Guide de rédaction : primitives et équations différentielles

🎯 Le principe du chapitre

Avec les primitives et les équations différentielles, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la forme reconnue ($u$ et $u'$ identifiés) avant toute primitive ;
• la vérification par dérivation ;
• la forme réduite $y'=ay+b$ avec $a$ et $b$ écrits ;
• la solution générale avec $C\in\R$ avant la condition initiale ;
• la conclusion en contexte avec l'unité pour les problèmes de modélisation.

Situation 1 : une primitive usuelle.

« Sur $]0\,;+\infty[$, une primitive de $x\mapsto\dfrac1x$ est $\ln x$, et une primitive de $\sqrt x$ est $\dfrac23x\sqrt x$. Les primitives de $f$ sont les fonctions $F(x)+C$, avec $C\in\R$. »

⚠️ Précise l'intervalle dès qu'il y a $\ln$, $\sqrt{\ }$ ou un dénominateur.

Situation 2 : une primitive de fonction composée ($x\left(x^2+1\right)^4$).

« $f$ est de la forme $u'u^n$ avec $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$ et $n=4$. On a $f(x)=\dfrac12\times2x\left(x^2+1\right)^4$. Une primitive de $u'u^n$ est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$. Donc les primitives de $f$ sont $F(x)=\dfrac12\times\dfrac{\left(x^2+1\right)^5}5+C=\dfrac{\left(x^2+1\right)^5}{10}+C$. »

💡 Écris toujours $u$, $u'$ et $n$ avant le résultat.

Situation 3 : vérifier qu'une fonction est une primitive.

« $F$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables. $F'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x)$. Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. »

Situation 4 : identifier une primitive ($a$, $b$, $c$).

« $F$ est dérivable sur $\R$ et $F'(x)=\left(-ax^2+(2a-b)x+b-c\right)e^{-x}$. On veut $F'(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}$ pour tout $x$. Il suffit d'identifier les coefficients : $-a=1$, $2a-b=0$, $b-c=1$. On obtient $a=-1$, $b=-2$, $c=-3$. »

Situation 5 : une primitive avec condition initiale.

« Les primitives de $f$ sont $F(x)+C$, $C\in\R$. La condition $G(0)=0$ donne $-3+C=0$, soit $C=3$. Donc $G(x)=3-\left(x^2+2x+3\right)e^{-x}$. »

Situation 6 : mettre sous forme réduite.

« L'équation $2y'-4y=8$ équivaut à $y'=2y+4$. Elle est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=2$ et $b=4$. »

⚠️ Sans cette ligne, on ne sait pas comment tu lis $a$ et $b$.

Situation 7 : résoudre $y'=ay$.

« Les solutions de $y'=-2y$ sur $\R$ sont les fonctions $y(x)=Ce^{-2x}$, avec $C\in\R$. »

Situation 8 : résoudre $y'=ay+b$.

« Avec $a=-2$ et $b=4$, la fonction constante $-\dfrac ba=2$ est une solution particulière ($-2\times2+4=0$). Les solutions sont les fonctions $y(x)=Ce^{-2x}+2$, avec $C\in\R$. »

Situation 9 : la condition initiale.

« La condition $y(0)=5$ donne $C+2=5$, soit $C=3$. Donc $y(x)=3e^{-2x}+2$. Vérification : $y'(x)=-6e^{-2x}$ et $-2y(x)+4=-6e^{-2x}-4+4$ ✓ »

💡 Applique la condition à la solution générale complète, et vérifie si tu as le temps.

Situation 10 : vérifier une solution particulière.

« La fonction $u(x)=2e^{-x}$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x)=-2e^{-x}$. Alors $u'(x)+2u(x)=-2e^{-x}+4e^{-x}=2e^{-x}$. Donc $u$ est solution particulière de $(E)$. »

Situation 11 : la solution générale avec second membre.

