Fiche 3 : droites, plans et positions relatives

Question 1

Le point $M(x\,;y\,;z)$ est sur $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=t\,\vec u$ avec $t\in\R$.

✅ $\begin{cases}x=1+2t\\y=-2+t\\z=3-t\end{cases}\quad t\in\R$

Question 2

Pour $t=0$ : $(1\,;-2\,;3)$, c'est le point $A$.

Pour $t=1$ : $(1+2\,;\,-2+1\,;\,3-1)=(3\,;-1\,;2)$.

Pour $t=-2$ : $(1-4\,;\,-2-2\,;\,3+2)=(-3\,;-4\,;5)$.

Question 3

Le point $B$. On cherche $t$ avec la première coordonnée : $5=1+2t$, donc $t=2$. On vérifie les deux autres : $y=-2+2=0$ ✓ et $z=3-2=1$ ✓.

✅ $B\in d$ (pour $t=2$).

Le point $C$. La première coordonnée donne $2=1+2t$, donc $t=\dfrac12$. Pour cette valeur, $y=-2+\dfrac12=-\dfrac32\neq0$.

❌ $C\notin d$.

Question 1

$\overrightarrow{AB}(2\,;4\,;-4)$. Le vecteur $\vec u(1\,;2\,;-2)=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ dirige aussi la droite.

✅ $(AB):\ \begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=2-2t\end{cases}\quad t\in\R$

Question 2

La première coordonnée donne $4=1+t$, donc $t=3$. On vérifie : $y=2\times3=6$ ✓ et $z=2-2\times3=-4$ ✓.

✅ $C\in(AB)$ (pour $t=3$) : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Question 3

Un point de $(AB)$ est dans le plan $z=0$ si $2-2t=0$, donc $t=1$. On reporte : $x=1+1=2$ et $y=2$.

✅ Le point d'intersection est $(2\,;2\,;0)$.

Les vecteurs directeurs

$d_1$ : $\vec u_1(1\,;-1\,;2)$. $d_2$ : $\vec u_2(2\,;-2\,;4)$. $d_3$ : $\vec u_3(1\,;-1\,;2)$. $d_4$ : $\vec u_4(1\,;0\,;1)$. $d_5$ : $\vec u_5(1\,;0\,;0)$.

Avec $d_2$

$\vec u_2=2\vec u_1$ : les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles. Le point $B(3\,;0\,;4)$ de $d_2$ est-il sur $d_1$ ? $3=1+t$ donne $t=2$, puis $y=2-2=0$ ✓ et $z=2\times2=4$ ✓.

✅ $d_1$ et $d_2$ sont confondues.

Avec $d_3$

$\vec u_3=\vec u_1$ : les droites sont parallèles. Le point $(2\,;1\,;1)$ de $d_3$ est-il sur $d_1$ ? $2=1+t$ donne $t=1$, puis $y=2-1=1$ ✓ mais $z=2\times1=2\neq1$.

✅ $d_1$ et $d_3$ sont strictement parallèles.

Avec $d_4$

$\vec u_1(1\,;-1\,;2)$ et $\vec u_4(1\,;0\,;1)$ ne sont pas colinéaires. On résout :

$1+t=2+s$, $2-t=1$, $2t=2+s$

La deuxième équation donne $t=1$. La première donne $s=0$. La troisième est vérifiée ($2=2$).

✅ $d_1$ et $d_4$ sont sécantes au point $(2\,;1\,;2)$ (obtenu pour $t=1$ et $s=0$).

Avec $d_5$

$\vec u_1(1\,;-1\,;2)$ et $\vec u_5(1\,;0\,;0)$ ne sont pas colinéaires. On résout :

$1+t=s$, $2-t=0$, $2t=1$

La deuxième équation donne $t=2$. La troisième donne $t=\dfrac12$ : contradiction. Le système n'a pas de solution.

✅ $d_1$ et $d_5$ sont non coplanaires (ni parallèles, ni sécantes).

Méthode

On regarde si le vecteur directeur $\vec w$ est une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$. Un point $(x\,;y\,;z)$ de $P$ vérifie $x=1+a$, $y=a+b$, $z=b$.

La droite $\Delta_1$

Cherchons $\vec w(1\,;-1\,;2)=a\vec u+b\vec v=(a\,;a+b\,;b)$ : $a=1$, $b=2$, donc $a+b=3\neq-1$. Ce n'est pas possible.

Donc $\vec w$, $\vec u$, $\vec v$ ne sont pas coplanaires : $\Delta_1$ et $P$ sont sécantes.

Cherchons le point d'intersection.

Un point de $\Delta_1$ est $(-1+t\,;2-t\,;1+2t)$.

Il est dans $P$ s'il existe $a$, $b$ tels que :

$-1+t=1+a$, $2-t=a+b$, $1+2t=b$

La première donne $a=t-2$, la troisième $b=1+2t$. La deuxième devient $2-t=(t-2)+(1+2t)=3t-1$, donc $4t=3$ et $t=\dfrac34$.

Alors $a=-\dfrac54$ et $b=\dfrac52$. Le point est $\left(-1+\dfrac34\,;\,2-\dfrac34\,;\,1+\dfrac32\right)$.

✅ $\Delta_1$ coupe $P$ au point $\left(-\dfrac14\,;\dfrac54\,;\dfrac52\right)$.

La droite $\Delta_2$

$\vec w(1\,;2\,;1)=\vec u+\vec v$ : c'est une combinaison linéaire, $\Delta_2$ est parallèle à $P$. Le point $(0\,;0\,;1)$ est-il dans $P$ ? $\overrightarrow{AM}(-1\,;0\,;1)=a\vec u+b\vec v$ donne $a=-1$, $b=1$, et $a+b=0$ ✓.

