Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace

Fiche 2 : vecteurs normaux et équations de plans

Huit exercices pour maîtriser les équations de plans :

équation d'un plan connaissant un point et un vecteur normal ;
lire un vecteur normal et des points sur une équation ;
équation du plan $(ABC)$ ;
plans parallèles et perpendiculaires, avec un paramètre ;
plan médiateur ;
plan perpendiculaire à une droite ;
plan contenant une droite et un point ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend au bac :

le vecteur normal est justifié (orthogonal à deux vecteurs non colinéaires) ;
l'équation est vérifiée avec les points donnés ;
la conclusion nomme la propriété (parallèles, perpendiculaires…).

💡 Le modèle de rédaction de l'équation du plan $(ABC)$

« $\overrightarrow{AB}(1\,;1\,;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;3\,;-1)$ ne sont pas colinéaires : $A$ , $B$ , $C$ définissent un plan. Cherchons un vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ : $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$ donnent

$a+b-2c=0$ et $-a+3b-c=0$ .

En ajoutant : $4b-3c=0$ .

Pour $c=4$ , $b=3$ et $a=2c-b=5$ .

Donc $\vec n(5\,;3\,;4)$ .

Le plan a une équation de la forme $5x+3y+4z+d=0$ .

Comme $A(1\,;0\,;2)$ est dans le plan, $5+8+d=0$ , donc $d=-13$ .

Vérification : $B$ : $10+3+0-13=0$ ✓ ; $C$ : $0+9+4-13=0$ ✓. »

⚠️ Les pièges classiques

Oublier de vérifier l'équation avec les trois points.
Se tromper de signe dans $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$ .
Oublier que tout multiple non nul d'un vecteur normal convient : l'équation d'un plan n'est pas unique.
Utiliser $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ avec un repère non orthonormé.

😄 Un plan a une infinité d'équations, comme une personne a une infinité de façons de dire bonjour. Pense à toutes les vérifier avec les mêmes points.

Dans tous les exercices : l'espace est muni d'un repère orthonormé.

Exercice 1 (★) : un point et un vecteur normal

Le plan $P$ passe par $A(1\,;-2\,;3)$ et a pour vecteur normal $\vec n(2\,;1\,;-1)$ .

1. Déterminer une équation cartésienne de $P$ .

2. Les points $B(0\,;1\,;4)$ et $C(1\,;1\,;1)$ appartiennent-ils à $P$ ?

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

$M(x\,;y\,;z)\in P\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$ . Une équation de $P$ est de la forme $2x+y-z+d=0$ . Comme $A\in P$ : $2\times1+(-2)-3+d=0$ , donc $d=3$ .

✅ $P:\ 2x+y-z+3=0$

Question 2

Pour $B$ : $2\times0+1-4+3=0$ ✓.

✅ $B\in P$ .

Pour $C$ : $2\times1+1-1+3=5\neq0$ .

❌ $C\notin P$ .

Exercice 2 (★) : lire une équation de plan

Le plan $P$ a pour équation $3x-y+2z-6=0$ .

1. Donner un vecteur normal à $P$ .

2. Déterminer trois points de $P$ , puis deux vecteurs non colinéaires de $P$ , et vérifier qu'ils sont orthogonaux au vecteur normal.

3. Le point $D(2\,;1\,;2)$ appartient-il à $P$ ?

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

✅ $\vec n(3\,;-1\,;2)$ est un vecteur normal à $P$ .

Question 2

On cherche des points en annulant deux coordonnées :

$y=z=0$ : $3x=6$ donc $A(2\,;0\,;0)\in P$ .

$x=z=0$ : $-y=6$ donc $B(0\,;-6\,;0)\in P$ .

$x=y=0$ : $2z=6$ donc $C(0\,;0\,;3)\in P$ .

$\overrightarrow{AB}(-2\,;-6\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-2\,;0\,;3)$ ne sont pas colinéaires.

$\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=3\times(-2)+(-1)\times(-6)+0=-6+6=0$ ✓

$\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=3\times(-2)+0+2\times3=-6+6=0$ ✓

✅ $\vec n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$ : c'est bien un vecteur normal.

Question 3

$3\times2-1+2\times2-6=6-1+4-6=3\neq0$ .

❌ $D\notin P$ .

Exercice 3 (★★) : le plan $(ABC)$

On donne $A(1\,;0\,;2)$ , $B(2\,;1\,;0)$ , $C(0\,;3\,;1)$ .

1. Montrer que $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.

2. Déterminer un vecteur normal au plan $(ABC)$ puis une équation cartésienne de ce plan.

3. Vérifier l'équation avec $B$ et $C$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

$\overrightarrow{AB}(1\,;1\,;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;3\,;-1)$ . Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

✅ $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.

