Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace

Orthogonalité et distances dans l'espace : le cours

Dans le chapitre précédent, on savait dire si deux droites se coupent ou si des points sont dans un même plan. Ici, on mesure : longueurs, angles, distances.

L'outil est le produit scalaire, que tu connais dans le plan : il fonctionne dans l'espace de la même façon. Et il apporte un cadeau : les équations de plans, bien plus pratiques que les bases de vecteurs pour trouver des intersections et des distances.

Ce chapitre répond à des questions très classiques du bac :

ces deux droites sont-elles orthogonales ?
quelle est l'équation du plan $(ABC)$ ?
quelle est la distance de ce point à ce plan ?
où cette droite coupe-t-elle ce plan ?

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

🎯 Comment utiliser ce cours

Lis une partie, puis fais tout de suite la fiche correspondante.
Retiens le fil rouge du chapitre : orthogonal $\iff$ produit scalaire nul, et un plan se décrit par un vecteur normal.
Le repère doit être orthonormé pour utiliser les formules de norme, de distance et d'angle : vérifie-le à chaque fois.

1. Le produit scalaire dans l'espace

Soient $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$ . Les points $A$ , $B$ , $C$ sont dans un même plan : on calcule le produit scalaire dans ce plan, comme en première.

\vec u\cdot\vec v=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\widehat{BAC}

Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

Propriétés. Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ et tout réel $\lambda$ :

$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ ;
$(\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v)$ ;
$\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ ;
$\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$ ;
$\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$ ;
$\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)$ .

Orthogonalité. $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$ .

Projeté orthogonal. Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ , alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$ . C'est $AB\times AH$ si $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont le même sens, et $-AB\times AH$ sinon.

2. Expression dans un repère orthonormé

Un repère $(O\,;\vec i,\vec j,\vec k)$ est orthonormé si $\vec i$ , $\vec j$ , $\vec k$ sont de norme $1$ et orthogonaux deux à deux. Pour $\vec u(x\,;y\,;z)$ et $\vec v(x'\,;y'\,;z')$ :

\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'\qquad\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Si $\vec u\neq\vec0$ et $\vec v\neq\vec0$ :

\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}

où $\theta\in[0\,;\pi]$ est l'angle géométrique entre $\vec u$ et $\vec v$ .

💡 Astuces :

Pour montrer que $ABC$ est rectangle en $A$ , calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ : il doit être nul.
Pour un angle, calcule le produit scalaire, les deux normes, puis $\theta=\arccos\left(\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\right)$ (mode degrés ou radians, selon la demande).
Dans un cube d'arête $1$ , le repère $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ est orthonormé.

⚠️ Pièges :

Appliquer les formules avec un repère non orthonormé.
Confondre $\vec u\cdot\vec v$ (un nombre) avec un vecteur.
Oublier la racine carrée dans une norme.
Écrire $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|+\|\vec v\|}$ (c'est un produit des normes).

😄 Un repère non orthonormé, c'est une règle graduée en pouces sur un plan en centimètres : tout marche, sauf les résultats.

3. Orthogonalité de droites et de plans

Droites orthogonales : leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Elles ne sont pas forcément sécantes (des droites non coplanaires peuvent être orthogonales).
Droites perpendiculaires : orthogonales et sécantes.
Droite orthogonale à un plan : orthogonale à toutes les droites du plan.

Théorème. Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Autrement dit, si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Vecteur normal. Un vecteur $\vec n\neq\vec0$ est normal à un plan $P$ s'il est orthogonal à tous les vecteurs de $P$ . Il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$ .

Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

4. Équation cartésienne d'un plan

Théorème. Dans un repère orthonormé, soit $P$ le plan passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ . Alors :

M(x\,;y\,;z)\in P\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\iff ax+by+cz+d=0

avec $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$ .

Réciproque. Si $(a\,;b\,;c)\neq(0\,;0\,;0)$ , l'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ .

Méthode : équation d'un plan.

Trouve un vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ .
Écris $ax+by+cz+d=0$ .
Remplace les coordonnées d'un point du plan pour trouver $d$ .
Vérifie avec un autre point.

Plan défini par trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés : on cherche $\vec n(a\,;b\,;c)$ avec $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$ . On obtient deux équations à trois inconnues : on fixe une valeur, par exemple $c=1$ , et on résout.

Plan médiateur de $[AB]$ : l'ensemble des points $M$ tels que $MA=MB$ . C'est le plan passant par le milieu de $[AB]$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ .

5. Intersections

Droite et plan. Soit $d$ de représentation paramétrique $x=x_A+ta$ , $y=y_A+tb$ , $z=z_A+tc$ , et $P$ d'équation $\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$ . On remplace $x$ , $y$ , $z$ dans l'équation de $P$ : on obtient une équation en $t$ .

Une solution : $d$ et $P$ sont sécants en un point (on reporte $t$ dans la représentation paramétrique).
Aucune solution ( $0\times t=k\neq0$ ) : $d$ est strictement parallèle à $P$ .
Toutes les valeurs de $t$ ( $0=0$ ) : $d$ est incluse dans $P$ .

Lien avec le produit scalaire : $d$ est parallèle à $P$ si et seulement si son vecteur directeur $\vec u$ est orthogonal à $\vec n$ , c'est-à-dire $\vec u\cdot\vec n=0$ .

Deux plans sécants. Si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants suivant une droite. On résout le système des deux équations en prenant une inconnue comme paramètre : on obtient une représentation paramétrique de la droite d'intersection.

