Guide de rédaction : dénombrement

🎯 Le principe du chapitre

Avec le dénombrement, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• le modèle nommé (avec ou sans ordre, avec ou sans répétition) ;
• la justification de chaque facteur d'un produit ;
• les cas disjoints bien séparés ;
• l'usage du complémentaire pour « au moins un » ;
• en probabilités, la description de $\Omega$ et de l'équiprobabilité.

Situation 1 : le principe multiplicatif.

« On choisit successivement :

• l'entrée ($3$ possibilités) ;
• le plat ($4$) ;
• le dessert ($2$).

Chaque choix ne dépend pas des précédents. D'après le principe multiplicatif, il y a $3\times4\times2=24$ menus. »

💡 Nomme le principe et écris « successivement ».

Situation 2 : le principe additif (cas disjoints).

« On sépare deux cas disjoints :

• exactement $3$ filles ;
• exactement $4$ filles.

Le nombre de comités est la somme : $\dbinom{18}3\times\dbinom{12}1+\dbinom{18}4=9\,792+3\,060=12\,852$. »

⚠️ Vérifie que les cas sont disjoints et qu'ils couvrent tout.

Situation 3 : les $k$-uplets (avec répétition).

« Un code est une suite ordonnée de $4$ chiffres pouvant se répéter. C'est un $4$-uplet d'éléments d'un ensemble à $10$ éléments. Il y a $10^4=10\,000$ codes. »

Situation 4 : les $k$-uplets d'éléments distincts.

« Un podium est une suite ordonnée de $3$ coureurs distincts parmi $8$. Il y a $8$ choix pour le premier, $7$ pour le deuxième, $6$ pour le troisième. $8\times7\times6=336$ podiums. »

Situation 5 : les permutations.

« Une file est un ordre sur $6$ personnes distinctes : il y en a $6!=720$.

Pour $A$ et $B$ côte à côte, on forme un bloc.

On permute $5$ objets : $5!$ façons.

Dans le bloc, il y a $2$ ordres. $5!\times2=240$. »

Situation 6 : les combinaisons.

« On tire simultanément $4$ boules parmi $12$ :

• l'ordre ne compte pas ;
• il n'y a pas de répétition.

Un tirage est une partie à $4$ éléments d'un ensemble à $12$ éléments. Il y en a $\dbinom{12}4=495$. »

💡 Écris « sans ordre, sans répétition » pour justifier la combinaison.

Situation 7 : une composition imposée.

« Pour avoir exactement $2$ boules rouges :

• on choisit $2$ boules rouges parmi $4$ : $\dbinom42=6$ façons ;
• puis $2$ boules parmi les $8$ non rouges : $\dbinom82=28$ façons.

D'après le principe multiplicatif, il y a $6\times28=168$ tirages. »

Situation 8 : « au moins un » (complémentaire).

« L'événement contraire de « au moins une jaune » est « aucune jaune ».

Ce sont $4$ boules parmi les $7$ non jaunes : $\dbinom74=35$ tirages.

Donc il y a $495-35=460$ tirages avec au moins une jaune. »

⚠️ Écris bien l'événement contraire avec ses mots.

Situation 9 : former un nombre avec des contraintes.

« Le premier chiffre est non nul : $9$ choix.

Le deuxième diffère du premier ($0$ est possible) : $9$ choix.

Le troisième diffère des deux premiers : $8$ choix.

Il y a $9\times9\times8=648$ nombres. »

💡 Commence par la contrainte la plus forte (premier chiffre, dernier chiffre pair…).

Situation 10 : les chemins sur un quadrillage.

« Un chemin de $(0{,}0)$ à $(5{,}3)$ est une suite de $8$ pas, dont $5$ vers la droite et $3$ vers le haut. Il est déterminé par le choix des $3$ positions des pas « haut » parmi les $8$. $\dbinom83=56$. »

Situation 11 : les anagrammes.

« ANANAS a $6$ lettres : $3$ A, $2$ N, $1$ S.

On choisit les $3$ places des A parmi $6$ : $\dbinom63=20$.

Puis les $2$ places des N parmi les $3$ restantes : $\dbinom32=3$.

Le S occupe la dernière place.

Il y a $20\times3=60$ anagrammes. »

Situation 12 : une probabilité par dénombrement.

« $\Omega$ est l'ensemble des parties à $5$ éléments d'un ensemble de $32$ cartes. $|\Omega|=\dbinom{32}5=201\,376$.

Le tirage est fait au hasard : les issues sont équiprobables.

Soit $A$ : « exactement $2$ cœurs ». $|A|=\dbinom82\times\dbinom{24}3=56\,672$. $P(A)=\dfrac{56\,672}{201\,376}=\dfrac{253}{899}\approx0{,}281$. »

Situation 13 : une identité par double comptage.

« Comptons de deux façons l'ensemble des comités munis d'un président parmi $n$ personnes.

Première façon : on choisit le comité de $k$ membres, puis son président : $\displaystyle\sum k\binom nk$.

Seconde façon : on choisit d'abord le président ($n$ façons). Puis on décide pour chacun des $n-1$ autres s'il est dans le comité ($2^{n-1}$ façons).

Donc $\displaystyle\sum k\binom nk=n\times2^{n-1}$. »

💡 Commence par définir l'ensemble que tu comptes.

Situation 14 : vérifier avec Python.

« Le script parcourt les $10^3$ triplets avec itertools.product. Il compte ceux qui ont trois chiffres distincts. Il affiche $720$, ce qui coïncide avec $10\times9\times8$. »

⚠️ Un test vérifie un résultat, il ne le démontre pas.

a) Un dénombrement de tirage.

❌ « $\dbinom{12}4=495$. »

✅ « On tire $4$ boules simultanément parmi $12$ : sans ordre, sans répétition. Il y a $\dbinom{12}4=495$ tirages. »

La première ne dit pas pourquoi une combinaison.

b) « Au moins un ».

❌ « $495-35=460$. »

✅ « Le contraire de « au moins une jaune » est « aucune jaune » : $\dbinom74=35$ tirages. Donc $495-35=460$ tirages ont au moins une jaune. »

c) Une probabilité.

❌ « $P=\dfrac{168}{495}$. »

✅ « Les boules étant indiscernables au toucher, les $495$ tirages sont équiprobables. $|A|=\dbinom42\times\dbinom82=168$. $P(A)=\dfrac{168}{495}=\dfrac{56}{165}\approx0{,}339$. »

d) Une composition.

❌ « $\dbinom83+\dbinom{24}2$. »

✅ « On choisit $3$ cœurs ($\dbinom83$ façons) puis $2$ autres cartes ($\dbinom{24}2$ façons). On multiplie : $\dbinom83\times\dbinom{24}2$. »

La première a additionné deux choix successifs : « et » se traduit par $\times$.

• J'ai écrit le modèle : ordre ? répétition ? simultané ou successif ?
• Chaque facteur de mon produit est justifié par un choix.
• Mes cas sont disjoints et je n'en ai oublié aucun.
• Pour « au moins un », j'ai écrit l'événement contraire.
• J'ai pensé à toutes les contraintes de l'énoncé.
• Pour une probabilité, j'ai décrit $\Omega$, justifié l'équiprobabilité, et gardé le même modèle partout.
• Ma fraction est simplifiée et j'ai donné une valeur approchée.
• J'ai vérifié avec un petit cas ou Python, si le temps le permet.

😄 Un dénombrement sans explication, c'est un chèque sans signature : la somme est peut-être bonne, mais la banque ne l'accepte pas.