Question 2

On cherche $\vec n(a\,;b\,;c)$ tel que $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$ :

$a+b-2c=0$

$-a+3b-c=0$

En additionnant les deux équations : $4b-3c=0$ . On choisit $c=4$ : $b=3$ , puis $a=2c-b=8-3=5$ .

✅ $\vec n(5\,;3\,;4)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ .

Une équation est $5x+3y+4z+d=0$ . Comme $A(1\,;0\,;2)$ est dans le plan : $5+0+8+d=0$ , donc $d=-13$ .

✅ $(ABC):\ 5x+3y+4z-13=0$

Question 3

Pour $B(2\,;1\,;0)$ : $10+3+0-13=0$ ✓.

Pour $C(0\,;3\,;1)$ : $0+9+4-13=0$ ✓.

✅ Les trois points vérifient l'équation.

Exercice 4 (★★) : plans parallèles et perpendiculaires

1. Déterminer une équation du plan passant par $D(1\,;1\,;1)$ et parallèle au plan $P$ d'équation $2x-y+3z-5=0$ .

2. Déterminer $m$ pour que les plans $P_1:\ 2x+y-z+1=0$ et $P_2:\ x-3y+mz=0$ soient perpendiculaires.

3. Les plans $P_1$ et $P_3:\ 4x+2y-2z+7=0$ sont-ils parallèles ? confondus ?

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

Deux plans parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires. On prend le même $\vec n(2\,;-1\,;3)$ . Une équation est $2x-y+3z+d=0$ . Comme $D\in$ plan : $2-1+3+d=0$ , donc $d=-4$ .

✅ $2x-y+3z-4=0$

Question 2

Les vecteurs normaux sont $\vec n_1(2\,;1\,;-1)$ et $\vec n_2(1\,;-3\,;m)$ . Les plans sont perpendiculaires si et seulement si $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$ :

$2-3-m=0$

✅ $m=-1$

Question 3

$\vec n_3(4\,;2\,;-2)=2\,\vec n_1$ : les vecteurs normaux sont colinéaires.

✅ Les plans $P_1$ et $P_3$ sont parallèles.

Le point $(0\,;0\,;1)$ est dans $P_1$ ( $-1+1=0$ ). Dans $P_3$ : $-2+7=5\neq0$ .

✅ Les plans ne sont pas confondus : ils sont strictement parallèles.

Exercice 5 (★★) : le plan médiateur

On donne $A(1\,;2\,;3)$ et $B(3\,;0\,;-1)$ .

1. Déterminer une équation du plan médiateur de $[AB]$ .

2. Vérifier que le point $M(0\,;1\,;0)$ est dans ce plan, et que $MA=MB$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

Le plan médiateur passe par le milieu $I$ de $[AB]$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ .

$I\left(\dfrac{1+3}2\,;\dfrac{2+0}2\,;\dfrac{3-1}2\right)=(2\,;1\,;1)$

$\overrightarrow{AB}(2\,;-2\,;-4)$ . On peut prendre $\vec n(1\,;-1\,;-2)=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ .

Une équation est $x-y-2z+d=0$ . Comme $I\in$ plan : $2-1-2+d=0$ , donc $d=1$ .

✅ $x-y-2z+1=0$

Question 2

$M(0\,;1\,;0)$ : $0-1-0+1=0$ ✓.

✅ $M$ est dans le plan médiateur.

$MA^2=(1-0)^2+(2-1)^2+(3-0)^2=1+1+9=11$

$MB^2=(3-0)^2+(0-1)^2+(-1-0)^2=9+1+1=11$

✅ $MA=MB$ .

Exercice 6 (★★) : un plan perpendiculaire à une droite

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $x=2+t$ , $y=1-t$ , $z=3t$ ( $t\in\R$ ).

1. Déterminer une équation du plan $P$ passant par $K(1\,;1\,;2)$ et orthogonal à $d$ .

2. Le point $L(3\,;0\,;1)$ appartient-il à $P$ ?

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

Le plan est orthogonal à $d$ si et seulement si le vecteur directeur de $d$ est un vecteur normal du plan. Donc $\vec n(1\,;-1\,;3)$ .

Une équation est $x-y+3z+d=0$ . Comme $K\in P$ : $1-1+6+d=0$ , donc $d=-6$ .

✅ $P:\ x-y+3z-6=0$

Question 2

$3-0+3\times1-6=0$ ✓.

✅ $L\in P$ .

Exercice 7 (★★★) : un plan contenant une droite et un point

La droite $d$ passe par $A(1\,;0\,;0)$ et a pour vecteur directeur $\vec u(1\,;1\,;0)$ . On donne $C(0\,;0\,;2)$ .

Déterminer une équation du plan $Q$ contenant $d$ et $C$ .