« Les solutions de l'équation homogène $y'=-2y$ sont $Ce^{-2x}$. Comme $u$ est une solution particulière de $(E)$, les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y(x)=Ce^{-2x}+2e^{-x}$, avec $C\in\R$. »

💡 Nomme le principe : solution générale = solution de l'équation homogène + solution particulière.

Situation 12 : étudier une fonction solution.

« $f(x)=2e^{-x}-e^{-2x}$.

Limite en $+\infty$ : $e^{-x}\to0$ et $e^{-2x}\to0$ donc $\lim f=0$.

Limite en $-\infty$ : $f(x)=e^{-2x}\left(2e^x-1\right)$ avec $e^{-2x}\to+\infty$ et $2e^x-1\to-1$, donc $\lim f=-\infty$.

$f'(x)=2e^{-2x}(1-e^x)$, du signe de $1-e^x$. Tableau de variations… »

Situation 13 : un problème de modélisation.

« $T(t)=25+60e^{-0{,}1t}$. Comme $-0{,}1<0$, $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}T(t)=25$. Interprétation : la température de l'objet tend vers celle de la pièce, $25\ °\mathrm C$.

$T(t)=30\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac1{12}\iff t=10\ln12\approx24{,}8$.

Conclusion : la température atteint $30\ °\mathrm C$ au bout d'environ $24{,}8$ minutes. »

⚠️ Valeur exacte, valeur approchée, unité, phrase de conclusion : les quatre.

Situation 14 : une démonstration avec $g(x)=y(x)e^{-ax}$.

« Soit $y$ une solution de $y'=ay$. On pose $g(x)=y(x)e^{-ax}$. $g$ est dérivable et $g'(x)=y'(x)e^{-ax}-a\,y(x)e^{-ax}=\big(y'(x)-a\,y(x)\big)e^{-ax}=0$. Donc $g$ est constante : il existe $C$ tel que $y(x)=Ce^{ax}$. »

a) Une primitive.

❌ « $F(x)=\left(x^2+1\right)^5$. »

✅ « $f(x)=x\left(x^2+1\right)^4=\dfrac12\times2x\left(x^2+1\right)^4$ est de la forme $\dfrac12u'u^4$ avec $u(x)=x^2+1$. Donc $F(x)=\dfrac{\left(x^2+1\right)^5}{10}+C$. »

Ce qui manque à la première : la forme reconnue, le facteur $\dfrac12\times\dfrac15$, la constante $C$.

b) Une équation différentielle.

❌ « $y'=-2y+4$ donc $y=e^{-2x}+2$. »

✅ « $y'=-2y+4$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-2$, $b=4$. Les solutions sont $y(x)=Ce^{-2x}+2$, $C\in\R$. »

c) La condition initiale.

❌ « $y(0)=5$ donc $y=5e^{-2x}+2$. »

✅ « $y(0)=C+2=5$, donc $C=3$ et $y(x)=3e^{-2x}+2$. »

La première a mis $5$ à la place de $C$ : la constante s'obtient par une équation.

d) Une modélisation.

❌ « $t=10\ln12$. »

✅ « $t=10\ln12\approx24{,}8$. La température atteint $30\ °\mathrm C$ au bout d'environ $24{,}8$ minutes. »

• Pour chaque primitive, j'ai écrit la forme ($u$, $u'$, $n$), l'intervalle et « $+C$ ».
• J'ai vérifié mes primitives et mes solutions particulières par dérivation.
• J'ai écrit la forme réduite $y'=ay+b$, avec $a$ et $b$.
• Ma solution générale contient $C\in\R$ et le terme constant $-\dfrac ba$.
• J'ai appliqué la condition initiale à la solution générale, avec une équation en $C$.
• Avec un second membre, j'ai cité « homogène + particulière ».
• Mes limites et mes tableaux respectent les règles des chapitres précédents.
• Ma conclusion de modélisation donne la valeur exacte, la valeur approchée, l'unité et une phrase.

😄 Une équation différentielle sans « $C\in\R$ », c'est une recette qui ne précise pas la quantité : le résultat dépend de ce que tu as sous la main, et le correcteur n'aime pas les surprises.