Limites de fonctions : exercices type bac

Pour tout réel $x$, $e^x+1>0$ : la fonction $f$ est bien définie sur $\R$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0$, on a, par somme :

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(3e^x-1)=-1$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(e^x+1)=1$

La limite du dénominateur est non nulle : par quotient,

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1$

La vérification. Pour tout réel $x$, $e^{-x}\neq0$. On multiplie le numérateur et le dénominateur de $f(x)$ par $e^{-x}$ :

car $e^x\times e^{-x}=1$.

La limite. Quand $x\to+\infty$, $-x\to-\infty$ et $e^y\to0$ quand $y\to-\infty$. Par composition, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$. Par somme, $\lim(3-e^{-x})=3$ et $\lim(1+e^{-x})=1$. Par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3$

Comme $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1$ :

✅ la droite d'équation $y=-1$ est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $-\infty$.

Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3$ :

✅ la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$.

L'identité. Pour tout réel $x$ :

La position. Donc $f(x)-3=-\dfrac4{e^x+1}$. Or $e^x+1>0$ pour tout réel $x$, donc $\dfrac4{e^x+1}>0$ et $f(x)-3<0$.

✅ La courbe $\mathcal C$ est strictement en dessous de la droite d'équation $y=3$.

Complément : $f(x)+1=\dfrac{3e^x-1+e^x+1}{e^x+1}=\dfrac{4e^x}{e^x+1}>0$. Donc $\mathcal C$ est strictement au-dessus de la droite d'équation $y=-1$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur $e^x+1$ ne s'annule pas. On applique $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, avec $u(x)=3e^x-1$ et $v(x)=e^x+1$, donc $u'(x)=3e^x$ et $v'(x)=e^x$.

Pour tout $x\in\R$ :

✅ $f'(x)=\dfrac{4e^x}{(e^x+1)^2}$

Or $e^x>0$ et $(e^x+1)^2>0$ pour tout $x$. Donc $f'(x)>0$ pour tout $x\in\R$.

✅ La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$, de $-1$ (limite en $-\infty$) à $3$ (limite en $+\infty$).

Pour tout réel $x$, $e^x+1\neq0$, donc :

car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $e^0=1$.

✅ L'équation $f(x)=1$ a pour unique solution $x=0$.

Comme $f$ est strictement croissante et $f(0)=1$, on a aussi $f(x)\ge1\iff x\ge0$.

• Q1 et Q2 : chaque limite est justifiée (somme, quotient, composition), la limite du dénominateur est non nulle.

• Q3 : chaque asymptote est écrite avec la limite qui la justifie, et l'équation de la droite.

• Q4 : l'identité est démontrée en partant d'un membre ; la position se déduit du signe, justifié par $e^x+1>0$.

• Q5 : dérivabilité justifiée, formule $\left(\dfrac uv\right)'$ citée, signe de $f'$ justifié, conclusion sur les variations.

• Q6 : équivalences successives, argument sur l'exponentielle.

Pour tout $x\neq0$ et $x\neq2$, on met $x^2$ en facteur au numérateur et au dénominateur :

Quand $x\to+\infty$ (ou $x\to-\infty$), $\dfrac1x\to0$ et $\dfrac1{x^2}\to0$. Par somme, le numérateur tend vers $2$ et $1-\dfrac2x$ tend vers $1$, donc, par produit, $\left(1-\dfrac2x\right)^2$ tend vers $1$. Par quotient :

✅ $\lim f=2$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Conséquence : la droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Quand $x\to2$, le numérateur $2x^2+x-1$ tend vers $2\times4+2-1=9$, un réel strictement positif.

Le dénominateur $(x-2)^2$ tend vers $0$ en restant strictement positif (c'est un carré, et $x\neq2$), aussi bien par valeurs inférieures que supérieures.

Par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=+\infty$

Conséquence : la droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à $\mathcal C$.

Pour tout $x\neq2$ :

Comme $2(x-2)^2=2x^2-8x+8$, le numérateur vaut :

✅ Donc, pour tout $x\neq2$, $f(x)-2=\dfrac{9(x-1)}{(x-2)^2}$.

