Bac 2026, Asie : exercice 1

Question 1.

Au premier tir, le tireur atteint le centre de la cible avec la probabilité $\dfrac12$ (énoncé). Donc

Les évènements $T_1$ et $\overline{T_1}$ forment une partition de l'univers, avec $P(T_1)=\dfrac12$ et $P(\overline{T_1})=1-\dfrac12=\dfrac12$.

Les données de l'énoncé se traduisent par $P_{T_1}(T_2)=\dfrac45$ et $P_{\overline{T_1}}(T_2)=\dfrac13$.

D'après la formule des probabilités totales :

On remplace par les valeurs :

On réduit au même dénominateur :

Donc $p_1=\dfrac12$ et $p_2=\dfrac{17}{30}$.

Réponse : $p_1=\dfrac12$   $p_2=\dfrac{17}{30}$.

Question 2.

On complète l'arbre de la façon suivante.

• Branche $T_n\to\overline{T_{n+1}}$ : $P_{T_n}(\overline{T_{n+1}})=1-P_{T_n}(T_{n+1})=1-\dfrac45=\dfrac15$.

• Branche issue de la racine vers $\overline{T_n}$ : $P(\overline{T_n})=1-P(T_n)=1-p_n$.

• Branche $\overline{T_n}\to T_{n+1}$ : $P_{\overline{T_n}}(T_{n+1})=\dfrac13$ (énoncé).

• Branche $\overline{T_n}\to\overline{T_{n+1}}$ : $P_{\overline{T_n}}(\overline{T_{n+1}})=1-\dfrac13=\dfrac23$.

Réponse : $\dfrac15$   $1-p_n$   $\dfrac13$   $\dfrac23$.

Question 3.

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Les évènements $T_n$ et $\overline{T_n}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

D'après l'arbre complété :

On développe :

On regroupe les termes en $p_n$, avec $\dfrac45-\dfrac13=\dfrac{12}{15}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{7}{15}$ :

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=\dfrac7{15}p_n+\dfrac13$.

Question 4. a)

Soit $n$ un entier naturel non nul. Par définition de $u_{n+1}$ :

On utilise la relation de la question 3 :

Or $\dfrac13-\dfrac58=\dfrac{8}{24}-\dfrac{15}{24}=-\dfrac7{24}$.

D'autre part $\dfrac7{15}\times\dfrac58=\dfrac{35}{120}=\dfrac7{24}$.

Donc

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\dfrac7{15}$.

Question 4. b)

Le premier terme de la suite est

La suite $(u_n)_{n\geqslant1}$ est géométrique de raison $\dfrac7{15}$ et de premier terme $u_1$, donc pour tout entier $n\geqslant1$ :

Réponse : $u_n=-\dfrac18\left(\dfrac7{15}\right)^{n-1}$.

Question 4. c)

Par définition de $u_n$, on a $p_n=u_n+\dfrac58$.

Donc, pour tout entier $n\geqslant1$ :

Réponse : $p_n=\dfrac58-\dfrac18\left(\dfrac7{15}\right)^{n-1}$.

Question 5.

On a $-1<\dfrac7{15}<1$, donc la suite géométrique $\left(\left(\dfrac7{15}\right)^{n-1}\right)$ converge vers $0$ :

Par produit par $-\dfrac18$ puis somme avec $\dfrac58$ :

Interprétation : plus le nombre de tirs augmente, plus la probabilité que le tireur atteigne le centre de la cible au $n$-ième tir se rapproche de $\dfrac58=0{,}625$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac58=0{,}625$.

Question 6.

La variable p contient la valeur de $p_n$, avec $n=1$ et $p_1=0{,}5$ au départ.

À chaque passage dans la boucle, on augmente n de $1$ et on remplace p par $\dfrac7{15}p_n+\dfrac13$, c'est-à-dire par $p_{n+1}$, d'après la question 3.

La boucle continue tant que $p_n<0{,}6$ et s'arrête dès que $p_n\geqslant0{,}6$. La fonction renvoie alors n.

Fonction complétée :

def seuil():
    n = 1
    p = 0.5
    while p < 0.6:
        n = n + 1
        p = 7/15*p + 1/3
    return n

Trace d'exécution :

• départ : $n=1$, $p=0{,}5<0{,}6$

• premier passage : $n=2$, $p=\dfrac{17}{30}\approx0{,}567<0{,}6$

• deuxième passage : $n=3$, $p=\dfrac{269}{450}\approx0{,}598<0{,}6$

• troisième passage : $n=4$, $p=\dfrac{4133}{6750}\approx0{,}612\geqslant0{,}6$ : la boucle s'arrête.

Donc la fonction seuil() renvoie $4$.

Réponse : while p < 0.6, n = n + 1, p = 7/15*p + 1/3, return n   la fonction renvoie $4$.

Question 7.

Soit $n\geqslant1$. D'après la question 4. c) :

On isole la puissance :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, et les deux membres sont strictement positifs :

Comme $\dfrac7{15}<1$, on a $\ln\dfrac7{15}<0$. En divisant par ce nombre strictement négatif, l'inégalité change de sens :

À la calculatrice, $\dfrac{\ln5}{\ln\frac{15}7}\approx2{,}11$, donc $n\geqslant3{,}11$ environ.

Comme $n$ est entier, $n\geqslant4$.

Ce résultat est cohérent avec la question 6 : $p_3\approx0{,}598<0{,}6$ et $p_4\approx0{,}612\geqslant0{,}6$.

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $p_n\geqslant0{,}6$ est l'ensemble des entiers $n\geqslant4$.

Réponse : $n\geqslant4$.

Points clés attendus

• Citer la formule des probabilités totales en précisant la partition $\{T_n,\overline{T_n}\}$.

• Pour la suite géométrique : calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et conclure sur la raison, puis donner le premier terme $u_1$ (la suite commence à $n=1$, d'où l'exposant $n-1$).

• Justifier la limite par $-1<\dfrac7{15}<1$ et interpréter dans le contexte des tirs.

• Pour le programme : condition de boucle p < 0.6, mise à jour de n et de p, valeur renvoyée justifiée.

• Pour l'inéquation : changement de sens de l'inégalité lors de la division par $\ln\dfrac7{15}<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.