par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Variations

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $f'(x)=2x-\dfrac2x=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}x=\dfrac{2(x-1)(x+1)}x$. Pour $x>0$, $x+1>0$ et $x>0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x-1$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Minimum : $f(1)=1-0=1$.

Conséquence

Pour tout $x>0$, $f(x)\ge1>0$.

✅ $x^2-2\ln x>0$, c'est-à-dire $x^2>2\ln x$.

Limites

En $0^+$ : par croissances comparées ($n=2$) :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=0$

En $+\infty$ : $x^2\to+\infty$ et $\ln x\to+\infty$, donc, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Variations

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme produit. $f'(x)=2x\ln x+x^2\times\dfrac1x=2x\ln x+x$.

✅ $f'(x)=x(2\ln x+1)$

Comme $x>0$, $f'(x)$ est du signe de $2\ln x+1$. Il est positif si $\ln x>-\dfrac12$, soit $x>e^{-1/2}$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $\left]0\,;e^{-1/2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[e^{-1/2}\,;+\infty\right[$.

Minimum : $f\left(e^{-1/2}\right)=e^{-1}\times\left(-\dfrac12\right)$.

✅ Le minimum est $-\dfrac1{2e}$.

Convexité

$f''(x)=2\ln x+2+1$

✅ $f''(x)=2\ln x+3$

Positif si $\ln x>-\dfrac32$, soit $x>e^{-3/2}$.

✅ $f$ est concave sur $\left]0\,;e^{-3/2}\right]$ et convexe sur $\left[e^{-3/2}\,;+\infty\right[$.

✅ Point d'inflexion : $\left(e^{-3/2}\,;-\dfrac3{2e^3}\right)$

Question 1

$\ln$ est deux fois dérivable sur $]0\,;+\infty[$. $\ln'(x)=\dfrac1x$ et $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$.

✅ Donc $\ln$ est concave.

Question 2

Pour une fonction concave, la courbe est au-dessus de ses cordes. L'image du milieu de $[a\,;b]$ est supérieure ou égale à la moyenne des images.

✅ $\ln\dfrac{a+b}2\ge\dfrac{\ln a+\ln b}2$

Question 3

On a $\dfrac{\ln a+\ln b}2=\dfrac12\ln(ab)=\ln\sqrt{ab}$. Donc $\ln\sqrt{ab}\le\ln\dfrac{a+b}2$. Comme $\ln$ est strictement croissante :

✅ $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}2$