✅ $\Delta_2$ est incluse dans $P$.

La droite $\Delta_3$

$\vec w(1\,;3\,;2)=\vec u+2\vec v$ ($(1\,;\,1+2\,;\,2)$ ✓) : $\Delta_3$ est parallèle à $P$. Le point $(2\,;1\,;1)$ est-il dans $P$ ? $\overrightarrow{AM}(1\,;1\,;1)$ donne $a=1$, $b=1$, mais $a+b=2\neq1$.

✅ $\Delta_3$ est strictement parallèle à $P$.

Question 1

$\overrightarrow{AB}(1\,;1\,;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;3\,;-1)$. Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles ($1\times3\neq1\times(-1)$).

✅ $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.

Question 2

Un point $M$ de $d$ s'écrit $(t\,;t\,;t)$. Il est dans $(ABC)$ s'il existe $a$, $b$ tels que $\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$ :

$t-1=a-b$

$t=a+3b$

$t-2=-2a-b$

En retranchant la première équation à la deuxième : $1=4b$, donc $b=\dfrac14$.

Alors $t=a+\dfrac34$. La troisième équation devient $a+\dfrac34-2=-2a-\dfrac14$, donc $3a=2-\dfrac34-\dfrac14=1$ et $a=\dfrac13$.

D'où $t=\dfrac13+\dfrac34=\dfrac{13}{12}$.

Vérification de la première équation : $t-1=\dfrac1{12}$ et $a-b=\dfrac13-\dfrac14=\dfrac1{12}$ ✓

✅ $d$ coupe le plan $(ABC)$ au point $\left(\dfrac{13}{12}\,;\dfrac{13}{12}\,;\dfrac{13}{12}\right)$.

Question 1

$d_1$ a pour vecteur directeur $\vec u_1(1\,;2\,;-1)$, $d_2$ a pour vecteur directeur $\vec u_2(-1\,;1\,;1)$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : $\dfrac{-1}1=-1$ mais $\dfrac12\neq-1$.

✅ $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

Question 2

On cherche $t$ et $s$ tels que :

$2+t=-s$, $1+2t=3+s$, $-t=m+s$

La première donne $s=-2-t$. La deuxième devient $1+2t=3-2-t=1-t$, donc $3t=0$, $t=0$ et $s=-2$.

La troisième s'écrit alors $0=m-2$, soit $m=2$.

✅ $d_1$ et $d_2$ sont sécantes si et seulement si $m=2$.

Le point d'intersection est obtenu pour $t=0$ : $(2\,;1\,;0)$. On le retrouve avec $s=-2$ : $(2\,;1\,;2-2)=(2\,;1\,;0)$ ✓

✅ Le point d'intersection est $(2\,;1\,;0)$.

Question 3

Si $m\neq2$, le système n'a pas de solution (les deux premières équations imposent $t=0$ et $s=-2$, et la troisième est fausse).

✅ Les droites $d_1$ et $d_2$ sont alors non coplanaires.

Question 1

Les vecteurs $\vec u'$ et $\vec v'$ ne sont pas colinéaires : $(2\,;1\,;4)$ et $(1\,;-1\,;-1)$ ne sont pas proportionnels.

Le vecteur $\vec u'$. On cherche $\vec u'=a\vec u+b\vec v=(a\,;b\,;a+2b)$ : $a=2$, $b=1$, $a+2b=4$ ✓. Donc $\vec u'=2\vec u+\vec v$.

Le vecteur $\vec v'$. On cherche $\vec v'=(a\,;b\,;a+2b)$ : $a=1$, $b=-1$, $a+2b=-1$ ✓. Donc $\vec v'=\vec u-\vec v$.

Les vecteurs $\vec u'$ et $\vec v'$ sont des combinaisons linéaires de $\vec u$ et $\vec v$.

✅ Les plans $P$ et $P'$ sont parallèles.

Question 2

Ils sont confondus si et seulement si $A'\in P$. On a $\overrightarrow{AA'}(-1\,;-1\,;3)$. On cherche $a$, $b$ tels que $\overrightarrow{AA'}=a\vec u+b\vec v$ : $a=-1$, $b=-1$, et $a+2b=-3\neq3$.

Donc $A'\notin P$.

✅ Les plans $P$ et $P'$ sont strictement parallèles (non confondus).

Affirmation 1

Contre-exemple : $d_1$ et $d_5$ de l'exercice 3 ne sont pas parallèles et ne se coupent pas (droites non coplanaires).

❌ Faux.

Affirmation 2

On peut changer le point de départ (n'importe quel point de la droite) et le vecteur directeur (n'importe quel multiple non nul).

✅ Vrai.

Affirmation 3

Si $d$ est parallèle à $P$, son vecteur directeur est combinaison linéaire d'une base de $P$. Si $d$ possède un point $A\in P$, alors tout point $A+t\vec u$ est aussi dans $P$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Deux plans non parallèles (et donc non confondus) ne peuvent pas être disjoints. Leur intersection est une droite.

✅ Vrai.

Affirmation 5

Si la droite n'était pas parallèle au plan, elle le couperait en un point (vecteur directeur non coplanaire avec la base du plan). Sans point commun, elle est donc strictement parallèle au plan.

✅ Vrai.

Affirmation 6

Contre-exemple : dans un cube, les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont parallèles au plan $(EFG)$, mais elles sont sécantes en $A$.

❌ Faux.