Terminale Spé Maths / Chapitre 7 : Primitives et équations différentielles

Primitives et équations différentielles : le cours

Une primitive de $f$, c'est une fonction dont la dérivée est $f$ : on « remonte » la dérivation. Une équation différentielle, c'est une équation dont l'inconnue est une fonction, reliée à sa propre dérivée.

Elles servent à modéliser ce qui évolue avec le temps :

• le café qui refroidit ;
• la radioactivité ;
• la charge d'un condensateur ;
• une population.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Les primitives : définition et propriétés

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :

Existence : toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ (théorème admis).

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $F+C$, avec $C\in\R$.

Condition initiale : pour tous $x_0\in I$ et $y_0\in\R$, il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.

2. Les primitives usuelles

• $f(x)=k$ (constante) : $F(x)=kx$
• $f(x)=x^n$ ($n$ entier, $n\neq-1$) : $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (sur $]0\,;+\infty[$ si $n<0$)
• $f(x)=\dfrac1x$ : $F(x)=\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$ (et $\ln|x|$ sur chaque intervalle ne contenant pas $0$)
• $f(x)=\dfrac1{x^2}$ : $F(x)=-\dfrac1x$
• $f(x)=\dfrac1{\sqrt x}$ : $F(x)=2\sqrt x$ sur $]0\,;+\infty[$
• $f(x)=e^x$ : $F(x)=e^x$
• $f(x)=\cos x$ : $F(x)=\sin x$
• $f(x)=\sin x$ : $F(x)=-\cos x$

Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ :

• $F+G$ est une primitive de $f+g$ ;
• $kF$ est une primitive de $kf$ ($k$ réel).

3. Les primitives de fonctions composées

Ce sont les formules de dérivation composée, lues à l'envers. Pour $u$ dérivable sur $I$ :

• $u'u^n$ ($n\neq-1$) a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ (avec $u\neq0$ sur $I$ si $n<0$).
• $\dfrac{u'}u$ a pour primitive $\ln|u|$ ($\ln u$ si $u>0$ sur $I$).
• $\dfrac{u'}{u^2}$ a pour primitive $-\dfrac1u$.
• $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ a pour primitive $2\sqrt u$ ($u>0$ sur $I$).
• $u'e^u$ a pour primitive $e^u$.
• Pour $a\neq0$ : $\cos(ax+b)$ a pour primitive $\dfrac{\sin(ax+b)}a$ ; $\sin(ax+b)$ a pour primitive $-\dfrac{\cos(ax+b)}a$.
• Plus généralement, $f(ax+b)$ a pour primitive $\dfrac{F(ax+b)}a$.

4. Les équations différentielles : vocabulaire

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$, reliée à sa dérivée $y'$.

Une solution sur un intervalle $I$ est une fonction dérivable sur $I$ qui vérifie l'égalité pour tout $x$ de $I$.

Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions.

5. L'équation $y'=ay$

Démonstration. La fonction $x\mapsto Ce^{ax}$ vérifie bien $y'=ay$. Réciproquement, soit $y$ une solution. On pose $g(x)=y(x)\,e^{-ax}$.

Donc $g$ est constante, égale à un réel $C$, et $y(x)=Ce^{ax}$. Pour la condition initiale : $y(x_0)=Ce^{ax_0}=y_0$ impose $C=y_0\,e^{-ax_0}$, une seule valeur.

6. L'équation $y'=ay+b$

Idée. La constante $-\dfrac ba$ est une solution particulière. (Sa dérivée est nulle et $a\left(-\dfrac ba\right)+b=0$.) En posant $z=y+\dfrac ba$ :

On retombe sur $z'=az$, donc $z=Ce^{ax}$.

7. L'équation $y'=ay+f$

Méthode :

1. Trouve une solution particulière $y_0$.
2. Écris la solution générale $Ce^{ax}+y_0(x)$.
3. Utilise la condition initiale pour trouver $C$.

Pourquoi ça marche : $y$ est solution si et seulement si $y-y_0$ est solution de $y'=ay$, car :

Chercher une solution particulière : on la cherche de la même « forme » que $f$.

• $f$ polynôme de degré $n$ : $y_0$ polynôme de degré $n$ (avec des coefficients à identifier).
• $f(x)=ke^{mx}$ avec $m\neq a$ : $y_0(x)=ce^{mx}$. Si $m=a$ : $y_0(x)=cxe^{ax}$.
• $f(x)=k\cos x$ ou $k\sin x$ : $y_0(x)=\alpha\cos x+\beta\sin x$.

8. La modélisation : quatre équations à connaître

Refroidissement de Newton : la température $T$ d'un objet dans un milieu à la température $T_{\text{ext}}$ vérifie $T'=-k\left(T-T_{\text{ext}}\right)$, avec $k>0$. Solution :

La température tend vers $T_{\text{ext}}$.

Décroissance radioactive : $N'=-\lambda N$, donc $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}$. Le temps de demi-vie est $t_{1/2}=\dfrac{\ln2}\lambda$.

Charge d'un condensateur : $u'=\dfrac{E-u}{RC}$. Solution avec $u(0)=0$ :

Chute avec frottement : $v'=g-kv$. Solution avec $v(0)=0$ :

La vitesse limite est $\dfrac gk$.

9. Complément : $y''+\omega^2y=0$

Pour $\omega>0$, on admet que les solutions de $y''+\omega^2y=0$ sont les fonctions $x\mapsto A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$, avec $A$ et $B$ réels.

Avec $y(0)$ et $y'(0)$ donnés, $A$ et $B$ sont uniques.

C'est l'équation de l'oscillateur (ressort, pendule pour de petits angles).

10. Les 10 pépites du chapitre

Complément du programme : deux primitives d'une même fonction

Complément du programme : la méthode d'Euler pour $y'=ay+b$

Pour approcher la solution de $y'=f(x,y)$ avec $y(x_0)=y_0$, on avance par pas $h$ en suivant la tangente :

Exemple. $y'=-2y+4$ avec $y(0)=0$ et $h=0{,}1$. Alors $y_{k+1}=y_k+0{,}1(-2y_k+4)=0{,}8\,y_k+0{,}4$.

y = 0
for k in range(10):
    y = y + 0.1 * (-2 * y + 4)
print(y)   # affiche 1.7852516352 (valeur approchée de y(1))

La solution exacte est $y(x)=2-2e^{-2x}$ et $y(1)=2-2e^{-2}\approx1{,}7293$. L'erreur est de $0{,}056$ : diviser le pas par $10$ diviserait environ l'erreur par $10$.

11. Ce qui peut tomber au bac

• Des primitives à calculer, à vérifier ou à identifier (fiche 1).
• Des équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$ avec condition initiale (fiche 2).
• Des équations $y'=ay+f$ et des problèmes de modélisation (fiche 3).
• Une étude de fonction définie par une équation différentielle et des démonstrations classiques (fiche 4).

Tu as maintenant le cours. Passe aux quatre fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.