Pour tout $x\neq2$, $(x-2)^2>0$. Le signe de $f(x)-2$ est donc celui de $x-1$.

• Si $x>1$ et $x\neq2$, alors $f(x)-2>0$ :

✅ $\mathcal C$ est au-dessus de la droite d'équation $y=2$.

• Si $x<1$, alors $f(x)-2<0$ :

✅ $\mathcal C$ est en dessous de cette droite.

• Si $x=1$, alors $f(x)-2=0$ :

✅ $\mathcal C$ coupe la droite.

Pour tout $x\neq2$ :

✅ La courbe $\mathcal C$ coupe la droite d'équation $y=2$ en un unique point, d'abscisse $1$ : c'est le point de coordonnées $(1\,;2)$.

Vérification : $f(1)=\dfrac{2+1-1}{(1-2)^2}=2$ ✓

À retenir : l'asymptote horizontale peut être coupée par la courbe. Ce n'est pas contradictoire, car l'asymptote décrit le comportement à l'infini.

• Q1 : mise en facteur de $x^2$ justifiée, règles utilisées nommées, asymptote horizontale avec sa limite.

• Q2 : limite du numérateur non nulle, signe du dénominateur justifié (carré), asymptote verticale avec sa limite.

• Q3 : identité démontrée en partant de $f(x)-2$, avec le développement de $(x-2)^2$.

• Q4 : signe étudié cas par cas ($x>1$, $x<1$, $x=1$), avec la condition $x\neq2$.

• Q5 : équivalences, point d'intersection écrit avec ses deux coordonnées.

Quand $x\to-\infty$, $x+2\to-\infty$. De plus $-x\to+\infty$ et $e^y\to+\infty$ quand $y\to+\infty$, donc, par composition, $e^{-x}\to+\infty$. Par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$

Pour tout $x$, $g(x)=xe^{-x}+2e^{-x}$. Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$. Par composition, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$. Par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$

Conséquence : la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$.

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme produit de $x\mapsto x+2$ et de $x\mapsto e^{-x}$, dérivables sur $\R$ (la seconde par composition). On applique $(uv)'=u'v+uv'$, avec $u(x)=x+2$, $v(x)=e^{-x}$, donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=-e^{-x}$.

Pour tout $x\in\R$ :

✅ $g'(x)=-(x+1)e^{-x}$

Comme $e^{-x}>0$ pour tout $x$, $g'(x)$ est du signe de $-(x+1)$ : $g'(x)>0$ si $x<-1$, $g'(x)=0$ si $x=-1$, $g'(x)<0$ si $x>-1$.

Tableau de variations. $g$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$, de la limite $-\infty$ à $g(-1)=(-1+2)e^1=e$. Puis $g$ est strictement décroissante sur $[-1\,;+\infty[$, de $e$ à la limite $0$.

Pour tout $x\in\R$, $e^{-x}\neq0$. Donc $g(x)=0\iff(x+2)e^{-x}=0\iff x+2=0\iff x=-2$.

✅ L'équation $g(x)=0$ a pour unique solution $x=-2$.

Comme $e^{-x}>0$, $g(x)$ est du signe de $x+2$ : $g(x)<0$ pour $x<-2$, $g(-2)=0$, et $g(x)>0$ pour $x>-2$.

D'après le tableau de variations, $g$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ et décroissante sur $[-1\,;+\infty[$. Elle admet un maximum en $x=-1$, égal à $g(-1)=e$.

✅ Donc, pour tout $x\in\R$, $g(x)\le e$.

Astuce : quand on te demande de déduire une inégalité d'une étude de variations, pense d'abord au maximum ou au minimum.

• Q1 et Q2 : composition et produit justifiés, croissances comparées citées avec le nom du résultat, asymptote avec sa limite.

• Q3 : dérivabilité justifiée, formule $(uv)'$ citée, factorisation par $e^{-x}$, signe justifié ($e^{-x}>0$), tableau avec les limites et la valeur du maximum.

• Q4 : produit nul, $e^{-x}\neq0$, tableau de signes.

• Q5 : inégalité déduite du maximum, avec une phrase de conclusion.