Fiche 4 : problèmes classiques d'orthogonalité et de distances

$\overrightarrow{AG}(1\,;1\,;1)$, $\overrightarrow{BD}(-1\,;1\,;0)$, $\overrightarrow{BE}(-1\,;0\,;1)$.

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=0$ et $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=-1+0+1=0$.

Les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$ ne sont pas colinéaires.

✅ $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$, et $\vec n(1\,;1\,;1)$ est un vecteur normal.

Une équation est $x+y+z+d=0$. Comme $B(1\,;0\,;0)\in(BDE)$ : $1+d=0$, donc $d=-1$.

✅ $(BDE):\ x+y+z-1=0$

Vérification : $D(0\,;1\,;0)$ : $1-1=0$ ✓ et $E(0\,;0\,;1)$ : $1-1=0$ ✓

$K=A+k\vec n=(k\,;k\,;k)$. Comme $K\in(BDE)$ : $3k-1=0$, donc $k=\dfrac13$.

✅ $K\left(\dfrac13\,;\dfrac13\,;\dfrac13\right)$

La distance est $AK=|k|\,\|\vec n\|=\dfrac13\sqrt3$.

✅ $d(A,(BDE))=\dfrac{\sqrt3}3$

Contrôle avec la formule : $\dfrac{|0+0+0-1|}{\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3$ ✓

$BD=BE=DE=\sqrt2$ : ce sont des diagonales de faces du cube. Le triangle $BDE$ est équilatéral de côté $\sqrt2$.

Son aire est $\dfrac{\sqrt3}4\times\left(\sqrt2\right)^2=\dfrac{\sqrt3}4\times2$.

✅ $\mathcal A(BDE)=\dfrac{\sqrt3}2$

La hauteur du tétraèdre $ABDE$ issue de $A$ est la distance de $A$ au plan de la base $(BDE)$, soit $\dfrac{\sqrt3}3$.

$V=\dfrac13\times\mathcal A(BDE)\times AK=\dfrac13\times\dfrac{\sqrt3}2\times\dfrac{\sqrt3}3=\dfrac13\times\dfrac36$

✅ $V=\dfrac16$

Avec la base $ABD$. Le triangle $ABD$ est rectangle isocèle en $A$ : son aire est $\dfrac12\times1\times1=\dfrac12$. La hauteur issue de $E$ est $AE=1$ (car $(AE)$ est orthogonale au plan $(ABD)$).

$V=\dfrac13\times\dfrac12\times1$

✅ $V=\dfrac16$ ✓

Les plans $(BDE)$ et $(CFH)$ ont pour équations $x+y+z-1=0$ et $x+y+z-2=0$ : ils ont le même vecteur normal, donc ils sont parallèles.

$A\in(BDE)$ n'est pas dans le plan $(CFH)$. Le point $B(1\,;0\,;0)\in(BDE)$ :

$d=\dfrac{|1+0+0-2|}{\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt3}$

✅ La distance entre les plans est $\dfrac{\sqrt3}3$.

Cohérence avec l'exercice du chapitre précédent : la diagonale $[AG]$, de longueur $\sqrt3$, est coupée en trois segments égaux de longueur $\dfrac{\sqrt3}3$ par les deux plans.

Coordonnées : $A(0\,;0\,;0)$, $C(1\,;1\,;0)$, $F(1\,;0\,;1)$, $H(0\,;1\,;1)$.

Question 1

Les six arêtes sont des diagonales de faces du cube :

$AC=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2$, $AF=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2$, $AH=\sqrt{0+1+1}=\sqrt2$

$CF=\sqrt{0+1+1}=\sqrt2$, $CH=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2$, $FH=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2$

✅ Toutes les arêtes mesurent $\sqrt2$ : $ACFH$ est un tétraèdre régulier.

Question 2

$\overrightarrow{AF}(1\,;0\,;1)$ et $\overrightarrow{CH}(-1\,;0\,;1)$.

$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{CH}=-1+0+1=0$

✅ $(AF)$ et $(CH)$ sont orthogonales (elles ne sont pas sécantes : arêtes opposées).

Question 3

Le plan $(CFH)$ a pour équation $x+y+z-2=0$ : $C$ : $1+1+0-2=0$ ✓, $F$ : $1+0+1-2=0$ ✓, $H$ : $0+1+1-2=0$ ✓.