6. Projeté orthogonal et distances

Projeté orthogonal sur un plan. Le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $P$ est l'unique point $H$ de $P$ tel que $\overrightarrow{MH}$ soit orthogonal à $P$ , c'est-à-dire colinéaire à $\vec n$ .

Calcul de $H$ : on cherche $H=M+k\vec n$ avec $H\in P$ : on remplace dans l'équation de $P$ , on obtient $k$ .

Projeté orthogonal sur une droite. Le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $d(A\,;\vec u)$ est le point $H\in d$ tel que $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ . Avec $H=A+t\vec u$ , on résout $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ pour trouver $t$ .

Distance. La distance de $M$ à $P$ (ou à la droite $d$ ) est $MH$ . C'est la plus courte distance de $M$ à un point de $P$ : pour tout $N\in P$ , $MN^2=MH^2+HN^2\ge MH^2$ .

Formule de la distance d'un point à un plan. Le plan $P$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$ . La distance du point $M_0(x_0\,;y_0\,;z_0)$ à $P$ est :

d(M_0,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

💡 Astuce. Quand on te demande une distance à un plan, la formule est la plus rapide. Quand on te demande aussi le projeté orthogonal, calcule $H=M+k\vec n$ : la distance est alors $|k|\times\|\vec n\|$ , ce qui te donne un contrôle avec la formule.

7. Python

from math import sqrt, acos, degrees

def produit_scalaire(u, v):
    return u[0]*v[0] + u[1]*v[1] + u[2]*v[2]

def norme(u):
    return sqrt(produit_scalaire(u, u))

def angle(u, v):
    return degrees(acos(produit_scalaire(u, v) / (norme(u) * norme(v))))

def distance_plan(M, a, b, c, d):
    return abs(a*M[0] + b*M[1] + c*M[2] + d) / sqrt(a*a + b*b + c*c)

💡 angle((1,1,0), (0,1,1)) renvoie environ 60.0. Un test avec des valeurs simples permet de vérifier tes formules.

8. Les 10 pépites du chapitre

Orthogonal $\iff$ produit scalaire nul.
Les formules de norme, distance, angle exigent un repère orthonormé.
Une droite est orthogonale à un plan si elle l'est à deux droites sécantes du plan.
Vecteur normal $(a\,;b\,;c)$ $\iff$ équation $ax+by+cz+d=0$ .
Pour trouver $d$ : remplace un point du plan, puis vérifie avec un autre.
Plan par trois points : $\vec n\perp\overrightarrow{AB}$ et $\vec n\perp\overrightarrow{AC}$ , fixe une inconnue.
Droite et plan : remplace la représentation paramétrique dans l'équation, résous en $t$ .
Deux plans sécants : prends une inconnue comme paramètre.
Projeté sur un plan : $H=M+k\vec n$ avec $H\in P$ .
Distance à un plan : formule ou $MH$ , et contrôle l'un par l'autre.

Complément du programme : la sphère

Définition. La sphère de centre $\Omega(a\,;\,b\,;\,c)$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M(x\,;\,y\,;\,z)$ tels que $\Omega M=r$ , soit

(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2

Plan tangent. Si $A$ est un point de la sphère, le plan tangent en $A$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}$ :

\overrightarrow{\Omega A}\cdot\overrightarrow{AM}=0

Intersection d'une sphère et d'un plan. On note $d$ la distance du centre $\Omega$ au plan :

$d<r$ : l'intersection est un cercle de rayon $\sqrt{r^2-d^2}$ , de centre le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan ;
$d=r$ : le plan est tangent, un seul point commun ;
$d>r$ : aucun point commun.

Exemple. Sphère de centre $\Omega(1\,;\,2\,;\,3)$ et de rayon $3$ : $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$ . Le plan $z=1$ est à la distance $d=2$ de $\Omega$ . L'intersection est le cercle de centre $(1\,;\,2\,;\,1)$ et de rayon $\sqrt{9-4}=\sqrt5$ .

Intersection d'une sphère et d'une droite. On remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation de la sphère et on résout une équation du second degré en $t$ : deux solutions, une solution (tangente) ou aucune.

Démonstration : le projeté orthogonal est le point le plus proche

Le programme demande de savoir démontrer que la distance d'un point $A$ à un plan $\mathcal P$ est bien la plus courte des distances de $A$ aux points de $\mathcal P$ .

Propriété. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal P$ . Pour tout point $M$ de $\mathcal P$ , $AM\geqslant AH$ , avec égalité si et seulement si $M=H$ .

Démonstration. La droite $(AH)$ est orthogonale à $\mathcal P$ , donc $\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{HM}$ car $\overrightarrow{HM}$ est dans la direction de $\mathcal P$ . Le triangle $AHM$ est rectangle en $H$ (ou aplati si $M=H$ ) et le théorème de Pythagore donne :

AM^2=AH^2+HM^2\geqslant AH^2.

L'égalité a lieu si et seulement si $HM=0$ , c'est-à-dire $M=H$ . $\square$

💡 Astuce. Même preuve pour une droite : le projeté orthogonal d'un point sur une droite est le point de la droite le plus proche. C'est ce qui justifie l'expression « distance minimale ».

9. Ce qui peut tomber au bac

Des produits scalaires, normes, angles et orthogonalités (fiche 1).
Des équations de plans : vecteur normal, trois points, plans parallèles ou perpendiculaires (fiche 2).
Des intersections, projetés orthogonaux et distances (fiche 3).
Des problèmes de solides : cube, tétraèdre, pyramide, volumes, avec Python (fiche 4 et exercices type bac).

Tu as maintenant le cours. Passe aux quatre fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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