Fiche 3 : comparaison et convergence

Question 1

Pour tout $n\in\N$, $\sin n\ge-1$, donc $3\sin n\ge-3$ et $u_n\ge n^2-3$. Or $\lim(n^2-3)=+\infty$. D'après le théorème de comparaison :

✅ $\lim u_n=+\infty$

Question 2

Pour tout $n\in\N$, $(-1)^n\ge-1$, donc $v_n\ge2n-1$. Or $\lim(2n-1)=+\infty$. D'après le théorème de comparaison :

✅ $\lim v_n=+\infty$

Astuce : on minore pour montrer $+\infty$. On remplace le terme gênant ($\sin n$, $(-1)^n$) par sa pire valeur.

Question 1

Pour tout $n\in\N$, $\cos n\ge-1$, donc $-\cos n\le1$ et $w_n\le-n+1$. Or $\lim(-n+1)=-\infty$. D'après le théorème de comparaison :

✅ $\lim w_n=-\infty$

Question 2

Pour tout $n\in\N$, $(-1)^n\le1$, donc $2(-1)^n\le2$ et $x_n\le-n^2+2$. Or $\lim(-n^2+2)=-\infty$. D'après le théorème de comparaison :

✅ $\lim x_n=-\infty$

Astuce : ici on majore, car on veut montrer que la suite descend vers $-\infty$.

Question 1

Pour tout $n\ge1$, $-1\le(-1)^n\le1$. En divisant par $n>0$ : $-\dfrac1n\le a_n\le\dfrac1n$. Or $\lim\left(-\dfrac1n\right)=\lim\dfrac1n=0$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim a_n=0$

Question 2

Pour tout $n\ge1$, $-1\le\sin n\le1$. En divisant par $n+1>0$ : $-\dfrac1{n+1}\le b_n\le\dfrac1{n+1}$. Or $\lim\left(-\dfrac1{n+1}\right)=\lim\dfrac1{n+1}=0$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim b_n=0$

Question 3

Pour tout $n\ge1$, $-1\le(-1)^n\le1$, donc $n-1\le n+(-1)^n\le n+1$. En divisant par $n+1>0$ :

On a $\dfrac{n-1}{n+1}=\dfrac{1-\frac1n}{1+\frac1n}$, qui tend vers $1$ par quotient. Les deux suites qui encadrent $(c_n)$ tendent vers $1$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim c_n=1$

Rédaction : écris toujours les trois éléments : l'encadrement (avec son rang), les deux limites égales, la conclusion « d'après le théorème des gendarmes ».

Chaque terme est encadré

Soit $n\ge1$ et $k$ un entier tel que $1\le k\le n$. Alors $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$, tous ces nombres étant strictement positifs. Donc :

La somme est encadrée

En additionnant ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ ($n$ termes) :

Les limites

$\dfrac n{n^2+n}=\dfrac1{n+1}\to0$.

$\dfrac n{n^2+1}=\dfrac1{n+\frac1n}$ avec $n+\dfrac1n\to+\infty$, donc $\dfrac n{n^2+1}\to0$.

Les deux suites qui encadrent $(d_n)$ tendent vers $0$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim d_n=0$

Astuce : pour encadrer une somme de $n$ termes, majore chaque terme par le plus grand, minore-le par le plus petit, puis multiplie par $n$.

Soit $n\ge1$ et $k$ un entier tel que $1\le k\le n$. Alors $\sqrt k\le\sqrt n$ (la racine carrée est croissante), donc $\dfrac1{\sqrt k}\ge\dfrac1{\sqrt n}$.

En additionnant ces $n$ inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ :

Or $\lim\sqrt n=+\infty$. D'après le théorème de comparaison :

✅ $\lim e_n=+\infty$

À retenir : une somme dont les termes tendent vers $0$ peut quand même tendre vers $+\infty$ : chaque terme est petit, mais on en ajoute de plus en plus.

Question 1

Pour tout $n\ge1$, $S_{n+1}-S_n=\dfrac1{(n+1)^2}>0$.

✅ La suite $(S_n)$ est strictement croissante.

Question 2

Pour tout entier $k\ge2$ :

Comme $k^2\ge k(k-1)>0$, on a $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k(k-1)}$.

✅ Donc $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$.

Question 3

Soit $n\ge2$. En additionnant l'inégalité de la question 2 pour $k$ allant de $2$ à $n$ :

(télescopage). Donc $S_n\le2-\dfrac1n\le2$. Cette inégalité est aussi vraie pour $n=1$ car $S_1=1\le2$.

✅ $S_n\le2$ pour tout $n\ge1$.

La suite $(S_n)$ est croissante (question 1) et majorée par $2$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ $(S_n)$ converge.

Pour info : on peut montrer que sa limite vaut $\dfrac{\pi^2}6$, mais ce n'est pas au programme.

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $u_n\ge1$ ».

Initialisation. $u_0=4\ge1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $u_k\ge1$ (hypothèse de récurrence). La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc $\sqrt{u_k}\ge\sqrt1=1$, c'est-à-dire $u_{k+1}\ge1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $u_n\ge1$ pour tout $n\in\N$ (en particulier, la suite est bien définie).

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

D'après la question 1, $u_n\ge1$, donc $\sqrt{u_n}\ge1$ et $1-\sqrt{u_n}\le0$. Comme $\sqrt{u_n}>0$, on a $u_{n+1}-u_n\le0$.

✅ La suite $(u_n)$ est décroissante.

Question 3

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel $\ell$, avec $\ell\ge1$ (passage à la limite dans l'inégalité $u_n\ge1$).

La fonction racine carrée est continue sur $[1\,;+\infty[$, donc, en passant à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, on obtient $\ell=\sqrt\ell$.

Cela entraîne $\ell^2=\ell$, soit $\ell(\ell-1)=0$, donc $\ell=0$ ou $\ell=1$.

Comme $\ell\ge1$, $\ell=0$ est exclu.

✅ Donc $\lim u_n=1$.

Astuce : la minoration par $1$ sert deux fois : à montrer la décroissance, puis à éliminer la solution $\ell=0$.

Raisonnement 1

Une majoration ne permet pas de conclure à $+\infty$ : le théorème de comparaison pour $+\infty$ demande une minoration. Rédaction correcte : pour tout $n$, $\sin n\ge-1$, donc $u_n\ge n-1$, et $\lim(n-1)=+\infty$ ; par comparaison, $u_n\to+\infty$.

Raisonnement 2

Une suite croissante et majorée converge (théorème de convergence monotone), mais sa limite n'est pas forcément le majorant. Contre-exemple : $u_n=3-\dfrac1{n+1}$ est croissante, majorée par $5$, et sa limite est $3$.

Raisonnement 3

Une suite bornée ne converge pas forcément. Contre-exemple : $u_n=(-1)^n$ est bornée ($-1\le u_n\le1$) mais ne converge pas.

Raisonnement 4

Le théorème des gendarmes exige que $v_n$ et $w_n$ aient la même limite.

Contre-exemple : $u_n=0$ si $n$ est pair et $u_n=1$ si $n$ est impair, avec $v_n=0$ et $w_n=1$.

On a $v_n\le u_n\le w_n$, $v_n\to0$ et $w_n\to1$, mais $(u_n)$ n'a pas de limite.