$d(A,(CFH))=\dfrac{|-2|}{\sqrt3}$

✅ $d(A,(CFH))=\dfrac{2\sqrt3}3$

Le triangle $CFH$ est équilatéral de côté $\sqrt2$ : son aire est $\dfrac{\sqrt3}4\times2=\dfrac{\sqrt3}2$.

$V=\dfrac13\times\dfrac{\sqrt3}2\times\dfrac{2\sqrt3}3=\dfrac13\times\dfrac{6}{6}$

✅ $V=\dfrac13$

Contrôle : le volume du cube (égal à $1$) moins les quatre coins $ABCF$, $ACDH$, $AEFH$, $CFGH$, de volume $\dfrac16$ chacun, vaut $1-\dfrac46=\dfrac13$ ✓

D'après la fiche 1 : $AB=AC=\sqrt6$ et $\cos\widehat{BAC}=-\dfrac16$.

Comme $\widehat{BAC}\in[0\,;\pi]$, $\sin\widehat{BAC}\ge0$ et $\sin^2\widehat{BAC}=1-\dfrac1{36}=\dfrac{35}{36}$. Donc $\sin\widehat{BAC}=\dfrac{\sqrt{35}}6$.

L'aire d'un triangle est $\dfrac12\,AB\times AC\times\sin\widehat{BAC}$ :

$\mathcal A=\dfrac12\times\sqrt6\times\sqrt6\times\dfrac{\sqrt{35}}6=\dfrac12\times6\times\dfrac{\sqrt{35}}6$

✅ $\mathcal A=\dfrac{\sqrt{35}}2\approx2{,}96$

Formule utile : $\mathcal A=\dfrac12\sqrt{AB^2\,AC^2-\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right)^2}=\dfrac12\sqrt{36-1}$ ✓

Question 1

Le plan médiateur de $[AB]$ est l'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $MA=MB$, c'est-à-dire $MA^2=MB^2$ :

$x^2+y^2+z^2=(x-2)^2+y^2+z^2$

$0=-4x+4$

✅ Plan médiateur de $[AB]$ : $x=1$

De même, $MA^2=MC^2$ donne $0=-4y+4$ et $MA^2=MD^2$ donne $0=-4z+4$.

✅ Plans médiateurs de $[AC]$ et $[AD]$ : $y=1$ et $z=1$

Question 2

Un point équidistant de $A$, $B$, $C$, $D$ est dans les trois plans médiateurs : $x=1$, $y=1$, $z=1$.

✅ $\Omega(1\,;1\,;1)$

La distance est $\Omega A=\sqrt{1+1+1}$.

✅ $\Omega A=\sqrt3$

Vérification : $\Omega B=\sqrt{1+1+1}$, $\Omega C=\sqrt3$, $\Omega D=\sqrt3$ ✓. La sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt3$ passe par les quatre points.

Question 1

angle((1,2,2), (2,-3,6)) renvoie environ 67.6 : c'est l'angle de l'exercice 2 de la fiche 1 ($\arccos\dfrac8{21}\approx67{,}6^\circ$).

distance_plan((2,3,4), 2, -2, 1, -3) renvoie environ 0.3333 : c'est $\dfrac13$, la distance de l'exercice 3 de la fiche 3.

✅ Les valeurs du script coïncident avec les calculs.

Question 2

from itertools import product

compteur = 0
for (x, y, z) in product(range(3), repeat=3):
    if x + y + z - 3 == 0:
        compteur = compteur + 1
print(compteur)

La fonction product parcourt les $3^3=27$ triplets de $\{0{,}1{,}2\}^3$.

✅ Le script affiche $7$.

Les points sont $(1{,}1{,}1)$ et les six permutations de $(0{,}1{,}2)$. On peut le vérifier : $x+y+z=3$ avec $0\le x,y,z\le2$ impose soit trois $1$, soit un $0$, un $1$ et un $2$.

Affirmation 1

C'est le résultat de l'exercice 6 de la fiche 1 : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat A$ contient un cosinus, alors que l'aire contient un sinus. Contre-exemple : triangle rectangle en $A$ : le produit scalaire est nul, l'aire ne l'est pas.

❌ Faux.

Affirmation 3

C'est la question 1 de l'exercice 1.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Le volume est le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur (voir l'exercice 1 : $\dfrac13\times\dfrac{\sqrt3}2\times\dfrac{\sqrt3}3=\dfrac16$).

❌ Faux.