Fiche 2 : épreuves indépendantes et schéma de Bernoulli

Question 1

Chaque lancer a deux issues : $2^3=8$ issues (P, F). Les lancers sont indépendants et la pièce est équilibrée : chaque issue a pour probabilité $\left(\dfrac12\right)^3$.

✅ $8$ issues, de probabilité $\dfrac18$ chacune.

« Exactement deux pile » : $\text{PPF}$, $\text{PFP}$, $\text{FPP}$, soit $3$ issues (on choisit la place du « face » parmi $3$).

✅ $P=3\times\dfrac18=\dfrac38$

Question 2

Les lancers sont indépendants, avec $P(\text{P})=0{,}3$ et $P(\text{F})=0{,}7$ :

$P(\text{PPF})=0{,}3\times0{,}3\times0{,}7$

✅ $P(\text{PPF})=0{,}063$

Les trois issues « exactement deux pile » ont la même probabilité $0{,}3^2\times0{,}7=0{,}063$.

✅ $P(\text{exactement deux pile})=3\times0{,}063=0{,}189$

Question 1

Après chaque tirage, la boule est remise : la composition de l'urne est la même à chaque tirage. Les trois tirages sont donc identiques et indépendants, avec $P(R)=\dfrac4{10}=0{,}4$ à chaque tirage.

Question 2

On passe à l'événement contraire : « aucune rouge » est « verte, verte, verte ».

$P(\text{aucune rouge})=0{,}6^3=0{,}216$

✅ $P(\text{au moins une rouge})=1-0{,}216=0{,}784$

Question 3

La première rouge au troisième tirage est la suite (V, V, R).

$P=0{,}6\times0{,}6\times0{,}4$

✅ $P=0{,}144$

Question 4

« Exactement deux rouges » : RRV, RVR, VRR. Chaque suite a pour probabilité $0{,}4^2\times0{,}6=0{,}096$.

$P=3\times0{,}096$

✅ $P=0{,}288$

On note $D$ : « le dé donne un nombre pair », $S$ : « le dé donne $6$ », $P$ : « pile ».

Question 1

Les lancers sont indépendants : $P(D\cap P)=P(D)\times P(P)=\dfrac12\times\dfrac12$

✅ $P(D\cap P)=\dfrac14$

Question 2

On passe à l'événement contraire : « ni $6$, ni pile ».

$P\left(\overline S\cap\overline P\right)=\dfrac56\times\dfrac12=\dfrac5{12}$

✅ $P(S\cup P)=1-\dfrac5{12}=\dfrac7{12}$

Question 3

$P\left(\overline D\cap\overline P\right)=\dfrac12\times\dfrac12$

✅ $P=\dfrac14$

Les quatre tirs sont indépendants, avec la probabilité de succès $p=0{,}7$ et d'échec $0{,}3$.

Question 1

✅ $P(\text{4 succès})=0{,}7^4=0{,}2401$

Question 2

✅ $P(\text{aucun succès})=0{,}3^4=0{,}0081$

Question 3

L'événement contraire de « au moins une fois » est « aucune fois ».

✅ $P(\text{au moins une})=1-0{,}0081=0{,}9919$

Question 4

Il y a $4$ places possibles pour l'unique succès. Chaque suite a pour probabilité $0{,}7\times0{,}3^3$.

✅ $P(\text{exactement une})=4\times0{,}7\times0{,}3^3=0{,}0756$

Question 1

« $T=n$ » signifie : $n-1$ échecs puis un succès. Les épreuves sont indépendantes :

✅ $P(T=n)=(1-p)^{n-1}\,p$

Pour $p=0{,}2$ et $n=4$ : $P(T=4)=0{,}8^3\times0{,}2$.

✅ $P(T=4)=0{,}1024$

Question 2

L'événement contraire de $\{T\le4\}$ est « les quatre premières épreuves sont des échecs ».

$P(T>4)=0{,}8^4=0{,}4096$

✅ $P(T\le4)=1-0{,}4096=0{,}5904$

Question 3

$T>n$ signifie que les $n$ premières épreuves sont des échecs. Par indépendance :

✅ $P(T>n)=(1-p)^n$ ∎

Question 1

Avec remise, les tirages sont indépendants, avec $P(R)=\dfrac35$.

✅ $P(RR)=\dfrac35\times\dfrac35=\dfrac9{25}=0{,}36$

Question 2

Sans remise, après une rouge, il reste $2$ rouges sur $4$ boules :

✅ $P(RR)=\dfrac35\times\dfrac24=\dfrac3{10}=0{,}3$

Question 3

Sans remise, la probabilité de « rouge » au second tirage dépend du résultat du premier : les tirages ne sont pas indépendants (ni de même probabilité conditionnellement).

❌ Ce n'est pas un schéma de Bernoulli, et le nombre de rouges ne suit pas une loi binomiale.

On note $A$, $B$, $C$ les événements « le composant fonctionne ». $P(A)=0{,}9$, $P(B)=0{,}8$, $P(C)=0{,}7$.

Question 1

Le montage en série fonctionne si $A$ et $B$ fonctionnent. Par indépendance :

$P(A\cap B)=0{,}9\times0{,}8$

✅ $P=0{,}72$

Question 2

Le montage en parallèle est en panne si $A$ et $B$ sont en panne. Par indépendance :

$P\left(\overline A\cap\overline B\right)=0{,}1\times0{,}2=0{,}02$

✅ $P=1-0{,}02=0{,}98$

Question 3

Le bloc $\{B,C\}$ en parallèle fonctionne avec la probabilité :

$1-P\left(\overline B\cap\overline C\right)=1-0{,}2\times0{,}3=1-0{,}06=0{,}94$

Le système est en série : $A$ et le bloc fonctionnent. Les événements sont indépendants :

$P=0{,}9\times0{,}94$

✅ $P=0{,}846$

Affirmation 1

Les lancers sont indépendants : $P=\left(\dfrac16\right)^5=\dfrac1{7\,776}$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

La probabilité de « aucun succès » est $(1-p)^n$ : la probabilité d'au moins un succès est $1-(1-p)^n$, et non $1-p^n$.

❌ Faux.

Affirmation 3

On choisit les $2$ places des succès parmi $3$ : $\dbinom32=3$ chemins.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Par indépendance : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0{,}9\times0{,}9$.

✅ Vrai.