Terminale Spé Maths / Chapitre 8 : Calcul intégral

Calcul intégral : le cours

L'intégrale d'une fonction mesure l'aire sous sa courbe. Grâce aux primitives, elle se calcule simplement : c'est le grand pont entre la dérivation et les aires.

Elle sert à :

• calculer des aires ;
• calculer des valeurs moyennes ;
• encadrer des quantités ;
• étudier des suites définies par des intégrales.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. L'intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$. On appelle intégrale de $a$ à $b$ de $f$ le nombre :

• Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. Deux primitives diffèrent d'une constante, qui disparaît dans $F(b)-F(a)$.
• La variable est muette : $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^bf(t)\,dt$.
• L'intégrale de $a$ à $a$ vaut $0$.
• Échanger les bornes change le signe : $\displaystyle\int_b^af(x)\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx$.

2. L'interprétation géométrique : l'aire

Si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$ ($a\le b$), l'intégrale $\displaystyle\int_a^bf$ est l'aire du domaine compris entre :

• la courbe de $f$ ;
• l'axe des abscisses ;
• les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

Cette aire est exprimée en unités d'aire (u.a.). Une unité d'aire est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unités du repère.

3. Les propriétés de l'intégrale

Linéarité :

Relation de Chasles : pour $a$, $b$, $c$ dans $I$ :

Positivité : si $a\le b$ et $f\ge0$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^bf\ge0$.

Croissance : si $a\le b$ et $f\le g$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^bf\le\int_a^bg$.

Inégalité de la moyenne : si $m\le f\le M$ sur $[a\,;b]$, alors :

Valeur absolue :

Fonction positive d'intégrale nulle : si $f$ est continue, positive sur $[a\,;b]$ et si $\displaystyle\int_a^bf=0$, alors $f=0$ sur $[a\,;b]$.

4. La valeur moyenne

Soit $f$ continue sur $[a\,;b]$, avec $a<b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est le nombre :

Interprétation : c'est la hauteur du rectangle de base $[a\,;b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe. Si $m\le f\le M$, alors $m\le\mu\le M$.

5. Calculer des aires

Fonction positive : $A=\displaystyle\int_a^bf$.

Fonction de signe variable : $A=\displaystyle\int_a^b|f|$.

• On étudie le signe de $f$.
• On découpe l'intervalle aux points où $f$ change de signe.
• On met un signe moins sur les parties négatives (Chasles).

Aire entre deux courbes : si $f\ge g$ sur $[a\,;b]$, l'aire du domaine compris entre les deux courbes est :

6. L'intégration par parties

D'où vient la formule ? $(uv)'=u'v+uv'$, donc $u'v=(uv)'-uv'$. On intègre de $a$ à $b$.

Comment choisir ?

• On pose $v=$ la partie qui se simplifie en dérivant (un polynôme, $\ln x$).
• On pose $u'=$ la partie dont on connaît une primitive ($e^x$, $\cos$, $\sin$).

7. Les fonctions définies par une intégrale

Soit $f$ continue sur $I$ et $a\in I$. La fonction $F:x\mapsto\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ est la primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$. En particulier, $F'=f$.

Cela permet d'étudier les variations de $F$ à partir du signe de $f$, même quand on ne sait pas calculer $F$.

8. La méthode des rectangles et Python

On partage $[a\,;b]$ en $n$ intervalles de longueur $h=\dfrac{b-a}n$. Les sommes de rectangles approchent l'intégrale :

• à gauche : $S_g=h\big[f(a)+f(a+h)+\dots+f(b-h)\big]$ ;
• à droite : $S_d=h\big[f(a+h)+\dots+f(b)\big]$.

Si $f$ est croissante et positive sur $[a\,;b]$ :

Si elle est décroissante, c'est l'inverse. L'écart $S_d-S_g=h\big[f(b)-f(a)\big]$ tend vers $0$ quand $n\to+\infty$.

def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a)/n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + f(a + k*h)
    return h*s

9. Les suites d'intégrales

10. Les 10 pépites du chapitre

Complément du programme : pourquoi $\displaystyle\int_a^bf=F(b)-F(a)$

Dans le programme, l'intégrale d'une fonction continue positive est d'abord une aire (en unités d'aire). On démontre ensuite le lien avec les primitives.

Complément du programme : méthodes numériques

Pour $\displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\dfrac13$, on découpe $[0\,;\,1]$ en $n$ intervalles de largeur $\dfrac1n$.

• Méthode des milieux : on prend la valeur de $f$ au milieu de chaque intervalle.
• Méthode des trapèzes : on relie les points par des segments, chaque morceau est un trapèze.
• Méthode de Monte-Carlo : on tire des points au hasard dans le carré $[0\,;\,1]^2$ et on compte la proportion de ceux qui sont sous la courbe.

n = 10
milieux = sum(((i + 0.5) / n) ** 2 for i in range(n)) / n
trapezes = 0
for i in range(n):
    trapezes = trapezes + ((i / n) ** 2 + ((i + 1) / n) ** 2) / (2 * n)
print(round(milieux, 4))    # affiche 0.3325
print(round(trapezes, 4))   # affiche 0.335

La valeur exacte est $0{,}3333\dots$ : la méthode des milieux sous-estime de $0{,}0008$ et celle des trapèzes surestime de $0{,}0017$.

from random import random

N = 100000
dedans = 0
for _ in range(N):
    x, y = random(), random()
    if y <= x ** 2:
        dedans = dedans + 1
print(dedans / N)   # proche de 0.333

11. Ce qui peut tomber au bac

• Le calcul d'intégrales, les propriétés et les encadrements (fiche 1).
• Le calcul d'aires sous une courbe ou entre deux courbes (fiche 2).
• L'intégration par parties (fiche 3).
• Les valeurs moyennes, les suites d'intégrales et la méthode des rectangles avec Python (fiche 4).

Tu as maintenant le cours. Passe aux quatre fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.