✏️ Correction de l'exercice 7

Le plan $Q$ est dirigé par $\vec u(1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;0\,;2)$ . Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

On cherche $\vec n(a\,;b\,;c)$ orthogonal aux deux :

$a+b=0$

$-a+2c=0$

On choisit $c=1$ : $a=2$ et $b=-2$ . Donc $\vec n(2\,;-2\,;1)$ .

Une équation est $2x-2y+z+d=0$ . Comme $A\in Q$ : $2+d=0$ , donc $d=-2$ .

✅ $Q:\ 2x-2y+z-2=0$

Vérification. Pour $C(0\,;0\,;2)$ : $0-0+2-2=0$ ✓. Pour le point de $d$ obtenu avec $t=1$ , $(2\,;1\,;0)$ : $4-2+0-2=0$ ✓.

Exercice 8 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Un plan a une seule équation cartésienne.

2. Le vecteur $\vec n(1\,;2\,;3)$ est normal au plan d'équation $x+2y+3z=5$ .

3. Les plans $x+y+z=1$ et $x-y=0$ sont perpendiculaires.

4. Le plan d'équation $x=2$ est parallèle au plan $(yOz)$ .

5. Deux plans perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

✏️ Correction de l'exercice 8

Affirmation 1

$x+y+z=1$ et $2x+2y+2z=2$ décrivent le même plan.

❌ Faux. Elle est unique à un facteur non nul près.

Affirmation 2

Le plan a pour équation $x+2y+3z-5=0$ : le vecteur normal est $(1\,;2\,;3)$ .

✅ Vrai.

Affirmation 3

Les vecteurs normaux sont $(1\,;1\,;1)$ et $(1\,;-1\,;0)$ . Produit scalaire : $1-1+0=0$ .

✅ Vrai.

Affirmation 4

Le plan $(yOz)$ a pour équation $x=0$ , de vecteur normal $(1\,;0\,;0)$ , comme le plan $x=2$ .

✅ Vrai.

Affirmation 5

Contre-exemple : les plans $(xOz)$ ( $y=0$ ) et $(yOz)$ ( $x=0$ ) sont tous deux perpendiculaires à $(xOy)$ ( $z=0$ ), mais ils sont sécants.

❌ Faux.

🎯 Ce qui peut tomber au bac

L'équation d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal (exercices 1 et 6).
Lire un vecteur normal et des points sur une équation (exercice 2).
L'équation du plan $(ABC)$ avec vérification (exercice 3).
Des plans parallèles ou perpendiculaires, avec un paramètre (exercice 4).
Un plan médiateur (exercice 5).

QCM : vérifie tes acquis

10 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 10

Quelle est une équation du plan passant par $A(1\,;-2\,;3)$ de vecteur normal $\vec n(2\,;1\,;-1)$ ?

Question 2 sur 10

Quel est un vecteur normal au plan d'équation $3x-y+2z-6=0$ ?

Question 3 sur 10

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si :

Question 4 sur 10

Les plans $2x+y-z+1=0$ et $4x+2y-2z+7=0$ sont :

Question 5 sur 10

Le plan médiateur de $[AB]$ est le plan :

Question 6 sur 10

Dans l'exercice 1, quelle est l'équation du plan $P$ passant par $A(1\,;-2\,;3)$ de vecteur normal $\vec n(2\,;1\,;-1)$ ?

Question 7 sur 10

Dans l'exercice 3, quel vecteur normal trouve-t-on pour le plan $(ABC)$ avec $A(1\,;0\,;2)$ , $B(2\,;1\,;0)$ , $C(0\,;3\,;1)$ ?

Question 8 sur 10

Dans l'exercice 4, pour quelle valeur de $m$ les plans $P_1:2x+y-z+1=0$ et $P_2:x-3y+mz=0$ sont-ils perpendiculaires ?

Question 9 sur 10

Dans l'exercice 5, quelle est l'équation du plan médiateur de $[AB]$ avec $A(1\,;2\,;3)$ et $B(3\,;0\,;-1)$ ?

Question 10 sur 10

Dans l'exercice 7, quelle est l'équation du plan $Q$ contenant la droite $d$ (passant par $A(1\,;0\,;0)$ , dirigée par $(1\,;1\,;0)$ ) et le point $C(0\,;0\,;2)$ ?

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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Fiche 2 : vecteurs normaux et équations de plans

Exercice 1 (★) : un point et un vecteur normal

Exercice 2 (★) : lire une équation de plan

Exercice 3 (★★) : le plan (ABC)(ABC)(ABC)

Exercice 4 (★★) : plans parallèles et perpendiculaires

Exercice 5 (★★) : le plan médiateur

Exercice 6 (★★) : un plan perpendiculaire à une droite

Exercice 7 (★★★) : un plan contenant une droite et un point

Exercice 8 (★★) : vrai ou faux

QCM : vérifie tes acquis

Exercice 3 (★★) : le plan $(ABC)$